bzoj 2732 射箭半平面交解题报告

Description

沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏，如下图 1 所示，这个游戏中的 x 轴在地面，第一象限中有一些竖直线段作为靶子，任意两个靶子都没有公共部分，也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手，可以朝 0 至 90?中的任意角度（不包括 0度和 90度），以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力，并且光之箭没有箭身，箭的轨迹会是一条标准的抛物线，被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了，包括那些只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式，其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中，第一关只有一个靶子，射中这个靶子即可进入第二关，这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子，若能够一箭双雕射中这两个靶子便可进入第三关，这时会出现第三个靶子。依此类推，每过一关都会新出现一个靶子，在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关，否则游戏结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上，却最多只能玩到第七关“七星连珠”，这让她非常困惑。于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置，想让你告诉她，最多能通过多少关

Input

输入文件第一行是一个正整数N，表示一共有N关。接下来有N行，第i+1行是用空格隔开的三个正整数xi，yi1，yi2(yi1 < yi2 )，表示第i关出现的靶子的横坐标是xi，纵坐标的范围是从yi1到yi2 。
输入保证30%的数据满足N≤100，50%的数据满足N≤5000，100%的数据满足N≤100000且给出的所有坐标不超过109 。

Output

仅包含一个整数，表示最多的通关数。

Sample Input

5
2 8 12
5 4 5
3 8 10
6 2 3
1 3 7

思路

设这个经过原点的抛物线为y = a * x ^ 2 + b * x，设一条线段的起点和终点为(x0,y1)和(x0,y2)，且y2 > y1。
将x0带入到设出的抛物线中，会得到y = a * x0 ^ 2 + b * x0，这时候需要满足的是y <= y2 && y >= y1，也就是a * x0 ^ 2 + b * x0 <= y2 && y1 <= a * x0 ^ 2 + b * x0
整理一下思路，x0，y1，y2是已知量，a和b是我们设出来的量，不妨换一种写法，令x = a，y = b，k = x0，那么原不等式组就是
=> x * k ^ 2 + y * k <= y2 && x * k ^ 2 + y * k >= y1
=> x * k ^ 2 + y * k - y2 <= 0 && x * k ^2 + y * k - y1 >= 0
这样就很明显了，不等式组化成了两个半平面，之后利用半平面交判定是否存在就可以了。最外层套一个二分，时间复杂度大概是O(nlog^2n)

代码

看起来不简单

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define DCMP(a) (fabs(a)<EPS)
using namespace std;
const int N=200000+5;
const int EPS=1e-15;
struct Point
{  long double x,y;         Point(long double _ = .0,long double __ = .0):x(_),y(__) {}  Point operator +(const Point &a)const {return Point(x+a.x,y+a.y);}  Point operator -(const Point &a)const {return Point(x-a.x,y-a.y);}  Point operator *(double a)const {return Point(x*a,y*a);}
}p[N];
struct Line
{Point p,v;long double alpha;Line(Point _,Point __):p(_),v(__) {alpha=atan2(v.y,v.x);}Line(){}  bool operator <(const Line &a)const {return alpha<a.alpha;}
}src[N],line[N],q[N];
int t,lines;
inline long double Cross(Point p1,Point p2)
{  return p1.x*p2.y-p1.y*p2.x;
}
inline bool OnLeft(Point p,Line l)
{  return Cross(l.v,p-l.p)>=0;//left or right
}
inline Point GetIntersection(Line l1,Line l2)
{  Point u=l1.p-l2.p;  long double temp=Cross(l2.v,u)/Cross(l1.v,l2.v);  return l1.p+l1.v*temp;
}
inline bool HalfplaneIntersection(int lines)
{  int front=1,tail=1;  q[1]=line[1];  for (int i=2;i<=lines;++i) {  while(front<tail&&!OnLeft(p[tail-1],line[i])) --tail;  while(front<tail&&!OnLeft(p[front],line[i])) ++front;  if (DCMP(Cross(q[tail].v,line[i].v)))  q[tail]=OnLeft(q[tail].p,line[i])?q[tail]:line[i];  else q[++tail]=line[i];  if (front<tail) p[tail-1]=GetIntersection(q[tail],q[tail-1]);  }  while(front<tail&&!OnLeft(p[tail-1],q[front])) --tail;  return tail-front>1;
}
inline bool Judge(int mid)
{mid<<=1;  memcpy(line+1,src+1,sizeof(Line)*mid);  sort(line+1,line+mid+1);  return HalfplaneIntersection(mid);
}
int main()
{scanf("%d",&t);for (int i=1;i<=t;++i){static double x,y1,y2;scanf("%lf%lf%lf",&x,&y1,&y2);src[++lines]=Line(Point(0,y2/x),Point(-1/x,1));  src[++lines]=Line(Point(0,y1/x),Point(1/x,-1));  }int l=1,r=t,ans=1;while(l<=r){int mid=(l + r)>>1;  if (Judge(mid)) ans=mid,l=mid+1;  else r=mid-1;  }printf("%d\n",ans);return 0;
}