数学基础系列：集合与数

本文旨在整理一些集合论中的基础概念与定理，其中术语尽量使用中文。

1 集合论基础

首先，我们介绍Cartesian product（笛卡尔积、直积） A × B A\times B A×B，就是从 A A A中、 B B B中各取一个元素组成的有序数对。如果是 n n n个集合，它们的Cartesian product就是一个 n n n-tuples：
× i = 1 n A i = { ( a 1 , … , a n ) : a i ∈ A i , i = 1 , … , n } \times_{i=1}^n A_i = \{(a_1,\ldots,a_n):a_i\in A_i,i=1,\ldots,n\} ×i=1nAi={(a1,…,an):ai∈Ai,i=1,…,n}

所谓关系（Relation），是 A × A A\times A A×A的任一子集，就叫集合 A A A上的一个关系，记为 R R R。如果 ( x , y ) ∈ R (x,y)\in R (x,y)∈R，则可写为 x R y xRy xRy。 R R R可能的性质有：

自反性（Reflexive）： x R x xRx xRx；
对称性（Symmetric）：若 x R y xRy xRy则必有 y R x yRx yRx；
反对称性（Antisymmetric）：若 x R y xRy xRy且 y R x yRx yRx，则必有 x = y x=y x=y；
传递性（Transitive）：若 x R y xRy xRy且 y R z yRz yRz，则必有 x R z xRz xRz。

等价关系（Equivalence relation），就是自反、对称、传递的关系。

给定 A A A上的一个等价关系 R R R，那么 A A A中的元素 x x x的等价类（equivalence class），就是集合 E x = { y ∈ A : x R y } E_x = \{y\in A:xRy\} Ex={y∈A:xRy}。若 E x E_x Ex和 E y E_y Ey是 x x x和 y y y的等价类，那么必有 E x ∩ E y = ∅ E_x\cap E_y=\emptyset Ex∩Ey=∅或 E x = E y E_x=E_y Ex=Ey。

自反、反对称、传递的关系，就叫partial ordering（偏序），可以用符号 ≥ \geq ≥或 ≤ \leq ≤表示。对于任意partial ordering，如果将其中的 ( x , x ) (x,x) (x,x)元素剔除，就变成了strict ordering，用符号 > \gt >或 < \lt <表示，这种关系不再是自反的和反对称的，但依旧有传递性。如果对于集合 A A A，每一对 ( x , y ) ∈ A × A (x,y)\in A\times A (x,y)∈A×A都满足 x < y x\lt y x<y、 x > y x\gt y x>y或 x = y x=y x=y这三种中的一种，那么称 A A A是linearly ordered。再进一步，定义集合 A A A的最小元素为 a ∈ A a\in A a∈A，它满足 ∀ x ∈ A , a ≤ x \forall x\in A, a\leq x ∀x∈A,a≤x（最大元素可类似定义），那么，如果linearly ordered A A A的每一个子集都有一个最小元素，则称 A A A是well-ordered。

一个映射/变换/函数（mapping/transformation/function）定义为 T : X ↦ Y T:X\mapsto Y T:X↦Y，这是一种将 X X X中的每个元素与 Y Y Y中唯一一个元素联系起来的规则。 X X X称为定义域（domain）， Y Y Y为到达域（codomain），集合 G T = { ( x , y ) : x ∈ X , y = T ( x ) } ⊆ X × Y G_T=\{(x,y):x\in X,y=T(x)\}\subseteq X\times Y GT={(x,y):x∈X,y=T(x)}⊆X×Y称为graph of T T T。集合 T ( A ) = { T ( x ) : x ∈ A } ⊆ Y T(A)=\{T(x):x\in A\}\subseteq Y T(A)={T(x):x∈A}⊆Y称为 A A A在 T T T下的像（image），对于 B ⊆ Y B\subseteq Y B⊆Y，集合 T − 1 ( B ) = { x : T ( x ) ∈ B } ⊆ X T^{-1}(B)=\{x:T(x) \in B\}\subseteq X T−1(B)={x:T(x)∈B}⊆X称为 B B B在 T T T下的inverse image。集合 T ( X ) T(X) T(X)称为 T T T的值域（range），若 T ( X ) = Y T(X)=Y T(X)=Y则称该映射为from X X X onto Y Y Y，中文叫满射，否则是into Y Y Y。若每个 y y y都是唯一的 x ∈ X x\in X x∈X的像，则该映射是one-to-one，或记为 1 1 1- 1 1 1，中文叫单射。

当 X X X中的每个元素与 Y Y Y中不一定唯一的元素对应起来的规则，称为correspendence， T − 1 T^{-1} T−1就是一个correspendence，但未必是映射。若映射是 1 1 1- 1 1 1且是onto的，则称该映射为one-to-one correspendence。如果在 X X X和 Y Y Y上都定义了partial ordering，那么如果对于一个映射， T ( x 1 ) ≤ T ( x 2 ) T(x_1)\leq T(x_2) T(x1)≤T(x2)当且仅当 x 1 ≤ x 2 x_1\leq x_2 x1≤x2，就称该映射为order-preserving。若 X X X是partial ordered，用 ≤ \leq ≤表示，那么一个 1 1 1- 1 1 1映射可以induce（诱导）出在到达域上的一个partial ordering。若这个映射还是onto，那么 X X X上的linear ordering可以induce一个 Y Y Y上的linear ordering。

集合中的元素个数称为集合的基数（cardinality或cardinal number）。若 A A A与 B B B之间存在 1 1 1- 1 1 1 correspondence，那么两个集合等势（equipotent）。

2 可数集合

将正自然数集合 N + N^+ N+的基数记为 ℵ \aleph ℵ。如果一个无限集合中的元素，与 N + N^+ N+中的元素存在 1 1 1- 1 1 1 correspondence，那么称该集合为可数的（countable或denumerable）。

整数集 Z Z Z是可数的，因为对于任意 n ∈ N + n\in N^+ n∈N+，让它对应于 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) n ∈ Z \lfloor n/2\rfloor (-1)^n\in Z ⌊n/2⌋(−1)n∈Z即可。

定理：有理数集 Q Q Q可数。

定理：可数个可数集合的并集是一个可数集合。

3 实数连续统

定理：实数集 R R R是不可数的。

记 R R R的基数为 c c c，则有 ℵ < c \aleph\lt c ℵ<c。

定理：任意开区间不可数。

定理：任意开区间与 R R R是等势的。

对于开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)，将任意 x ∈ R x\in R x∈R映射为 y = a + b 2 + ( b − a ) x 2 ( 1 + ∣ x ∣ ) y=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{(b-a)x}{2(1+|x|)} y=2a+b+2(1+∣x∣)(b−a)x可证。

定理：实数平面 R 2 = R × R R^2=R\times R R2=R×R与 R R R是等势的。

定理：任意开区间都包含至少一个有理数。

对于开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)，不妨假设 a ≥ 0 a\geq 0 a≥0，取 q q q为比 1 / ( b − a ) 1/(b-a) 1/(b−a)大的最小整数，取 p p p为比 q b qb qb大的最小整数，则必有 ( p − 1 ) / q ∈ ( a , b ) (p-1)/q \in (a,b) (p−1)/q∈(a,b)，而 ( p − 1 ) / q ∈ Q (p-1)/q \in Q (p−1)/q∈Q。

推论：由不相邻开区间组成的collection一定是可数的。

因为每个开区间都至少包含一个有理数，这些不相连的开区间的collection可用其中每个开区间中的任一有理数建立对应关系，而有理数集是可数的。

注：Collection有的地方翻译为“搜集”，可理解为允许有重复元素的集合。

下面再介绍一些有关集合的界的定义。集合 A ⊂ R A\subset R A⊂R的上确界/最小上界（supremum），如果存在，就是对于任意 x ∈ A x\in A x∈A都满足 x ≤ y x\leq y x≤y的最小的 y y y，可写为 sup ⁡ A \sup A supA；反之可定义集合 A A A的下确界/最大下界（infimum），写为 inf ⁡ A \inf A infA。对于 R R R的某个子集，如果有上界，必有上确界，如果有下界，必有下确界。若定义extended real line R ˉ = R ∪ { − ∞ , + ∞ } \bar R=R\cup \{-\infty,+\infty\} Rˉ=R∪{−∞,+∞}（即将无穷大也看作一个元素），那么所有集合都有上确界和下确界。另外记 R ˉ + = R ∪ { + ∞ } \bar R^+=R\cup\{+\infty\} Rˉ+=R∪{+∞}。

4 集合的序列

单调序列（Monotone sequence）就是非递减（non-decreasing）（指 ∀ n , A n ⊆ A n + 1 \forall n, A_n\subseteq A_{n+1} ∀n,An⊆An+1）或非递增（non-increasing）（指 ∀ n , A n ⊇ A n + 1 \forall n, A_{n}\supseteq A_{n+1} ∀n,An⊇An+1）的序列，也可定义严格的单调序列，即将包含关系换成严格包含关系 ⊂ \subset ⊂和 ⊃ \supset ⊃。

序列的极限（limit） A A A，就是对于非递减序列的 A = ∪ n = 1 ∞ A n A=\cup_{n=1}^{\infty}A_n A=∪n=1∞An，或对于非递增序列的 A = ∩ n = 1 ∞ A n A=\cap_{n=1}^{\infty}A_n A=∩n=1∞An，可分别写为 A n ↑ A A_n\uparrow A An↑A和 A n ↓ A A_n\downarrow A An↓A，或一般地， lim ⁡ n → ∞ A n = A \lim\limits_{n\to\infty}A_n = A n→∞limAn=A，或 A n → A A_n\to A An→A。

对于任意集合序列 { A n } \{A_n\} {An}，集合 B n = ∪ m = n ∞ A m B_n=\cup_{m=n}^{\infty}A_m Bn=∪m=n∞Am必为非递增序列，因此 B = lim ⁡ n → ∞ B n B=\lim\limits_{n\to\infty}B_n B=n→∞limBn存在，称它为 { A n } \{A_n\} {An}的上极限（superior limit），写为 lim sup ⁡ n A n \limsup_n A_n nlimsupAn。反之，非递减序列 C n = ∩ m = n ∞ A m C_n=\cap_{m=n}^{\infty}A_m Cn=∩m=n∞Am的极限 C C C，就是 { A n } \{A_n\} {An}的下极限（inferior limit），写为 lim inf ⁡ n A n \liminf_n A_n nliminfAn。正式定义为
lim sup ⁡ n A n = ∩ n = 1 ∞ ( ∪ m = n ∞ A m ) lim inf ⁡ n A n = ∪ n = 1 ∞ ( ∩ m = n ∞ A m ) \begin{aligned} \limsup_n A_n = \cap_{n=1}^\infty (\cup_{m=n}^\infty A_m)\\ \liminf_n A_n = \cup_{n=1}^\infty (\cap_{m=n}^\infty A_m) \end{aligned} nlimsupAn=∩n=1∞(∪m=n∞Am)nliminfAn=∪n=1∞(∩m=n∞Am)
由De Morgan’ s laws， lim inf ⁡ n A n = ( lim sup ⁡ n A n c ) c \liminf_n A_n = \left(\limsup_n A_n^c \right)^c nliminfAn=(nlimsupAnc)c。

lim sup ⁡ n A n \limsup_n A_n nlimsupAn其实就是无穷多（infinitely many）个 A n A_n An中都含有的元素的集合， lim inf ⁡ n A n \liminf_n A_n nliminfAn就是除有限（all but a finite number）个 A n A_n An外，其他 A n A_n An中都含有的元素的集合。

以上概念提供了一种判断集合序列收敛的准则： lim inf ⁡ n A n ⊆ lim sup ⁡ n A n \liminf_n A_n\subseteq \limsup_n A_n nliminfAn⊆nlimsupAn，若这两个集合不相等，则说明 { A n } \{A_n\} {An}不收敛。

5 子集的类

所有 X X X的子集的集合称为 X X X的幂集（power set），记为 2 X 2^X 2X。对于一个可数集合，认为它的幂集有 2 ℵ 2^\aleph 2ℵ个元素。

定理： 2 ℵ = c 2^\aleph = c 2ℵ=c。

接下来，要研究的是给定集合的子集的一些性质。幂集一般对研究的问题来说会显得太大了，以下的一系列定义，目的是要定义出 2 X 2^X 2X的某个子集，使得该子集对于研究的问题来说足够大，而其性质又让我们可以容易地处理。一般方法是，先选出一些已知性质的集合，组成一个基本的collection，再用一些特定操作，创造出新的集合加入其中。

定义环（Ring）：由集合 X X X的子集组成的非空类（nonempty class） R \mathscr{R} R，若满足如下性质则为环：

∅ ∈ R \emptyset\in\mathscr{R} ∅∈R；
若 A ∈ R A\in\mathscr{R} A∈R且 B ∈ R B\in\mathscr{R} B∈R，则 A ∪ B ∈ R A\cup B\in \mathscr{R} A∪B∈R， A ∩ B ∈ R A\cap B\in \mathscr{R} A∩B∈R， A − B ∈ R A- B\in \mathscr{R} A−B∈R。

环对于并、交、差的操作是闭的（closed）。但环中不一定含有全集 X X X自身，若加入 X X X，就成了field（或algebra）定义：

定义域（Field）：由 X X X的子集组成的类 F \mathscr{F} F，若满足如下性质则为域：

X ∈ F X\in\mathscr{F} X∈F；
若 A ∈ F A\in\mathscr{F} A∈F，则 A c ∈ F A^c\in\mathscr{F} Ac∈F；
若 A ∈ F A\in\mathscr{F} A∈F且 B ∈ F B\in\mathscr{F} B∈F，则 A ∪ B ∈ F A\cup B\in \mathscr{F} A∪B∈F。

如果给定了一个collection C \mathscr{C} C，将它作为“种子”，去生成域，那么称最小的含有 C \mathscr{C} C的域为由 C \mathscr{C} C生成的域（field generated by C \mathscr{C} C）。

环和域的概念在概率论中应用起来还是会有局限性，因此引入以下定义：

定义半环（Semi-ring）：由集合 X X X的子集组成的非空类（nonempty class） S \mathscr{S} S，若满足如下性质则为半环：

∅ ∈ S \emptyset\in\mathscr{S} ∅∈S；
若 A ∈ S A\in\mathscr{S} A∈S且 B ∈ S B\in\mathscr{S} B∈S，则 A ∩ B ∈ S A\cap B\in \mathscr{S} A∩B∈S；
若 A ∈ S A\in\mathscr{S} A∈S、 B ∈ S B\in\mathscr{S} B∈S且 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B，则 ∃ n < ∞ \exists n\lt \infty ∃n<∞，使得 B − A = ∪ j = 1 n C j B-A=\cup_{j=1}^{n} C_j B−A=∪j=1nCj，其中 C j ∈ S C_j\in\mathscr{S} Cj∈S且对于 j ≠ j ′ j\neq j' j=j′来说 C j ∩ C j ′ = ∅ C_j\cap C_{j'}=\emptyset Cj∩Cj′=∅。

其中的第三个性质，简单来说就是 S \mathscr{S} S中任意两个集合的的差，可以分解为有限个 S \mathscr{S} S中集合的并集。

再在半环中加入 X X X自身，就变成了半代数（semi-algebra）。

6 Sigma fields

上一节说到域对补和有限并的操作是闭的，我们接着将它的有限并的操作扩展到极限处，这就有了如下概念。

定义 σ \sigma σ-域/ σ \sigma σ-代数，（ σ \sigma σ-field/ σ \sigma σ-algebra）：由 X X X的子集组成的类 F \mathscr{F} F，若满足如下性质则为 σ \sigma σ-域：

X ∈ F X\in\mathscr{F} X∈F；
若 A ∈ F A\in\mathscr{F} A∈F，则 A c ∈ F A^c\in\mathscr{F} Ac∈F；
若 { A n , n ∈ N + } \{A_n,n\in N^+\} {An,n∈N+}为 F \mathscr{F} F中的集合的序列，则 ∪ n = 1 ∞ A n ∈ F \cup_{n=1}^{\infty} A_n\in \mathscr{F} ∪n=1∞An∈F。

σ \sigma σ-域对于补和可数并是闭的。若给定一个collection C \mathscr{C} C，所有含有 C \mathscr{C} C的 σ \sigma σ-域的交集，就叫由 C \mathscr{C} C生成的 σ \sigma σ-域（ σ \sigma σ-field generated by C \mathscr{C} C），可记为 σ ( C ) \sigma(\mathscr{C}) σ(C)。

定理：若 C \mathscr{C} C是一个有限的collection，则 σ ( C ) \sigma(\mathscr{C}) σ(C)也是有限的，否则 σ ( C ) \sigma(\mathscr{C}) σ(C)一点是不可数的。

若取 X = R X=R X=R， C = { ( − ∞ , r ] : r ∈ Q } \mathscr{C}=\{(-\infty,r]: r\in Q\} C={(−∞,r]:r∈Q}，则 σ ( C ) \sigma(\mathscr{C}) σ(C)就叫Borel field of R R R，一般可记为 B \mathscr{B} B。许多不同的collection都可以生成出 B \mathscr{B} B。若给定一个实区间 I I I，则 B I = { B ∩ I : B ∈ B } \mathscr{B}_I = \{B\cap I: B\in\mathscr{B}\} BI={B∩I:B∈B}称为the restriction of B \mathscr{B} B to I I I，或Borel field on I I I。事实上， B I \mathscr{B}_I BI可由 C = { ( − ∞ , r ] ∩ I : r ∈ Q } \mathscr{C}=\{(-\infty,r]\cap I: r\in Q\} C={(−∞,r]∩I:r∈Q}生成。

对于两个 σ \sigma σ-域的并集不一定是 σ \sigma σ-域，将最小的包含了两个 σ \sigma σ-域 F \mathscr{F} F和 G \mathscr{G} G中所有元素的 σ \sigma σ-域记为 F ∨ G \mathscr{F}\vee\mathscr{G} F∨G。但对于两个 σ \sigma σ-域的交集 F ∩ G = { A : A ∈ F and A ∈ G } \mathscr{F}\cap\mathscr{G}=\{A:A\in \mathscr{F} \quad\text{and} \quad A \in\mathscr{G}\} F∩G={A:A∈FandA∈G}来说，它必定是 σ \sigma σ-域，为了统一符号，可以写为 F ∧ G \mathscr{F}\wedge\mathscr{G} F∧G，它就是保证元素同时属于 F \mathscr{F} F和 G \mathscr{G} G的最大的 σ \sigma σ-域。这两个概念都可以推广到可数多个的情形。

概率论和测度论中，大量的工作都是在证明某个class of sets是 σ \sigma σ-域。对于证明来说， σ \sigma σ-域定义中的三条性质，前两条都很容易验证，但最后一条要验证却很困难。为此我们定义一种单调类（monotone class） M \mathscr{M} M，它也是由一些集合组成：若 { A n } \{A_n\} {An}是单调序列，有极限 A A A，且 ∀ n , A n ∈ M \forall n, A_n\in\mathscr{M} ∀n,An∈M，则 A ∈ M A\in \mathscr{M} A∈M，称这样的 M \mathscr{M} M为单调类。利用它和下面的定理，可以方便地证明一些class是 σ \sigma σ-域。

定理： F \mathscr{F} F是 σ \sigma σ-域，当且仅当 F \mathscr{F} F是域且它是一个单调类。

利用这个定理，在考虑一个类是不是 σ \sigma σ-域时，只需要考虑单调序列的极限是否属于它即可。

另一个常用的技巧是Dynkin’s π \pi π- λ \lambda λ Theorem。对此需要先介绍两个概念做铺垫。

定义 π \pi π-system：有一个类 P \mathscr{P} P，若 A ∈ P A\in\mathscr{P} A∈P且 B ∈ P B\in\mathscr{P} B∈P，则 A ∩ B ∈ P A\cap B \in \mathscr{P} A∩B∈P，那么 P \mathscr{P} P就是 π \pi π-system。

定义 λ \lambda λ-system：有一个类 L \mathscr{L} L，若它满足以下性质，那么 L \mathscr{L} L就是 λ \lambda λ-system：

X ∈ L X\in \mathscr{L} X∈L；
若 A ∈ L A\in\mathscr{L} A∈L、 B ∈ L B\in\mathscr{L} B∈L且 B ⊆ A B\subseteq A B⊆A，则 A − B ∈ L A-B\in\mathscr{L} A−B∈L；
若 { A n ∈ L } \{A_n\in\mathscr{L}\} {An∈L}是非递减序列，且 A n ↑ A A_n\uparrow A An↑A，则 A ∈ L A\in\mathscr{L} A∈L。

前两个条件说的是 λ \lambda λ-system对于补是闭的。并且由于第二条意味着 ∀ n , B n = A n + 1 − A n ∈ L \forall n, B_n=A_{n+1}-A_n\in\mathscr{L} ∀n,Bn=An+1−An∈L，所以第三条也说明了， L \mathscr{L} L中的不交集的可数并依然在 L \mathscr{L} L中。利用这点，有以下定理。

定理：一个类 L \mathscr{L} L是 λ \lambda λ-system，当且仅当：

X ∈ L X\in \mathscr{L} X∈L；
若 B ∈ L B\in\mathscr{L} B∈L，则 B c ∈ L B^c\in\mathscr{L} Bc∈L；
若 { A n ∈ L } \{A_n\in\mathscr{L}\} {An∈L}是disjoint sequence，则 ∪ n A n ∈ L \cup_n A_n\in\mathscr{L} ∪nAn∈L。

σ \sigma σ-域必定是 λ \lambda λ-system，同时是 π \pi π-system和 λ \lambda λ-system的类必定是 σ \sigma σ-域。

下面的定理用到了这些定义。

定理 Dynkin’s π \pi π- λ \lambda λ Theorem：若 P \mathscr{P} P是一个 π \pi π-system， L \mathscr{L} L是一个 λ \lambda λ-system，且 P ⊆ L \mathscr{P}\subseteq \mathscr{L} P⊆L，则 σ ( P ) ⊆ L \sigma(\mathscr{P})\subseteq \mathscr{L} σ(P)⊆L。

参考文献

Davidson, J., 1994. Stochastic limit theory: An introduction for econometricians. OUP Oxford.