一个漂亮的证明与作图：高斯的正十七边形

一天晚上，19岁正读博的高斯的导师由于疏忽将两千多年未解决的一个问题——尺规做正十七边形留给了高斯，高斯优哉游哉得咬着笔头写着作业，然后表情严肃起来，妈的这题有点BT啊！想啊想，通宵一晚，伴着拂晓的晨光，高斯铅笔一扔，胸口长舒一口气。心说，唉，最近智商又下降了，想我9岁算1+2+3……+100也没用这么长时间啊，这么个破题居然花了一晚上时间！第二天拿给博导，博导惊了，对他说，这可是阿基米德牛顿都没做出来的题啊！你真是个天才啊！

下面附上作图步骤和证明。

首先基于这样一个简单的定理，一直线段a、b，则对于线段c满足c^2 + ac + b = 0(c是实根，线段长肯定是实数)，我们是能够做出c的。这个定理采用的一个基本思路就是利用代数方法去建立起线段之间的联系，而这也是求得cos(2π/17)的核心思想。

令： a = 2(cos(2π/17) + cos(4π/17) + cos(8π/17) + cos(16π/17)) ①

a1 = 2(cos(6π/17) + cos(10π/17) + cos(12π/17) + cos(14π/17)) ②

通过和差化积、诱导公式，我们会得到a + a1 = -1 , a*a1 = -4，可通过还原建立一元二次等式，利用上述定理，可做长度为a、a1的线段。
令： b = 2(cos(2π/17) + cos(8π/17)) ③

b1 = 2(cos(4π/17) + cos(16π/17)) ④

通过和差化积、诱导公式，我们会得到b + b1 = a , b*b1 = -1，可做长度为b、b1的线段。

令： c = 2(cos(6π/17) + cos(10π/17)) ⑤

c1 = 2(cos(12π/17) + cos(14π/17)) ⑥

通过和差化积、诱导公式，我们会得到c + c1 = a1 , c*c1 = -1，可做长度为c、c1的线段。
考察⑤，利用和差化积、诱导公式，将其化为如下形式。 [2cos(2π/17)][2cos(8π/17)] = c ⑦
联立③⑦，则可作出长度cos(2π/17)的线段。(注意需要比较两个根的大小) 即可做出正十七边形。

1.给一圆O，作两垂直的直径AB、CD.

2.在OA上作E点使OE=1/4AO,连结CE.

3.作∠CEB的平分线EF.

4.作∠FEB的平分线EG,交CO于P.

5.作∠GEH=45°,交CD于Q.

6.以CQ为直径作圆,交OB于K.

7.以P为圆心,PK为半径作圆,交CD于L、M.

8.分别过M、L作CD的垂线,交圆O于N、R.

9.作弧NR的中点S,以SN为半径将圆O分成17等份.

转载于:https://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5469814.html

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