第三章：物态方程

在统计力学中，平衡体系，单位相空间体积内的粒子数由下述分布表示：
n(p)=1h3gjexp⁡{[ϵj(p⃗)−μ]/kT}∓1n(p)=\frac{1}{h^3}\frac{g_j}{\exp\{[\epsilon_j(\vec p)-\mu]/kT\}\mp 1} n(p)=h31exp{[ϵj(p)−μ]/kT}∓1gj
其中，当粒子为玻色子时，符号取负；粒子为费米子时，符号取正。gjg_jgj为能级简并度，ϵ(p⃗)\epsilon(\vec p)ϵ(p)为粒子动能，μ=(∂E∂N)S,V\mu=\left(\dfrac{\partial E}{\partial N}\right)_{S,\ V}μ=(∂N∂E)S, V为化学势，是在不对外做功和熵不变时，每增加一个粒子的能量

物态方程

粒子数密度

由粒子分布函数，可以积分得到粒子数密度（积分结果是单位体积内的粒子数）：
n=∫0∞n(p)4πp2dpn=\int^\infty_0 n(p)4\pi p^2 dp n=∫0∞n(p)4πp2dp
积分后得到n=n(μ,T)n=n(\mu,\ T)n=n(μ, T)，或者写作μ=μ(n,T)\mu=\mu(n,\ T)μ=μ(n, T)，因此密度为ρ=nm\rho=nmρ=nm

压强

而对于压强：
P=∭n(p)v2pcos⁡2ip2dΩdp=13∫0∞n(p)vp4πp2dp\begin{aligned} P&=\iiint n(p)v2p\cos^2 i p^2 d\Omega dp\\ &=\frac{1}{3}\int^\infty_0 n(p)vp4\pi p^2 dp \end{aligned} P=∭n(p)v2pcos2ip2dΩdp=31∫0∞n(p)vp4πp2dp
右侧第一行是对于任意方向的动量进行的积分，第二行则是只对一个特定的方向进行的积分

积分后的P=P(μ,T)P=P(\mu,\ T)P=P(μ, T)，如果将μ\muμ用ρ\rhoρ来表示，则P=P(ρ,T)P=P(\rho,\ T)P=P(ρ, T)，是熟悉的物态方程

粒子的能量与动量的关系为：
ϵ(p)=(p2c2+m2c4)1/2−mc2\epsilon(p)=(p^2 c^2+m^2 c^4)^{1/2}-mc^2 ϵ(p)=(p2c2+m2c4)1/2−mc2
速度与能量的关系为：
v=dϵdpv=\frac{d\epsilon}{dp} v=dpdϵ

内能密度

内能密度uuu为：
u=∫0∞n(p)ϵ(p)4πp2dpu=\int^\infty_0 n(p)\epsilon(p)4\pi p^2 dp u=∫0∞n(p)ϵ(p)4πp2dp
对于理想气体而言，在非相对论极限下，ϵ(p)=p22m\epsilon(p)=\dfrac{p^2}{2m}ϵ(p)=2mp2，而在相对论极限下，ϵ(p)=pc\epsilon(p)=pcϵ(p)=pc

此积分结果的物理意义：单位体积的内能。积分后，内能u=u(n,T)=u(ρ,T)u=u(n,\ T)=u(\rho,\ T)u=u(n, T)=u(ρ, T)

而如果是对于非理想气体而言，还需要考虑内部能级的贡献

对于其他的热力学量，可以通过热力学关系给出

热平衡辐射场

压强、内能与熵

辐射场实际是光子场

光子自旋为1，但质量为0，因此就只有两个偏振态，简并度g=2g=2g=2，化学势μ=0\mu=0μ=0（因为光子数不守恒），能量ϵ=pc\epsilon=pcϵ=pc（速度为光速），将这些值代入到前面的n(p)n(p)n(p)中后，得到：
n(p)=2h31epc/kT−1n(p)=\frac{2}{h^3}\frac{1}{e^{pc/kT}-1} n(p)=h32epc/kT−11
再根据前面的PPP和uuu的公式，积分得到：
P=8π515k4c3h3T43=13aT4u=aT4\begin{aligned} &P=\frac{8\pi^5}{15}\frac{k^4}{c^3 h^3}\frac{T^4}{3}=\frac{1}{3}aT^4\\ &u=aT^4 \end{aligned} P=158π5c3h3k43T4=31aT4u=aT4
其中，a=8π515k4c3h3=7.566×10−15ergcm−3K−4a=\dfrac{8\pi^5}{15}\dfrac{k^4}{c^3h^3}=7.566\times 10^{-15}erg\ cm^{-3}\ K^{-4}a=158π5c3h3k4=7.566×10−15erg cm−3 K−4

由积分得到的PPP和uuu，可以将它们之间的关系写作：
P=(γ−1)uP=(\gamma-1)u P=(γ−1)u
其中，γ=43\gamma=\dfrac{4}{3}γ=34

通过热力学关系，还可以给出辐射场的熵：
TdSr=dU+PdVTdSr=d(aT4V)+13aT4dVdSr=43aT3dV+Vd(43aT3)Sr=43aT3V\begin{aligned} TdS_r&=dU+PdV\\ TdS_r&=d(aT^4 V)+\frac{1}{3}aT^4 dV\\ dS_r&=\frac{4}{3}aT^3dV+Vd\left(\frac{4}{3}aT^3\right)\\ S_r&=\frac{4}{3}aT^3V \end{aligned} TdSrTdSrdSrSr=dU+PdV=d(aT4V)+31aT4dV=34aT3dV+Vd(34aT3)=34aT3V
因为光子的化学势μ=0\mu=0μ=0，所以上述的积分常数为0（？？？？？？？？？？？？？？？）

黑体辐射强度

根据定义，单位时间、单位面积、单位立体角、单位频率间隔的黑体的辐射强度为：
IνdtdAdΩdν=hνn(p)p2dpdΩcdtdAI_\nu dtdAd\Omega d\nu = h\nu n(p)p^2dpd\Omega cdtdA IνdtdAdΩdν=hνn(p)p2dpdΩcdtdA
（为什么又有单位面积dAdAdA，又有单位立体角dΩd\OmegadΩ？这不是矛盾了吗？还是说这是在相空间里面的，所以才会同时出现这两个？）——不是在相空间才会同时出现两个。这两个都是在正常三维空间里面的，dAdAdA是接收的面积，dΩd\OmegadΩ是源在观测处看来的立体角大小

由此得到：
Iν=chνnpp2dpdν=2hν3c21ehν/kT−1I_\nu=ch\nu npp^2\frac{dp}{d\nu}=\frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1} Iν=chνnpp2dνdp=c22hν3ehν/kT−11
此即普朗克方程

理想气体

粒子数密度

理想气体的分布是一种特殊情况下的分布

对于非相对论性理想气体而言，粒子能量ϵi=ϵ0\epsilon_i=\epsilon_0ϵi=ϵ0，ϵ(p)=p22m\epsilon(p)=\dfrac{p^2}{2m}ϵ(p)=2mp2，v=pmv=\dfrac{p}{m}v=mp

因此，对ppp积分即可得到粒子数密度：
n=4πh3g∫0∞p2eμkTe−ϵ0kTe−p22mkTdp=4πgh3π4(2mkT)3/2e(μ−ϵ0)/kT\begin{aligned} n&=\frac{4\pi}{h^3}g\int^\infty_0 p^2 e^\frac{\mu}{kT}e^{-\frac{\epsilon_0}{kT}}e^{-\frac{p^2}{2mkT}}dp\\ &=\frac{4\pi g}{h^3}\frac{\sqrt{\pi}}{4}(2mkT)^{3/2}e^{(\mu-\epsilon_0)/kT} \end{aligned} n=h34πg∫0∞p2ekTμe−kTϵ0e−2mkTp2dp=h34πg4π(2mkT)3/2e(μ−ϵ0)/kT
如果使用经典统计，则应满足下述条件：
eμ−ϵ0kT=nh3g(2πmkT)32≪1λ=hp,⟨p⟩=1n∫0∞pdn=2π2πmkT⟨nλm3⟩=nh3⟨1p3⟩≈nh3(2πmkT)32≪1nT−3/2≪(2πmk)3/2h3\begin{aligned} &e^\frac{\mu-\epsilon_0}{kT}=\frac{nh^3}{g(2\pi mkT)^\frac{3}{2}}\ll 1\\ &\lambda=\frac{h}{p},\ \langle p\rangle=\frac{1}{n}\int^\infty_0 p dn=\frac{2}{\pi}\sqrt{2\pi mkT}\\ &\langle n\lambda^3_m\rangle=nh^3\langle\frac{1}{p^3}\rangle\approx \frac{nh^3}{(2\pi mkT)^\frac{3}{2}}\ll 1\\ & nT^{-3/2}\ll\frac{(2\pi mk)^{3/2}}{h^3} \end{aligned} ekTμ−ϵ0=g(2πmkT)23nh3≪1λ=ph, ⟨p⟩=n1∫0∞pdn=π22πmkT⟨nλm3⟩=nh3⟨p31⟩≈(2πmkT)23nh3≪1nT−3/2≪h3(2πmk)3/2

压强、内能

利用前面得到的PPP与uuu的计算方式，可以积分得到：
P=nkTu=32nkT\begin{aligned} &P=nkT\\ &u=\frac{3}{2}nkT \end{aligned} P=nkTu=23nkT
以及压强与内能之间的关系：
P=(γ−1)uP=(\gamma -1)u P=(γ−1)u
其中，γ=53\gamma=\dfrac{5}{3}γ=35

熵

根据热力学第一定律（对每个粒子的平均值而言），有：
Tds=du+PdV=32kdT+nkTd(1n)ds=32kdTT−kdnns=kln⁡(T3/2n)+s0\begin{aligned} &Tds=du+PdV=\frac{3}{2}kdT+nkTd\left(\frac{1}{n}\right)\\ &ds=\frac{3}{2}k\frac{dT}{T}-k\frac{dn}{n}\\ &s=k\ln(\frac{T^{3/2}}{n})+s_0 \end{aligned} Tds=du+PdV=23kdT+nkTd(n1)ds=23kTdT−kndns=kln(nT3/2)+s0
常数s0s_0s0无法由经典给出，需要利用低密度下量子分布与经典分布的化学势相同这一关系给出：
s0=52k+32kln⁡(2πmkh2)+kln⁡2s=kln⁡(T3/2n)/m+s0m\begin{aligned} &s_0=\frac{5}{2}k+\frac{3}{2}k\ln\left(\frac{2\pi mk}{h^2}\right)+k\ln 2\\ &s=k\ln\left(\frac{T^{3/2}}{n}\right)/m + \frac{s_0}{m} \end{aligned} s0=25k+23kln(h22πmk)+kln2s=kln(nT3/2)/m+ms0

多成分理想气体

设总粒子数为nnn，其中电子数为nen_ene，离子数为nIn_InI。则对于nIn_InI而言：
nI=∑ini=∑iρmHXiAi=ρμImHn_I=\sum_i n_i=\sum_i\frac{\rho}{m_H}\frac{X_i}{A_i}=\frac{\rho}{\mu_I m_H} nI=i∑ni=i∑mHρAiXi=μImHρ
其中，XiX_iXi为质量丰度，AiA_iAi为分子量，而对于μI\mu_IμI而言：
1μI≡∑iXiAi≈X+14Y+1−X−Y⟨A⟩\frac{1}{\mu_I}\equiv \sum_i\frac{X_i}{A_i}\approx X+\frac{1}{4}Y+\frac{1-X-Y}{\langle A\rangle} μI1≡i∑AiXi≈X+41Y+⟨A⟩1−X−Y
其中XXX为氢占的质量，YYY为氦占的质量，⟨A⟩\langle A\rangle⟨A⟩为其他物质的平均分子量

对于太阳而言，X=0.707X=0.707X=0.707，Y=0.274Y=0.274Y=0.274，⟨A⟩≈20\langle A\rangle\approx 20⟨A⟩≈20，μI=1.29\mu_I=1.29μI=1.29

接下来看电子nen_ene，假设完全电离，则有：
ne=∑iZini=ρmH∑iXiZiAi=ρmHμen_e=\sum_i Z_i n_i=\frac{\rho}{m_H}\sum_i X_i\frac{Z_i}{A_i}=\frac{\rho}{m_H\mu_e} ne=i∑Zini=mHρi∑XiAiZi=mHμeρ
引入电子分子权重（ZZZ为电子数）：
1μe≡∑iXiZiAi=X+12Y+(1−X−Y)⟨ZA⟩≈12(1+X)\frac{1}{\mu_e}\equiv\sum_i X_i\frac{Z_i}{A_i}=X+\frac{1}{2}Y+(1-X-Y)\langle\frac{Z}{A}\rangle\approx\frac{1}{2}(1+X) μe1≡i∑XiAiZi=X+21Y+(1−X−Y)⟨AZ⟩≈21(1+X)
由此，得到总的气体压强：
P=(nI+ne)kT=ρμmHkTP=(n_I+n_e)kT=\frac{\rho}{\mu m_H}kT P=(nI+ne)kT=μmHρkT
其中：
1μ=1μe+1μI\frac{1}{\mu}=\frac{1}{\mu_e}+\frac{1}{\mu_I} μ1=μe1+μI1
对于太阳而言，μ=0.61\mu=0.61μ=0.61

对于电离物质粒子之间的库仑作用，如果与粒子的热能相比很小，则可以忽略前者的作用，属于理想气体：
Ze2d∼Ze2n1/3≪32kTρ≪85(T106K)3gcm−3\begin{aligned} &\frac{Ze^2}{d}\sim Ze^2n^{1/3}\ll\frac{3}{2}kT\\ &\rho \ll 85\left(\frac{T}{10^6 K}\right)^3 g\ cm^{-3} \end{aligned} dZe2∼Ze2n1/3≪23kTρ≪85(106KT)3g cm−3
而如果密度远高于临界值，则晶格化（库仑力作用远大于热能，使得粒子固定）将会变得非常重要：
Ze2d≫32kT\frac{Ze^2}{d}\gg\frac{3}{2}kT dZe2≫23kT

简并的费米子

对于自旋半整数的粒子，ϵ0=0\epsilon_0=0ϵ0=0，简并度g=2s+1=2g=2s+1=2g=2s+1=2，一般的分布函数为Fermi-Dirac分布：
F(ϵ)=1exp⁡[ϵ−(μ−mc2)kT]+1F(\epsilon)=\frac{1}{\exp\left[\frac{\epsilon-(\mu-mc^2)}{kT}\right]+1} F(ϵ)=exp[kTϵ−(μ−mc2)]+11
其中：
ϵ(p)=mc2[1+(pmc)2−1]v=∂ϵ∂p=pm[1+(pmc)2]−12\begin{aligned} &\epsilon(p)=mc^2\left[\sqrt{1+\left(\frac{p}{mc}\right)^2}-1\right]\\ &v=\frac{\partial \epsilon}{\partial p}=\frac{p}{m}\left[1+\left(\frac{p}{mc}\right)^2\right]^{-\frac{1}{2}} \end{aligned} ϵ(p)=mc2[1+(mcp)2−1]v=∂p∂ϵ=mp[1+(mcp)2]−21

粒子数密度

由此，可以计算粒子数密度：
n=2×4πh3∫0∞p2dpexp⁡[mc2+ϵ(p)−μkT]+1n=\frac{2\times 4\pi}{h^3}\int^\infty_0\frac{p^2 dp}{\exp\left[\frac{mc^2+\epsilon(p)-\mu}{kT}\right]+1} n=h32×4π∫0∞exp[kTmc2+ϵ(p)−μ]+1p2dp
这样的积分，在一般情况下是很困难的，因此先考虑特殊情况。在完全简并时，有kT≪(μ−mc2)kT\ll (\mu-mc^2)kT≪(μ−mc2)，此时的分布函数为：
F(ϵ)={1,ϵ≤(μ−mc2)0,ϵ>(μ−mc2)F(\epsilon)=\left\{\begin{aligned} &1,\ \epsilon\le(\mu-m c^2)\\ &0,\ \epsilon > (\mu -mc^2) \end{aligned}\right. F(ϵ)={1, ϵ≤(μ−mc2)0, ϵ>(μ−mc2)
引入：
x=pmc,xF=pFmcx=\frac{p}{mc},\ x_F=\frac{p_F}{mc} x=mcp, xF=mcpF
由此得到费米能：
ϵF=mc2[(1+xF2)12−1]\epsilon_F=mc^2[(1+x^2_F)^\frac{1}{2}-1] ϵF=mc2[(1+xF2)21−1]
于是：
n=8πh3∫0pFp2dp=8π(hmc)−3∫0xFx2dx=8π3(hmc)−3xF3n=\frac{8\pi}{h^3}\int^{p_F}_0 p^2 dp=8\pi\left(\frac{h}{mc}\right)^{-3}\int^{x_F}_0 x^2 dx=\frac{8\pi}{3}\left(\frac{h}{mc}\right)^{-3}x^3_F n=h38π∫0pFp2dp=8π(mch)−3∫0xFx2dx=38π(mch)−3xF3
由此可以计算电子密度：
μe=ρnemA\mu_e=\frac{\rho}{n_em_A} μe=nemAρ
代入nen_ene，得到ρμe≈9.7×105xF3gcm−3\dfrac{\rho}{\mu_e}\approx 9.7\times 10^5 x^3_F g\ cm^{-3}μeρ≈9.7×105xF3g cm−3（mAm_AmA是什么？）

压强

于是，即可计算压强：
P=8π3m4c2h3∫0xFx4dx(1+x2)12=Af(xF)P=\frac{8\pi}{3}\frac{m^4 c^2}{h^3}\int^{x_F}_0\frac{x^4 dx}{(1+x^2)^\frac{1}{2}}=Af(x_F) P=38πh3m4c2∫0xF(1+x2)21x4dx=Af(xF)
其中：
A=π3(hmc)−3mc2f(x)=x(2x2−3)(1+x2)12+3sinh⁡−1xsinh⁡−1x=ln⁡(x+1+x2)\begin{aligned} &A=\frac{\pi}{3}\left(\frac{h}{mc}\right)^{-3}mc^2\\ &f(x)=x(2x^2-3)(1+x^2)^\frac{1}{2}+3\sinh^{-1}x\\ &\sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{1+x^2}) \end{aligned} A=3π(mch)−3mc2f(x)=x(2x2−3)(1+x2)21+3sinh−1xsinh−1x=ln(x+1+x2)

内能

对应的内能为：
u=Ag(xF)g(x)=8x3[(1+x2)12−1]−f(x)\begin{aligned} &u=Ag(x_F)\\ &g(x)=8x^3[(1+x^2)^\frac{1}{2}-1]-f(x) \end{aligned} u=Ag(xF)g(x)=8x3[(1+x2)21−1]−f(x)
在非相对论情况下：
xF→0,f(x)=85x5,g(x)=125x5x_F\rightarrow 0,\ f(x)=\frac{8}{5}x^5,\ g(x)=\frac{12}{5}x^5 xF→0, f(x)=58x5, g(x)=512x5

Pe=8π15(hmec)−3mec2xF5=120(3π)1/3(hmec)2(1μemA)5/3mec2ρ5/3≈1.019×1018(ρμe)5/3\begin{aligned} P_e&=\frac{8\pi}{15}\left(\frac{h}{m_e c}\right)^{-3} m_e c^2 x^5_F\\ &=\frac{1}{20}\left(\frac{3}{\pi}\right)^{1/3}\left(\frac{h}{m_ec}\right)^2\left(\frac{1}{\mu_e m_A}\right)^{5/3}m_e c^2\rho^{5/3}\\ &\approx 1.019\times 10^{18}\left(\frac{\rho}{\mu_e}\right)^{5/3} \end{aligned} Pe=158π(mech)−3mec2xF5=201(π3)1/3(mech)2(μemA1)5/3mec2ρ5/3≈1.019×1018(μeρ)5/3

（单位：cgs）
u=4π5(hmc)−3mc2xF5∝ρ53u=(32)Pγ=53u=\frac{4\pi}{5}\left(\frac{h}{mc}\right)^{-3}mc^2 x^5_F\propto \rho^{\frac{5}{3}}\\ u=\left(\frac{3}{2}\right)P\\ \gamma=\frac{5}{3} u=54π(mch)−3mc2xF5∝ρ35u=(23)Pγ=35
在极相对论情况下：
xF→∞,f(x)→2x4,g(x)→6x4Pe=2π3(hmec)−3mec2xF4=18(3π)1/3(hmec)mec2ne4/3≈1.243×1019(ρμe)4/3x_F\rightarrow \infty,\ f(x)\rightarrow 2x^4,\ g(x)\rightarrow 6x^4\\ P_e=\frac{2\pi}{3}\left(\frac{h}{m_e c}\right)^{-3}m_e c^2 x^4_F=\frac{1}{8}\left(\frac{3}{\pi}\right)^{1/3}\left(\frac{h}{m_e c}\right)m_e c^2n_e^{4/3}\approx 1.243\times 10^{19}\left(\frac{\rho}{\mu_e}\right)^{4/3} xF→∞, f(x)→2x4, g(x)→6x4Pe=32π(mech)−3mec2xF4=81(π3)1/3(mech)mec2ne4/3≈1.243×1019(μeρ)4/3
（单位：cgs）
Ue=3Pe,γ=43U_e=3P_e,\ \gamma=\frac{4}{3} Ue=3Pe, γ=34

简并

由热动能和费米能的大小进行比较，可以得知简并与非简并：

若kT≫EfkT\gg E_fkT≫Ef，则情况为非简并

若kT≪EfkT\ll E_fkT≪Ef，则情况为简并

根据ρμe=9.7×105xF3gcm−3\dfrac{\rho}{\mu_e}=9.7\times 10^5 x^3_F\ g\ cm^{-3}μeρ=9.7×105xF3 g cm−3，可以得到：

相对论性简并的条件：ρμe≫4.6×106(T1010k)3\dfrac{\rho}{\mu_e}\gg 4.6\times 10^6 \left(\frac{T}{10^{10}k}\right)^3μeρ≫4.6×106(1010kT)3

非相对论性非简并：ϵF=mc2xF22,ρμe≪6.0(T106k)32gcm−3\epsilon_F=mc^2\dfrac{x_F^2}{2},\ \dfrac{\rho}{\mu_e}\ll 6.0\left(\frac{T}{10^6 k}\right)^\frac{3}{2}\ g\ cm^{-3}ϵF=mc22xF2, μeρ≪6.0(106kT)23 g cm−3

根据前面的积分公式，部分简并的物态-积分形式表示如下：
ψ=μ−mc2kTn=8πh3∫0∞p2dp1+e(ϵ/kT−ψ)Pe=8π3h3∫0∞p3v(p)dp1+e(ϵ/kT−ψ)Ue=8πh3∫0∞p2ϵ(p)dp1+e(ϵ/kT−ψ)\begin{aligned} &\psi=\frac{\mu-mc^2}{kT}\\ &n=\frac{8\pi}{h^3}\int^\infty_0\frac{p^2dp}{1+e^{(\epsilon/kT-\psi)}}\\ &P_e=\frac{8\pi}{3h^3}\int^\infty_0\frac{p^3v(p)dp}{1+e^{(\epsilon/kT-\psi)}}\\ &U_e=\frac{8\pi}{h^3}\int^\infty_0\frac{p^2\epsilon(p)dp}{1+e^{(\epsilon/kT-\psi)}} \end{aligned} ψ=kTμ−mc2n=h38π∫0∞1+e(ϵ/kT−ψ)p2dpPe=3h38π∫0∞1+e(ϵ/kT−ψ)p3v(p)dpUe=h38π∫0∞1+e(ϵ/kT−ψ)p2ϵ(p)dp
在非相对论情形下，表示如下：
η=p22mkTn=4πh3(2mkT)32∫0∞η1/2dη1+eη−ψPe=4π3mh3(2mkT)52∫0∞η3/2dη1+eη−ψue=4π2mh3(2mkT)52∫0∞η3/2dη1+eη−ψ=32P\begin{aligned} &\eta=\frac{p^2}{2mkT}\\ &n=\frac{4\pi}{h^3}(2mkT)^\frac{3}{2}\int^\infty_0\frac{\eta^{1/2}d\eta}{1+e^{\eta-\psi}}\\ &P_e=\frac{4\pi}{3mh^3}(2mkT)^\frac{5}{2}\int^\infty_0\frac{\eta^{3/2}d\eta}{1+e^{\eta-\psi}}\\ &u_e=\frac{4\pi}{2mh^3}(2mkT)^\frac{5}{2}\int^\infty_0\frac{\eta^{3/2}d\eta}{1+e^{\eta-\psi}}=\frac{3}{2}P \end{aligned} η=2mkTp2n=h34π(2mkT)23∫0∞1+eη−ψη1/2dηPe=3mh34π(2mkT)25∫0∞1+eη−ψη3/2dηue=2mh34π(2mkT)25∫0∞1+eη−ψη3/2dη=23P
在相对论情形下，表示如下：
ξ=pckTn=8πh3(kTc)3∫0∞ξ2dξ1+eξ−ψPe=8πc3h3(kTc)4∫0∞ξ3dξ1+eξ−ψue=8πch3(kTc)4∫0∞ξ3dξ1+eξ−ψ=3P\begin{aligned} &\xi=\frac{pc}{kT}\\ &n=\frac{8\pi}{h^3}\left(\frac{kT}{c}\right)^3\int^\infty_0\frac{\xi^2 d\xi}{1+e^{\xi-\psi}}\\ &P_e=\frac{8\pi c}{3h^3}\left(\frac{kT}{c}\right)^4\int^\infty_0\frac{\xi^3 d\xi}{1+e^{\xi-\psi}}\\ &u_e=\frac{8\pi c}{h^3}\left(\frac{kT}{c}\right)^4\int^\infty_0\frac{\xi^3 d\xi}{1+e^{\xi-\psi}}=3P \end{aligned} ξ=kTpcn=h38π(ckT)3∫0∞1+eξ−ψξ2dξPe=3h38πc(ckT)4∫0∞1+eξ−ψξ3dξue=h38πc(ckT)4∫0∞1+eξ−ψξ3dξ=3P
对于弱简并的情况，由于exp⁡(ψ)\exp(\psi)exp(ψ)是小量，因此可以对上式进行泰勒展开

弱简并在小质量恒星主序阶段和一些演化晚期非常重要

以极相对论性为例：
11+eξ−ψ=eψ−ξ[1−eψ−ξ+e2(ψ−ξ)+⋯]\frac{1}{1+e^{\xi-\psi}}=e^{\psi-\xi}[1-e^{\psi-\xi}+e^{2(\psi-\xi)}+\cdots] 1+eξ−ψ1=eψ−ξ[1−eψ−ξ+e2(ψ−ξ)+⋯]

v≡neh38π(kTc)3=∫0∞ξ2eψ−ξ(1−eψ−ξ+⋯)dξ=Γ(3)eψ−Γ(3)23e2ψ+⋯=2eψ−14e2ψ+⋯\begin{aligned} v&\equiv n_e\frac{h^3}{8\pi}\left(\frac{kT}{c}\right)^3=\int^\infty_0\xi^2 e^{\psi-\xi}(1-e^{\psi-\xi}+\cdots)d\xi\\ &=\Gamma(3)e^\psi-\frac{\Gamma(3)}{2^3}e^{2\psi}+\cdots\\ &=2e^\psi-\frac{1}{4}e^{2\psi}+\cdots \end{aligned} v≡ne8πh3(ckT)3=∫0∞ξ2eψ−ξ(1−eψ−ξ+⋯)dξ=Γ(3)eψ−23Γ(3)e2ψ+⋯=2eψ−41e2ψ+⋯

保留到二阶项后：
eψ≈4(1±1−v)e^\psi\approx 4(1\pm\sqrt{1-v}) eψ≈4(1±1−v)

Pe=8πc3h3(kTc)4∫0∞ξ3eψ−ξ(1−eψ−ξ+⋯)dξ=8πc3h3(kTc)4(6eψ−38e2ψ+⋯)\begin{aligned} P_e&=\frac{8\pi c}{3h^3}\left(\frac{kT}{c}\right)^4\int^\infty_0\xi^3 e^{\psi-\xi}(1-e^{\psi-\xi}+\cdots)d\xi\\ &=\frac{8\pi c}{3h^3}\left(\frac{kT}{c}\right)^4(6e^\psi-\frac{3}{8}e^{2\psi}+\cdots) \end{aligned} Pe=3h38πc(ckT)4∫0∞ξ3eψ−ξ(1−eψ−ξ+⋯)dξ=3h38πc(ckT)4(6eψ−83e2ψ+⋯)

具有内部结构的气体物态方程

热平衡时，不同能级的分布服从玻尔兹曼分布，对于两个能级iii、jjj，满足下述关系：
NiNj=gigje−(ϵi−ϵj)kT\frac{N_i}{N_j}=\frac{g_i}{g_j}e^\frac{-(\epsilon_i-\epsilon_j)}{kT} NjNi=gjgiekT−(ϵi−ϵj)
取基态能量为0，则有：
Ni=Ngie−ϵikTZN_i=N\frac{g_ie^\frac{-\epsilon_i}{kT}}{Z} Ni=NZgiekT−ϵi
其中，ZZZ为配分函数：
Z=∑jgje−ϵjkTZ=\sum_j g_j e^{\frac{-\epsilon_j}{kT}} Z=j∑gjekT−ϵj
把每一个粒子的能量加起来，得到内部的能级对内能的贡献：
U=N⟨ϵ⟩=N∑iϵigie−ϵi/kTZU=N\langle\epsilon\rangle=\frac{N\sum_i\epsilon_ig_i e^{-\epsilon_i/kT}}{Z} U=N⟨ϵ⟩=ZN∑iϵigie−ϵi/kT
一般不计内部结构对压强的影响

在恒星内部，密度高，原子间距小，因为原子轨道半径随能级增大的速度很快，所以只要考虑ZZZ的有限几个能级就可以

Saha方程——热平衡时电离程度与热力学量关系

如果考虑到了电子离子的分布的话，就需要考虑电离程度了

对于被电离出的电子，取原子基态的能量E=0E=0E=0，记电离势为χI\chi_IχI，则自由电子能量为：
Δϵ=χ1+12mev2\Delta\epsilon=\chi_1+\frac{1}{2}m_e v^2 Δϵ=χ1+21mev2
则此时的热平衡玻尔兹曼分布写作：
dn0+(v)n0=gg0exp⁡[−χI+12mev2kT]\frac{dn^+_0(v)}{n_0}=\frac{g}{g_0}\exp\left[-\frac{\chi_I+\frac{1}{2}m_ev^2}{kT}\right] n0dn0+(v)=g0gexp[−kTχI+21mev2]
其中，dn0+(v)dn^+_0(v)dn0+(v)表示离子在基态，电子速度介于v∼v+dvv\sim v+dvv∼v+dv之间的态的粒子数，ggg表示离子在基态，电子自由态的权重g=geg0+g=g_eg^+_0g=geg0+

geg_ege为电子态的统计权重：
ge=2d3x⃗d3pe⃗h3=2d3pe⃗h3neg_e=\frac{2d^3\vec xd^3 \vec {p_e}}{h^3}=\frac{2d^3\vec {p_e}}{h^3 n_e} ge=h32d3xd3pe=h3ne2d3pe
其中的常数2是因为电子的自旋有两个方向

由于d3pe⃗=4πpe2dpe=4πme3ve2dved^3\vec{p_e}=4\pi p^2_e dp_e=4\pi m^3_e v^2_e dv_ed3pe=4πpe2dpe=4πme3ve2dve，因此：
dn0+(v)n0=8πme3h3g0+neexp⁡(−χI+mev2/2kT)v2dv\frac{dn^+_0(v)}{n_0}=\frac{8\pi m^3_e}{h^3}\frac{g^+_0}{n_e}\exp\left(-\frac{\chi_I+m_e v^2/2}{kT}\right)v^2 dv n0dn0+(v)=h38πme3neg0+exp(−kTχI+mev2/2)v2dv
对vvv积分，得到：
n0+nen0=(2πmekTh2)3/22g0+g0exp⁡[−χIkT]\frac{n^+_0n_e}{n_0}=\left(\frac{2\pi m_e kT}{h^2}\right)^{3/2}\frac{2g_0^+}{g_0}\exp\left[-\frac{\chi_I}{kT}\right] n0n0+ne=(h22πmekT)3/2g02g0+exp[−kTχI]
代入到玻尔兹曼分布中，得到：
n0n=gZ(T),n0+n+=g0+Z+(T)\frac{n_0}{n}=\frac{g}{Z(T)},\ \frac{n^+_0}{n^+}=\frac{g_0^+}{Z^+(T)} nn0=Z(T)g, n+n0+=Z+(T)g0+
最后，得出Saha方程：
n+nen=2Z+(T)Z(T)(2πmekTh2)3/2exp⁡[−χIkT]\frac{n^+n_e}{n}=\frac{2Z^+(T)}{Z(T)}\left(\frac{2\pi m_e kT}{h^2}\right)^{3/2}\exp\left[-\frac{\chi_I}{kT}\right] nn+ne=Z(T)2Z+(T)(h22πmekT)3/2exp[−kTχI]
Saha方程用于描述相邻两个电离态nnn与n+n^+n+的粒子数密度关系（更高一级的电离态是什么？）

纯氢气体的电离

纯氢只能电离为质子和电子，就不能再往后电离了，所以只有两种电离状态。电中性条件为：
ne=n+n=n++n0n_e=n^+\\ n=n^++n^0 ne=n+n=n++n0
其中，n0n_0n0表示基态，n0n^0n0表示中性的，n+n^+n+表示电离的。第一条表示纯氢电离后电子和离子数目相等，第二条表示总数目等于电离的加上中性的

引入电离度的定义x=n+nx=\dfrac{n^+}{n}x=nn+，由Saha方程得到（配分函数怎么算出来的基态离子:中性氢基态=1:2？）：
x21−x=1n(2πmekTh2)32e−χIkTx21−x=4×10−9gcm−3ρT32e−1.578×105T≡Λx=−Λ±Λ2+4Λ2\frac{x^2}{1-x}=\frac{1}{n}\left(\frac{2\pi m_e kT}{h^2}\right)^\frac{3}{2}e^\frac{-\chi_I}{kT}\\ \frac{x^2}{1-x}=\frac{4\times 10^{-9} g\ cm^{-3}}{\rho}T^\frac{3}{2}e^{\frac{-1.578\times 10^ 5}{T}}\equiv \Lambda\\ x=\frac{-\Lambda\pm \sqrt{\Lambda^2+4\Lambda}}{2} 1−xx2=n1(h22πmekT)23ekT−χI1−xx2=ρ4×10−9g cm−3T23eT−1.578×105≡Λx=2−Λ±Λ2+4Λ
最后就得到了电离度的表达式

Saha方程的不适用范围

在太阳冕区等地方，粒子密度低，热平衡假设不成立，因此Saha方程不适用

而密度高时压强电离，电离程度高了之后，就主要跃迁移到紫外波段了。如果离子之间的距离小于波尔半径，电子就可以自由跑来跑去，和导电一样（金属氢）（这个情况叫做压强电离），Saha方程不适用

温度低时，离子之间有库仑作用，库仑能比热能大很多

例如，木星体积大，温度低，压强大，密度高，Saha方程不适用

部分电离物质的热力学性质

压强、内能、热容

以纯氢为例，设电离度为xxx，则粒子数为(1+x)n(1+x)n(1+x)n。其中，nnn为氢原子的粒子数密度。由此得到压强为：
P=(1+x)nkT=(1+x)ρkT/mAP=(1+x)nkT=(1+x)\rho kT/m_A P=(1+x)nkT=(1+x)ρkT/mA
单位体积内能为：
U=32(1+x)nkT+xnχ1U=\frac{3}{2}(1+x)nkT+xn\chi_1 U=23(1+x)nkT+xnχ1
单位质量内能为：
ϵ=32Pρ+xmHχI\epsilon=\frac{3}{2}\frac{P}{\rho}+\frac{x}{m_H}\chi_I ϵ=23ρP+mHxχI
热容量为：
cV=(∂ϵ∂T)ρ=32(1+x)kmH+32kmH(∂x∂T)ρ+χIk(∂x∂T)ρ=32(1+x)kmH+(32kmH+χIk)(∂x∂T)ρ\begin{aligned} c_V&=\left(\frac{\partial\epsilon}{\partial T}\right)_\rho\\ &=\frac{3}{2}(1+x)\frac{k}{m_H}+\frac{3}{2}\frac{k}{m_H}\left(\frac{\partial x}{\partial T}\right)_\rho+\frac{\chi_I}{k}\left(\frac{\partial x}{\partial T}\right)_\rho\\ &=\frac{3}{2}(1+x)\frac{k}{m_H}+\left(\frac{3}{2}\frac{k}{m_H}+\frac{\chi_I}{k}\right)\left(\frac{\partial x}{\partial T}\right)_\rho \end{aligned} cV=(∂T∂ϵ)ρ=23(1+x)mHk+23mHk(∂T∂x)ρ+kχI(∂T∂x)ρ=23(1+x)mHk+(23mHk+kχI)(∂T∂x)ρ
对Saha方程微分:
[∂∂T(x21−x)]n=1n(2πmekTh2)32e−χIkT(32T+χIkT2)\left[\frac{\partial }{\partial T}\left(\frac{x^2}{1-x}\right)\right]_n=\frac{1}{n}\left(\frac{2\pi m_e kT}{h^2}\right)^\frac{3}{2}e^{-\frac{\chi_I}{kT}}\left(\frac{3}{2T}+\frac{\chi_I}{kT^2}\right) [∂T∂(1−xx2)]n=n1(h22πmekT)23e−kTχI(2T3+kT2χI)
从而得到：
(∂x∂T)n=(1−x)22x−x21n(2πmekTh2)32(32T+χIkT2)e−χIkT\left(\frac{\partial x}{\partial T}\right)_n=\frac{(1-x)^2}{2x-x^2}\frac{1}{n}\left(\frac{2\pi m_e kT}{h^2}\right)^\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2T}+\frac{\chi_I}{kT^2}\right)e^{-\frac{\chi_I}{kT}} (∂T∂x)n=2x−x2(1−x)2n1(h22πmekT)23(2T3+kT2χI)e−kTχI
于是，可以得到：
cV=cV0[1+23(32+χHkT)2x(1−x)(1+x)(2−x)]c_V=c^0_V\left[1+\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}+\frac{\chi_H}{kT}\right)^2\frac{x(1-x)}{(1+x)(2-x)}\right] cV=cV0[1+32(23+kTχH)2(1+x)(2−x)x(1−x)]
其中，cV0=32(1+x)kmHc^0_V=\dfrac{3}{2}(1+x)\dfrac{k}{m_H}cV0=23(1+x)mHk。类似地，也可以得到：
cP=cV0[53+13(52+χIkT)2x(1−x)]c_P=c^0_V\left[\frac{5}{3}+\frac{1}{3}\left(\frac{5}{2}+\frac{\chi_I}{kT}\right)^2x(1-x)\right] cP=cV0[35+31(25+kTχI)2x(1−x)]

绝热指数

绝热时，dQ=0dQ=0dQ=0。定义Γ1≡(∂ln⁡P∂ln⁡ρ)ad\Gamma_1\equiv\left(\dfrac{\partial\ln P}{\partial \ln \rho}\right)_{ad}Γ1≡(∂lnρ∂lnP)ad，则有：
dPP+Γ1dVV=0\frac{dP}{P}+\Gamma_1\frac{dV}{V}=0 PdP+Γ1VdV=0
如果将dQdQdQ写作dQ=dϵ+Pd1ρ=cVdT+…dρdQ=d\epsilon+Pd\dfrac{1}{\rho}=c_VdT+\dots d\rhodQ=dϵ+Pdρ1=cVdT+…dρ，定义Γ3−1≡(∂ln⁡T∂ln⁡ρ)ad\Gamma_3-1\equiv\left(\dfrac{\partial \ln T}{\partial \ln \rho}\right)_{ad}Γ3−1≡(∂lnρ∂lnT)ad，则有：
dTT+(Γ3−1)dVV=0\frac{dT}{T}+(\Gamma_3-1)\frac{dV}{V}=0 TdT+(Γ3−1)VdV=0
因为ρ=ρ(P,T)\rho=\rho(P,\ T)ρ=ρ(P, T)，所以dρd\rhodρ可以写作dρ=…dP+cPdTd\rho=\dots dP+c_PdTdρ=…dP+cPdT，定义Γ2−1Γ2≡(∂ln⁡T∂ln⁡P)ad\dfrac{\Gamma_2-1}{\Gamma_2}\equiv\left(\dfrac{\partial \ln T}{\partial \ln P}\right)_{ad}Γ2Γ2−1≡(∂lnP∂lnT)ad，由此即有：
dTT−Γ2−1Γ2dPP=0\frac{dT}{T}-\frac{\Gamma_2-1}{\Gamma_2}\frac{dP}{P}=0 TdT−Γ2Γ2−1PdP=0
由此便得到了三种绝热指数：Γ1\Gamma_1Γ1为绝热压缩系数的倒数，Γ3−1\Gamma_3-1Γ3−1为绝热膨胀系数的倒数，Γ2−1Γ2\dfrac{\Gamma_2-1}{\Gamma_2}Γ2Γ2−1绝热温度梯度。因为有一个物态方程，所以三个指数中只有两个独立：
(Γ3−1)=(Γ2−1)Γ1Γ2(\Gamma_3-1)=(\Gamma_2-1)\dfrac{\Gamma_1}{\Gamma_2} (Γ3−1)=(Γ2−1)Γ2Γ1
绝热指数与热力学量具有下述关系：
Γ1=−cPcVVP(∂P∂V)TΓ3−1=VTcP−cVcV(∂T∂V)PΓ2Γ2−1=−cPT(cP−cV)(∂T∂P)VP\Gamma_1=-\frac{c_P}{c_V}\frac{V}{P}\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T\\ \Gamma_3-1=\frac{V}{T}\frac{c_P-c_V}{c_V}\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P\\ \frac{\Gamma_2}{\Gamma_2-1}=-\frac{c_PT}{(c_P-c_V)\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_VP} Γ1=−cVcPPV(∂V∂P)TΓ3−1=TVcVcP−cV(∂V∂T)PΓ2−1Γ2=−(cP−cV)(∂P∂T)VPcPT
由此计算得到：
Γ1(x)=5+(52+χIkT)2x(1−x)3+[32+(32+χIkT)2]x(1−x)Γ2(x)Γ2(x)−1=5+2D(x)[χIkT+(32+χIkT)(52+χIkT)]2+D(x)(32+χIkT)Γ3(x)−1=2+2D(x)(32+χIkT)3+2D(x)(32+χIkT)2D(x)=x(1−x)(2−x)(1+x)\Gamma_1(x)=\frac{5+\left(\frac{5}{2}+\frac{\chi_I}{kT}\right)^2x(1-x)}{3+\left[\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}+\frac{\chi_I}{kT}\right)^2\right]x(1-x)}\\ \frac{\Gamma_2(x)}{\Gamma_2(x)-1}=\frac{5+2D(x)\left[\frac{\chi_I}{kT}+\left(\frac{3}{2}+\frac{\chi_I}{kT}\right)\left(\frac{5}{2}+\frac{\chi_I}{kT}\right)\right]}{2+D(x)\left(\frac{3}{2+\frac{\chi_I}{kT}}\right)}\\ \Gamma_3(x)-1=\frac{2+2D(x)\left(\frac{3}{2}+\frac{\chi_I}{kT}\right)}{3+2D(x)\left(\frac{3}{2}+\frac{\chi_I}{kT}\right)^2}\\ D(x)=\frac{x(1-x)}{(2-x)(1+x)} Γ1(x)=3+[23+(23+kTχI)2]x(1−x)5+(25+kTχI)2x(1−x)Γ2(x)−1Γ2(x)=2+D(x)(2+kTχI3)5+2D(x)[kTχI+(23+kTχI)(25+kTχI)]Γ3(x)−1=3+2D(x)(23+kTχI)22+2D(x)(23+kTχI)D(x)=(2−x)(1+x)x(1−x)
因为大部分的热量用于电离气体而不是升高温度，所以热容量大

在部分电离区，绝热指数小，原因在于电离参数对温度很敏感

部分电离区是恒星振动不稳定性的源

辐射和气体混合热力学性质

压强、内能

在热平衡下：
P=nkT+(13)aT4=ρμmAkT+13aT4u=321μmAkT+aT4ρP=nkT+\left(\frac{1}{3}\right)aT^4=\frac{\rho}{\mu m_A}kT+\frac{1}{3}aT^4\\ u=\frac{3}{2}\frac{1}{\mu m_A}kT+\frac{aT^4}{\rho} P=nkT+(31)aT4=μmAρkT+31aT4u=23μmA1kT+ρaT4
（uuu为单位质量的内能）

在准静态变化时，由热力学第一定律，有：
dQ=du+PdV=(∂u∂T)VdT+(∂u∂V)TdV+PdV(∂u∂T)V=4aT3V+32kμmA(∂u∂V)T=aT4dQ=du+PdV=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_VdT+\left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_TdV+PdV\\ \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V=4aT^3V+\frac{3}{2}\frac{k}{\mu m_A}\left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_T=aT^4 dQ=du+PdV=(∂T∂u)VdT+(∂V∂u)TdV+PdV(∂T∂u)V=4aT3V+23μmAk(∂V∂u)T=aT4
由此得到：
dQ=(4aT3V+32kμmA)dT+(43aT4+kμmATV)dVdQ=\left(4aT^3V+\frac{3}{2}\frac{k}{\mu m_A}\right)dT+\left(\frac{4}{3}aT^4+\frac{k}{\mu m_A}\frac{T}{V}\right)dV dQ=(4aT3V+23μmAk)dT+(34aT4+μmAkVT)dV

物态方程、绝热系数

对PPP进行微分，得到：
dP=(43aT4+kTμmAV)dTT−kTμmAVdVV=(4Prad+Pgas)dTT−PgasdVV\begin{aligned} dP&=\left(\frac{4}{3}aT^4+\frac{kT}{\mu m_A V}\right)\frac{dT}{T}-\frac{kT}{\mu m_A V}\frac{dV}{V}\\ &=(4P_{rad}+P_{gas})\frac{dT}{T}-P_{gas}\frac{dV}{V} \end{aligned} dP=(34aT4+μmAVkT)TdT−μmAVkTVdV=(4Prad+Pgas)TdT−PgasVdV
引入β\betaβ（关于气体贡献压强比例的参数）：
Pgas=βPPrad=(1−β)PP_{gas}=\beta P\\ P_{rad}=(1-\beta)P Pgas=βPPrad=(1−β)P
经过一系列的推导后，得到绝热系数：
Γ1=32−24β−3β224−21βΓ2=32−24β−3β224−18β−3β2Γ3=32−27β24−21β\begin{aligned} \Gamma_1&=\frac{32-24\beta-3\beta^2}{24-21\beta}\\ \Gamma_2&=\frac{32-24\beta-3\beta^2}{24-18\beta-3\beta^2}\\ \Gamma_3&=\frac{32-27\beta}{24-21\beta} \end{aligned} Γ1Γ2Γ3=24−21β32−24β−3β2=24−18β−3β232−24β−3β2=24−21β32−27β

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物态方程

粒子数密度

压强

内能密度

热平衡辐射场

压强、内能与熵

黑体辐射强度

理想气体

粒子数密度

压强、内能

熵

多成分理想气体

简并的费米子

粒子数密度

压强

内能

简并

具有内部结构的气体物态方程

Saha方程——热平衡时电离程度与热力学量关系

纯氢气体的电离

Saha方程的不适用范围

部分电离物质的热力学性质

压强、内能、热容

绝热指数

辐射和气体混合热力学性质

压强、内能

物态方程、绝热系数

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