Description

给定一个数列，维护两种操作

操作 \(1\)，将区间 \([l,r]\) 的数字统一加 \(x\)。

操作 \(2\)，求 \(\sum \limits_{i=l}^r f(val[i])\)，其中 \(f(i)\) 表示斐波那契数列的第 \(i\) 项。‘

答案对 \(10^9+7\) 取模。

Solution

线段树维护矩阵。

因为是斐波那契数列，容易想到用矩阵快速幂来求这个东西。

想这样做的话，要想清楚两个问题：

1. 因为题目中求的是和，那么知道 \([l,mid]\) 和\([mid+1,r]\) 的答案能否快速合并出 \([l,r]\) 的答案呢？
2. 如果知道了 \([l,r]\) 的答案，对于区间加 \(x\) 操作，能否快速得知操作后的答案呢？

对于第一个问题，由于矩阵具有分配律，即 \(a\times b+a\times c=a\times(b+c)\)，所以对于一段区间的矩阵可以相加维护。

对于第二个问题，显然将 \([l,r]\) 的矩阵乘上转移矩阵的 \(x\) 次方即可。

综上，两个问题想清楚之后，我们用线段树来维护区间中的矩阵。

Code

// By YoungNeal
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define N 100005
#define int long long
const int mod=1e9+7;int n,m;
int val[N];struct Matrix{int m[4][4];void clear(){for(int i=0;i<4;i++){for(int j=0;j<4;j++)m[i][j]=0;}}void init(){for(int i=0;i<4;i++)m[i][i]=1;}void print(){for(int i=1;i<=2;i++){for(int j=1;j<=2;j++)printf("i=%I64d,j=%I64d,m=%I64d\n",i,j,m[i][j]);}}bool empty(){if(m[1][1]!=1) return 0;if(m[1][2]!=0) return 0;if(m[2][1]!=0) return 0;if(m[2][2]!=1) return 0;return 1;}Matrix operator*(const Matrix &y) const {Matrix z; z.clear();for(int i=1;i<=2;i++){for(int k=1;k<=2;k++){for(int j=1;j<=2;j++)z.m[i][j]=(z.m[i][j]+m[i][k]*y.m[k][j])%mod;}}return z;}friend Matrix operator+(Matrix a,Matrix b){Matrix c;c.clear();for(int i=1;i<=2;i++){for(int j=1;j<=2;j++)c.m[i][j]=(a.m[i][j]+b.m[i][j])%mod;}return c;}};Matrix dw,fir;
Matrix mat[N<<2],lazy[N<<2];int getint(){int x=0;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) ch=getchar();while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();return x;
}Matrix ksm(Matrix a,int b){Matrix ret; ret.clear(); ret.init();while(b){if(b&1) ret=ret*a;a=a*a;b>>=1;}return ret;
}void pushup(int cur){mat[cur]=mat[cur<<1]+mat[cur<<1|1];
}void build(int cur,int l,int r){mat[cur].clear();lazy[cur].clear();lazy[cur].init();if(l==r){mat[cur]=fir*ksm(dw,val[l]-1);return;}int mid=l+r>>1;build(cur<<1,l,mid);build(cur<<1|1,mid+1,r);pushup(cur);
}void pushdown(int cur,int l,int r){if(lazy[cur].empty()) return;mat[cur<<1]=mat[cur<<1]*lazy[cur];lazy[cur<<1]=lazy[cur<<1]*lazy[cur];mat[cur<<1|1]=mat[cur<<1|1]*lazy[cur];lazy[cur<<1|1]=lazy[cur<<1|1]*lazy[cur];lazy[cur].clear();lazy[cur].init();
}void modify(int cur,int ql,int qr,int l,int r,Matrix x){if(ql<=l and r<=qr){mat[cur]=mat[cur]*x;lazy[cur]=lazy[cur]*x;return;}pushdown(cur,l,r);int mid=l+r>>1;if(ql<=mid)modify(cur<<1,ql,qr,l,mid,x);if(mid<qr)modify(cur<<1|1,ql,qr,mid+1,r,x);pushup(cur);
}Matrix query(int cur,int ql,int qr,int l,int r){if(ql<=l and r<=qr)return mat[cur];pushdown(cur,l,r);Matrix ret;ret.clear();int mid=l+r>>1;if(ql<=mid)ret=ret+query(cur<<1,ql,qr,l,mid);if(mid<qr)ret=ret+query(cur<<1|1,ql,qr,mid+1,r);return ret;
}signed main(){dw.clear(); fir.clear();dw.m[1][1]=1;fir.m[1][1]=1;dw.m[1][2]=1;fir.m[1][2]=1;dw.m[2][1]=1;fir.m[2][1]=0;dw.m[2][2]=0;fir.m[2][2]=0;n=getint(),m=getint();for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=getint();build(1,1,n);while(m--){if(getint()==1){int l=getint(),r=getint(),x=getint();modify(1,l,r,1,n,ksm(dw,x));}else{int l=getint(),r=getint();printf("%I64d\n",query(1,l,r,1,n).m[1][2]%mod);}}return 0;
}