算法--最大连续子序列和（动态规划，分而治之）

今天在LeetCode上遇到一个求最大连续子序列和的问题，如下：
Given an integer array nums, find the contiguous subarray (containing at least one number) which has the largest sum and return its sum.

Example:
Input: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
Output: 6
Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

先上正确答案，用动态规划处理这个问题。

首先介绍一下什么是动态规划，简单来说就是：
把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解。

分析一下这个问题：

设数组为a，第一个值为a[0]，第二个值为a[1]，以此类推，第n个值为a[n]。
设以a[i]为子序列最后一项时，连续最大子序和为F(i)。
注意：这里只指定a[i]作为最后一项，并不指定开始项，也就是说这里的F(i)是以a[i]前任意项开始，a[i]项结尾的连续整数和。

当该数组中只有一个数值a[0]时，F(0) = a[0]。
当该数组中有多个数值时，F(i) = max { a[i], a[i] + F(i-1) }。

写两个值看看这个方程：
F(0) = a[0]
F(1) = max{ a[1], a[1] + F(0) } = max{ a[1], a[0] + a[1] }
F(2) = max{ a[2], a[2] + F(1) } = max{ a[2], a[0] + a[1] + a[2] } 或= max{ a[2], a[1] + a[2] }
以此类推。

接下来写代码：

/*** @param {number[]} nums* @return {number}*/
var maxSubArray = function(nums) {let max = nums[0];let len = nums.length;if (len === 1) {return max;} else {let sum = 0;for (let i = 0; i < len; i ++) {sum += nums[i];if (sum < nums[i]) {sum = nums[i];}if (max < sum) {max = sum；}}}return max;
};

只要思路对了，写代码是再容易不过的事情啦！

补充分而治之法（递归）求解，以下为js代码：

/*** @param {number[]} nums* @param {number} left 左端开始位置* @param {number} right 右端结束位置* @return {number}*/
maxSubArray (nums, left, right) {if (left === right) {return nums[0]}let mid = Math.floor((left + right) / 2)// 求左侧最大值let leftMax = this.maxSubArray(nums, left, mid)// 求右侧最大值let rightMax = this.maxSubArray(nums, mid + 1, right)let sum = 0let lmax = nums[mid]let rmax = nums[mid + 1]// 从中线往左遍历，取最大值for (let i = mid; i >= left; i--) {sum += nums[i]if (sum > lmax) {lmax = sum}}sum = 0// 从中线往右遍历，取最大值for (let i = mid + 1; i <= right; i++) {sum += nums[i]if (sum > rmax) {rmax = sum}}let midMax = lmax + rmaxreturn leftMax > rightMax ? leftMax > midMax ? leftMax : midMax : rightMax > midMax ? rightMax : midMax}// 调用
maxSubArray([-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4], 1, 9)

=============================================
补充记录自己最开始的复杂写法：

/*** @param {number[]} nums* @return {number}*/
var maxSubArray = function(nums) {var arr = [];for (let i = 0; i < nums.length; i ++) {let sum = nums[i];for (let j = i + 1; j < nums.length; j ++) {sum += nums[j];arr.push(sum);}}arr.sort(function(a,b){ return a-b; }); return arr[arr.length - 1];
};

我去，这是什么垃圾？把所有值都丢到一个新数组中这种智障代码真的是我写的？这样数组一大的话，arr数组将耗费巨大的内存，果不其然，提交后显示堆内存不足。

好吧，优化一下代码，如下：

/*** @param {number[]} nums* @return {number}*/
var maxSubArray = function(nums) {var max = nums[0];var len = nums.length;for (let i = 0; i < len; i ++) {let sum = nums[i];for (let j = i + 1; j < len; j ++) {max = max > sum ? max : sum;sum += nums[j];}max = max > sum ? max : sum;}return max;
};

这里取消了新数组，但是此时的算法时间复杂度是O(n^2)，虽然可以求出结果但是耗时过长。

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