一次同余式的求解和相关理论

定义

形如f(x)≡0(modm)f(x)\equiv 0\pmod mf(x)≡0(modm)的方程称同余式.f(x)f(x)f(x)是整数系数多项式.f(x)f(x)f(x)是形如ax+bax+bax+b的是一次同余式.

明显的,一个有解的同余式解是无限的,但是都在若干个对m的剩余系内.所以称满足条件的剩余系的个数为解数.
下面以解一个一次同余式的过程解释一次同余式的解法和相关性质.

例程

6x≡28(mod32)6x \equiv 28\pmod{32}6x≡28(mod32)

判断有无解

Theorem:同余式ax≡b(modm)有解的充要条件是(a,m)∣b.在有解的情况下，解数为gcd(a,m).{Theorem:}\\ 同余式 ax\equiv b \pmod m有解的充要条件是( a,m )| b.\\在有解的情况下，解数为gcd(a,m). Theorem:同余式ax≡b(modm)有解的充要条件是(a,m)∣b.在有解的情况下，解数为gcd(a,m).
解释:
ax=km+b, ax-km=b,要有整数解x,k,则根据裴蜀定理,有且仅有sa+tb=gcd(a,b)*k有整数解.

实际上就是裴蜀定理中用表格求解的那个gcd(a,b)=sa+tb.

该式gcd(6,32)=2|28,有解.并根据性质(互质两个同除,不互质三个同除)约简为
3x≡14(mod1)63x\equiv 14\pmod 163x≡14(mod1)6

通解和解数

Theorem:如果有解,且求出特解x0,那么通解为x≡x0+t⋅mgcd(a,m)(modm).{Theorem:}\\ 如果有解,且求出特解x_0,那么通解为x\equiv x_0+t\cdot \frac{m}{gcd(a,m)}\pmod m. Theorem:如果有解,且求出特解x0,那么通解为x≡x0+t⋅gcd(a,m)m(modm).
解释:
由二元一次不定方程的平衡理论,当不定方程b=ax+kmb=ax+kmb=ax+km有特解x0,k0x_0,k_0x0,k0时,步进△p\triangle p△p应为[a,m]=a,mgcd(a,m)[a,m]=\frac{a,m}{gcd(a,m)}[a,m]=gcd(a,m)a,m此时△x=p/a,△k=p/m.\triangle x=p/a,\triangle k=p/m.△x=p/a,△k=p/m.
所以△x\triangle x△x应为步进的整数倍.即x≡x0+t⋅mgcd(a,m)(modm)x\equiv x_0+t\cdot \frac{m}{gcd(a,m)}\pmod mx≡x0+t⋅gcd(a,m)m(modm).
另外,由于余数应取mod m,即x0+t⋅mgcd(a,m)<mx_0+t\cdot \frac{m}{gcd(a,m)}<mx0+t⋅gcd(a,m)m<m
即要完成一个大小为m周期,步进数为gcd(a,m).所以解数为gcd(a,m)gcd(a,m)gcd(a,m).
还有一种说法是对于解x0+t⋅mgcd(a,m)x_0+t\cdot \frac{m}{gcd(a,m)}x0+t⋅gcd(a,m)m在gcd(a,m)个解空间内分配,得解为
x0+t⋅mgcd(a,m),t∈0,1,2,...,gcd(a,m)x_0+t\cdot \frac{m}{gcd(a,m)},t\in{0,1,2,...,gcd(a,m)}x0+t⋅gcd(a,m)m,t∈0,1,2,...,gcd(a,m)

该式子中,特解为x=10 所以通解为x≡10+16t(mod3)2x\equiv 10+16t\pmod 32x≡10+16t(mod3)2,解数为2,所以t=0,1

Summary

一次同余式求解较为简单,主要流程为:
判断有无解->解数->化简->特解->通解
在这些过程中,如果有大数,要灵活运用相关性质约简和求解.在此不赘述.