埃森哲杯第十六届上海大学程序设计联赛春季赛暨上海高校金马五校赛 B 合约数 (dfs+预处理)（dsu on tree）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/9115/B

题意：给定一棵n个节点的树，并且根节点的编号为p，第i个节点有属性值vali, 定义F(i): 在以i为根的子树中，属性值是vali的合约数的节点个数。y 是 x 的合约数是指 y 是合数且 y 是 x 的约数。小埃想知道 $\sum_{i=1}^{n}i*F(i)$ 对1000000007取模后的结果。

思路1：反向思考，对于一个编号u，他自己对其子树中是他合约数的节点的贡献为u。用素数筛的思想，预处理每个数的约数以及是否为合数。假设dfs到一个节点u，先将val[u]的约数都加上其贡献u，然后判断val[u]是否为合数，如果是就将当前val[u]得到的贡献都加在答案上。之后dfs子树，搜完之后要将val[u]的对其约数贡献u去掉，因为u只对其子树的合约数有贡献，避免u对他的兄弟也产生贡献。注意初始化！

代码1：

 #include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e4+10;
const int mod = 1e9+7;
bool book[N],vis[N<<1];
vector<int> fac[N],g[N<<1];
int t,n,root,val[N<<1],pri[N<<1],cnt=0;
ll ans,f[N];
void init(){book[1]=0;for(int i=2;i<N;i++){if(!book[i]) pri[++cnt]=i;for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){book[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0) break;}}for(int i=1;i<N;i++){for(int j=i;j<N;j+=i){fac[j].push_back(i);    }}
}
void dfs(int u,int fa){for(int i=0;i<fac[val[u]].size();i++){int v = fac[val[u]][i];f[v]=(f[v]+u)%mod;}if(book[val[u]]) ans=(ans+f[val[u]])%mod;for(int i=0;i<g[u].size();i++){int v=g[u][i];if(v==fa) continue;dfs(v,u);}  for(int i=0;i<fac[val[u]].size();i++){int v = fac[val[u]][i];f[v]=(f[v]-u)%mod;}
}
int main(void){scanf("%d",&t);init();while(t--){scanf("%d%d",&n,&root);ans=0;for(int i=1;i<=n;i++) g[i].clear();    for(int i=1;i<N;i++) f[i]=0; for(int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&val[i]);    dfs(root,-1);   printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

思路2：dsu on tree，还是要预处理是否为合数以及每个数的因子。维护每个数的个数，统计答案时，看一下每个数的合约数有多少就行了。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e4+10;
const ll mod = 1e9+7;
bool book[N];
int pri[N],cnt;
vector<int> fac[N];
void prime(){book[1]=0;for(int i=2;i<N;i++){if(!book[i]) pri[++cnt]=i;for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){book[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0) break;}}for(int i=1;i<N;i++)for(int j=i;j<N;j+=i)fac[j].push_back(i);
}
int n,p,val[N<<1];
vector<int> g[N<<1];
ll ans;
int num[N];
bool big[N<<1];
void init(){ans=0;memset(num,0,sizeof num);for(int i=1;i<=n;i++){g[i].clear();big[i]=0;}
}
int sz[N<<1];void getsz(int u,int fa){sz[u]=1;int siz=g[u].size();for(int i=0;i<siz;i++){int v=g[u][i];if(v==fa) continue;getsz(v,u);sz[u]+=sz[v];}
}void dfs1(int u,int fa,int x){num[val[u]]+=x;int siz=g[u].size();for(int i=0;i<siz;i++){int v=g[u][i];if(v==fa||big[v]) continue;dfs1(v,u,x);}
}
void dfs(int u,int fa,bool keep){int mx=-1,bigc=-1;int siz=g[u].size();for(int i=0;i<siz;i++){int v=g[u][i];if(v==fa) continue;if(sz[v]>mx) mx=sz[v],bigc=v;}for(int i=0;i<siz;i++){int v=g[u][i];if(v==fa||v==bigc) continue;dfs(v,u,0);}if(bigc!=-1){dfs(bigc,u,1);big[bigc]=1;}dfs1(u,fa,1);siz=fac[val[u]].size();for(int i=0;i<siz;i++)if(book[fac[val[u]][i]]){ans=(ans+u*num[fac[val[u]][i]])%mod;}if(bigc!=-1) big[bigc]=0;if(keep==0)dfs1(u,fa,-1);
}
int main(void){int t;prime();scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d",&n,&p);init();for(int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);getsz(p,0);dfs(p,0,0); printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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