开集(Open Set)、闭集(Closed Set)和紧集(Compact Set)

开集

度量空间 (metric space) (M,d) 的一个子集 U 是开集，如果给定的任意一个 U 中的点 x，存在一个实数 ε>0\varepsilon>0ε>0 使得任意 M 中的点 y 有 d(x,y)<εd(x,y)<\varepsilond(x,y)<ε，y 也是属于 U。相当于，U 是开集，如果任意一个 U 中的点的领域也包括在 U。

Open Set - Wikipedia

闭集

解释1：在一个拓扑空间 (topological space)，一个集合是闭的 if and only if it coincides with its closure. 相当于，一个集合是闭的当且仅当它包括所有它的 limit points/boundary points.

解释2：在拓扑空间中，闭集（closed set）是指其补集为开集的集合2。

例如：
区间 (−∞,2](−\infty, 2 ](−∞,2] 是闭集（这是一个半区间）
区间 (−1,2](−1, 2 ](−1,2] 既不是开集，也不是闭集。
有理数集合 Q 既不是开集，也不是闭集。

Closed Set - Wikipedia

紧集

若一个集合它不仅是闭集还是有界的，则该集合被称作紧集(compact set)

例如：
区间 (−∞,2]( −\infty , 2 ](−∞,2] 不是紧集，因为它下无界。
区间 (−2,4)(−2, 4 )(−2,4) 不是紧集，因为它不是闭集。
区间 [−2,4][− 2, 4][−2,4] 是紧集，因为它既是闭集又有界。

紧集-百度百科

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