Shamir 门限秘密共享

1979年，Shamir第一次提出了基于拉格朗日插值法的秘密共享策略，该方法实现简单，且为完备理想方案，是目前研究与应用最广泛的秘密共享策略。

具体实现如下：

密钥生成阶段

步骤1：分发者随机构造t-1次多项式 $f(x)\in Z_{q}[x]$ ，其中秘密 $s=f(0)$ ， $a_{1},a_{2},...,a_{t-1}\in Z_{q}$

$f(x)=s+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{t-1}x^{t-1}$

步骤2: 分发者随机选取n个元素 $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in Z_{q}$ ，并计算 $y_{i}=f(x_{i})$

密钥分发阶段

分发者通过安全信道将 $(x_{i},y_{i})$ 分别发送给参与者 $P_{i}(i=1,2,...,n)$

秘密恢复阶段

t个参与者利用下面公式可恢复秘密：

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$f(x)=s+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{t-1}x^{t-1}$

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