一只青蛙跳向三个台阶_青蛙跳台阶问题的三种解法

题目：一只青蛙一次可以跳 1 级台阶，也可以跳 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

这道题还被 ITEye 放在了博文视点杯有奖答题活动里面。

我提供三种解法。

1、递归求解：

青蛙每跳一次前，有这样三种情况：

(1)只剩 1 级或 0 级台阶了，只能跳一步或者无法再跳了，那么这条路也走到了终点，走法的种类数可以加 1；

(2)可以走 2 级台阶；

(3)可以走 1 级台阶。

于是递归方法求解：

2、概率论思路求解：

首先把问题抽象成简单的数学模型，设 2 步台阶跳了 x 次，1 步台阶跳了 y 次，那么：

2x + y = n

于是，当 x = i ，可知 x >= 0 ，且 x < n/2(向下取整)，设某时刻的 x = i ，那么有 y = n – 2 * x ，于是，总共需要走 z = i + n – 2 * x 步。

这时，问题即转化为：

z 步骤中，有 x 个两步，y 个一步，相当于 z 个空当，由 x、y 去填充，那么不同填充方法的数目符合概率公式：

C(x,z) = z! / ((z-x)!x!)

即从排列 z 中取其中 x 个数的种类，x 内部无序：

3、数学归纳法求解：

如果 n=1，总步数 f(n)=1；如果 n=2，总步数 f(n)=2。

另一方面，当 n>=3，当前还剩的步数 f(n)，如果接下去跳一步，那么还剩下的步数是 f(n-1)；如果接下去跳两步，那么还剩下的步数是 f(n-2)，故：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

现设 s3=f(n)，s2=f(n-2)，s1=f(n-1)，从时间、空间复杂度来说，这也是最简单的一种方法：

聪明的你，还有什么办法？

欢迎和我讨论。 :)

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补充：

跳到第 N 级话，

可以先跳 N-1 级，再跳 1 级；

也可以先跳 N-2 级，再跳 2 级。

所以 f(n)=f(n-1)+f(n-2)，就是斐波那契数列。

既然都知道是斐波拉契数列了，那就给个通式吧：

F(N) =

((5+5^(1/2))/10)*(((1+5^(1/2))/2)^n) +

((5-5^(1/2))/10)*(((1-5^(1/2))/2)^n)

N >= 1

时间复杂度 O(log n)，因为求一个数的 n 次方，可以以时间复杂度为 log n 的方式来计算求解。

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