随机变量的分布及其数字特征

随机变量：取值依赖于某个随机试验的结果，并由事件结果所确定的变量X(ω)为随机变量，简记X

随机变量基本特点：1.变异性：不同的试验结果可能取不同的值

2.随机性：试验中出现的结果是随机的

离散型随机变量的概率分布

离散型随机变量：随机变量X只可能取有限个或至多可列个值

Pn={X=xn}，n=1,2,.... 是X的概率函数，又称为X的概率分布，简称分布

特性：1.Pn>=0 2.Pn的累加求和是1

两点分布：一般地，只取x1、x2两个可能值的随机变量其概率函数称为两点分布。

如果x1=0，x2=1，得P{X=1}=p 、P{X=0}=q 称X服从参数为p的0-1分布（伯努利试验）

连续型随机变量

随机变量X，如果存在一个非负可积的函数f(x)，x取值范围是全体实数，对于任意两个数a，b（a<b）都有P{a<X<b}=∫(a,b)f(x)dx

X：连续型随机变量 f(x)是X的概率分布密度函数，简称概率密度或分布密度( X ~ f(x) )

基本性质：1.f(x)>=0 2.f(x)在实数范围内的积分是 1

随机变量的分布函数

F(x)=P{X <=x},x取值为全体实数是随机变量X的分布函数

F(x)单调不减，取值范围[0,1] xj接近负无穷时为0，接近正无穷时为1，至多有可列个间断点

右连续，即 F(x+0)=F (x)

当X不再是随机的，把它作为随机变量的退化情况，则P{X=c}=1 为退化分布

如果一个随机变量X的分布函数图形呈阶梯状，则它是一个离散型随机变量，且X在每一个跳跃点x处具有正确概率，其概率正好是其跳跃高度。

常见的离散型分布：二项分布Y~B(n,p) 、超几何分布X~H(n，N1，N2)、泊松分布 X~P（λ）、几何分布X~g(n;p)、0-1分布

二项分布 在n重伯努利试验中，某件事件A发生的次数X的概率分布，成为二项分布。Y~B(n,p)

超几何分布 一般的，如果有N个元素分两大类，第一类有N1个元素，第二类有N2个元素（N1+N2=N），采取不重复抽样，从N个元素中取n个不同元素，那么所取到的第一类元素个数X的分布称为超几何分布 X~H(n，N1，N2)

当N无穷大时，超几何分布是二项分布

泊松分布 X~P（λ）

成功率为p的n重伯努利试验，只要n充分大，而p充分小，则其成功次数X近似的服从λ=np的泊松分布

几何分布 无记忆性 X~g(n;p) (常见事例：重复n次至试验至首次成功为止.......)

常见地连续型分布均匀分布X~U（a，b）、指数分布X~E(λ) 、正态分布 X~N(μ,σ^2)、

均匀分布 X~U（a，b）

指数分布 X~E(λ) 无记忆性

其中λ>0,则称X服从λ的指数分布

正态分布 X~N(μ,σ^2)

特别的，当μ=0，σ=1时，服从标准正态分布

一般正态分布转为标准正态分布 (X-μ)/σ

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