二维水动力求解，特征线法

1.已知t=n时刻，A’(i-1,j-1) B‘(i-1,j+1) C’(i+1,j+1) D‘(i+1,j-1) 节点，中心是P(i,j)点

$\left\{\begin{matrix} x_{A}=x_{P}-(u_{A}^{'}+c)\Delta t\\ y_{A}=y_{P}-(v_{A}^{'}+c)\Delta t \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x_{B}=x_{P}-(u_{B}^{'}+c)\Delta t\\ y_{B}=y_{P}-(v_{B}^{'}-c)\Delta t \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x_{C}=x_{P}-(u_{C}^{'}-c)\Delta t\\ y_{C}=y_{P}-(v_{C}^{'}-c)\Delta t \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x_{D}=x_{P}-(u_{D}^{'}-c)\Delta t\\ y_{D}=y_{P}-(v_{D}^{'}+c)\Delta t \end{matrix}\right.$

$q = \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})$ , $c=\sqrt{gh_{m}}$ , $h_{m}=\frac{1}{4}(h_{A'}+h_{B'}+h_{C'}+h_{D'})$

初始条件设置为全局u，v为一个相同的常数，则q0=0

求出ABCD点坐标（x,y）

2.插值求解ABCD的u、v、h、q

f = interpolate.interp2d(x, y, z, kind='cubic')

kind： {‘linear’, ‘cubic’, ‘quintic’}，可选

3.求出中间变量e1 e2 e3 e4，再计算P点的uvhq

$a=\begin{bmatrix} 1&1&1 &1 &-1 &1 \\ 1 & 1& -1 & 1 & 1&-1 \\ 1& -1& -1& -1& 1& 1\\ 1&-1 & 1& -1&-1 & -1 \end{bmatrix}$

$k = \sqrt{h_{m}/g}$

$b=\begin{bmatrix} 1 & k & k & kdt &kdt & hm \end{bmatrix}$

$c=\begin{bmatrix} h_A &u_A&v_A&Sfx_A&Sfy_A&q_A\\\ h_B &u_B&v_B&Sfx_B&Sfy_B&q_B\\\ h_A &u_C&v_C&Sfx_C&Sfy_C&q_C\\\ h_A &u_D&v_D&Sfx_D&Sfy_D&q_D \end{bmatrix}$

a*b*c,对位点乘，再对行求和，得到[e1 e2 e3 e4]

内部节点

4.重新计算ABCD 坐标xy

5.边界点的处理

A——e1，B——e2，C——e3，D——e4

右侧AB——e1e2，P xmin

左侧CD——e3e4，P xmax（沿x轴，原点是左）

上边AD——e1e4，P ymax

下边BC——e2e3，P ymin

5种边界条件的已知情况，uvhq只需知道2个，就能求出另外两个

(1)给定速度，已知u v

竖直边界（与x垂直）（左右）：up=f(t),vp=0

水平边界（与y垂直）（上下）：up=0,vp=f(t)

(2)不透水边界，给定u或v，q

左右：up=0 ，qp=0

上下：vp=0 ，qp=0

(3) 不透水边界，给定u，v=0

（4）水位边界，给定h(t)

左右：vp=0 ，hp=h(t)

上下：up=0 ，hp=h(t)

左侧节点： $q_{P}=\frac{(-e3+e4)}{2h_{m}\Delta t}, u_{P}=\frac{(e3+e4-2h_{P})}{-2\sqrt{h_{m}/g}}$

上边节点： $q_{P}=\frac{(-e1+e4)}{2h_{m}\Delta t}, v_{P}=\frac{(e1+e4-2h_{P})}{2\sqrt{h_{m}/g}}$

下边节点： $q_{P}=\frac{(e2-e3)}{2h_{m}\Delta t}, v_{P}=\frac{(e2+e3-2h_{P})}{-2\sqrt{h_{m}/g}}$

角，两边都是边界

以h边界的左右公式，设qp=0，计算出左上、左下、右上、右下角节点

$k = \sqrt{h_{m}/g}$

$right-up: u_{p}=1/k(e_{1}-h_{p})$

$right-down: u_{p}=1/k(e_{2}-h_p)$

$left-down: u_p=-1/k(e_3-h_p)$

$left-up:u_p=-1/k(e_4-hp)$

(5)堰边界

过堰水流速度 $V=C_{v}(h-h_{d})^{1.5}$

Cv是流速系数，hd是参照水深

右侧边界

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