Tensor Renormalization Group Approach to Two-Dimensional Classical Lattice Models

DOI:PRL 99, 120601 (2007)

1.介绍

这种方法在本质上与块自旋方法（ block spin methods）相似，但同时建立在量子纠缠理论的基础上。在这个意义上，该技术可以看作是DMRG方法的经典类比。

密度矩阵重正化群(DMRG)技术在一维量子系统的分析中被证明是非常强大的。因此，我们尝试在高维空间发展类似的重整化群方法，这种方法可以解决许多目前难以解决的问题(如2D Hubbard模型)。虽然经典的实空间重整化群方法(如块自旋方法)已经存在多年，但它们从来没有达到DMRG的通一性和精确性。

在二维的情况下，利用量子信息论的思想，提出了一种数值重整化群方法，该方法可以有效地求解任意二维经典晶格模型。我们将这种技术称为张量重整化群方法(TRG)——没有sign problem，并且同样适用于具有复杂权重的模型。

该方法的优点是，它是一个完全各向同性的粗粒化过程，在思想上类似于块自旋方法。因此，它也适合于研究宇宙远距离物理。在理论层面上，这种方法也揭示了经典RG与量子纠缠的关系。

TRG适合在张量网络模型中运用，许多著名的统计力学模型，如Ising模型、Potts模型和六顶点模型，都可以很自然地写成张量网络模型，即所有具有局部相互作用的经典格模型都可以写成张量网络模型

2.具体算法

2.1Tensor network models

我们现在来描述蜂巢晶格上的张量网络模型，首先指定一个(循环对称)张量TijkT_{ijk}Tijk（i,j,k=1,...,Di ,j,k= 1,...,Di,j,k=1,...,D），相应的张量网络在蜂窝晶格的每个键上的自由度为iii（i=1,...,Di = 1,...,Di=1,...,D）
（i,j,k,...i ,j,k,...i,j,k,...）的权重为：e−S(i,j,k,...)=TijkTilmTjnpTkqr....e^{-S(i ,j,k,...)} = T_{ijk}T_{ilm}T_{jnp}T_{kqr}....e−S(i,j,k,...)=TijkTilmTjnpTkqr.... 即将下图晶格中所有的张量进行乘积
配分函数是所有权值的和：
Z=∑ijk...e−S(i,j,k,...)=∑ijk...TijkTilmTjnpTkqr....Z = \sum_{ijk...}e^{-S(i ,j,k,...)} = \sum_{ijk...}T_{ijk}T_{ilm}T_{jnp}T_{kqr}....Z=ijk...∑e−S(i,j,k,...)=ijk...∑TijkTilmTjnpTkqr....即，配分函数是通过取所有张量的乘积并且缩并每个键上的指标对得到。

2.2The TRG method

TRG是一种利用实空间RG流计算配分函数Z的方法，下面我们将解释这种方法在蜂窝晶格的情况下。
每个粗粒化迭代由两个单独的步骤组成（粗粒化转换）：① 近似 ② 精确
如图所示：

①近似
首先找到一个张量SSS:
∑nSlinSjkn≈∑mTijmTklm\sum_nS_{lin}S_{jkn} \approx\sum_mT_{ijm}T_{klm}n∑SlinSjkn≈m∑TijmTklm注：如何找到SSS将在后面讲到
这时我们可以重新连接晶格，进行替换：

整个过程就是：

注：这时配分函数是通过在新晶格上收缩S张量得到的。
② 精确
我们将三组相邻点组合在一起，用一个粗粒化张量T′T^{'}T′格点代替它们：

其中张量T′T^{'}T′是由三角形的三个键缩并得到的：
Tijk′=∑pqrSkpqSjqrSirpT^{'}_{ijk} = \sum_{pqr}S_{kpq}S_{jqr}S_{irp}Tijk′=pqr∑SkpqSjqrSirp整个过程就是：

整个过程中格点的数量减少了三倍。

注：热力学观测值和相关函数可以由两种方法得到：
1.对FFF求导，其中F=−log(Z)F = -log(Z)F=−log(Z) （ZZZ为配分函数）
2.评估更一般模型的自由能，其中张量TijkT_{ijk}Tijk随位置而变化
注：张量TTT将收敛于不动点T∗T^{*}T∗

这种方法不局限于蜂窝晶格，也可以很容易地在其他晶格上实现，如图：

2.3如何确定SSS

我们将∑mTijmTklm\sum_mT_{ijm}T_{klm}∑mTijmTklm写为D2×D2D^2\times D^2D2×D2的矩阵MMM：
Mli,jk=∑mTijmTklmM_{li,jk} = \sum_mT_{ijm}T_{klm}Mli,jk=m∑TijmTklm我们也可以考虑张量SlinS_{lin}Slin为一个D2×DD^2\times DD2×D的矩阵
那么我们∑nSlinSjkn≈∑mTijmTklm\sum_nS_{lin}S_{jkn} \approx\sum_mT_{ijm}T_{klm}∑nSlinSjkn≈∑mTijmTklm问题可以化为找到矩阵SSS，使得满足：
M=SSTM = SS^TM=SST一般来说，这个因式分解不能精确地完成,因为MMM的秩为D2D^2D2，而SSTSS^TSST的秩最多为DDD
但是我们可以获得近似的解，其思想是选择误差∣M−SST∣2|M-SS^T|^2∣M−SST∣2最小的矩阵SSS，然后对MMM进行SVD分解得到我们最优的SSS。
更详细的步骤：
（1）Mli,jk=∑nsnUli,nVjk,n∗M_{li,jk} = \sum_n s_nU_{li,n}V_{jk,n}^*Mli,jk=∑nsnUli,nVjk,n∗（其中sns_nsn为奇异值，U,VU,VU,V是酉矩阵）
（2）截断矩阵Uli,nU_{li,n}Uli,n和Vjk,nV_{jk,n}Vjk,n，只保留与最大DDD个奇异值对应的列，于是我们得到矩阵U~li,n\tilde{U}_{li,n}U~li,n和V~jk,n\tilde{V}_{jk,n}V~jk,n的维数为D2×DD^2\times DD2×D
（3）最后我们令Slin=snU~li,nS_{lin} = \sqrt{s_n}\tilde{U}_{li,n}Slin=snU~li,n
注：只要我们稍微调整一下相位模糊度：Uli,n→Uli,neiϕn,Vjk,n→Vjk,ne−iϕnU_{l i, n} \rightarrow U_{l i, n} e^{i \phi_{n}}, V_{j k, n} \rightarrow V_{j k, n} e^{-i \phi_{n}}Uli,n→Uli,neiϕn,Vjk,n→Vjk,ne−iϕn就可以得到要求的因式分解。但是在实践中，忽略相位调整问题往往更方便,直接令SlinA=snU~li,n,SjknB=snV~jk,n∗S_{\mathrm{lin}}^{A}=\sqrt{s_{n}} \tilde{U}_{l i, n}, S_{j k n}^{B}=\sqrt{s_{n}} \tilde{V}_{j k, n}^{*}SlinA=snU~li,n,SjknB=snV~jk,n∗
结果就是我们得到：
∑nSlin⁡ASjknB≈∑mTijmTklm\sum_{n} S_{\operatorname{lin}}^{A} S_{j k n}^{B} \approx \sum_{m} T_{i j m} T_{k l m}n∑SlinASjknB≈m∑TijmTklm其中SAS^ASA和SBS^BSB只在一些相位因子上不同
我们可以运用TRG，只是我们需要对AAA和BBB格子追踪他们的张量TAT^ATA和TBT^BTB
注：
这种最优分解的误差与迭代次数无关，并且可以通过增加D来任意减小
误差为ε∼exp[−const×(logD)2]\varepsilon \sim exp[-const \times(logD)^2]ε∼exp[−const×(logD)2]（与DMRG中的截断误差相同）

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