从二分逼近领略计算科学的魅力

计算分两种：
数学家们的方法（倾向于给出解析解），
计算机科学家的方法（设计算法，重复的操作交给CPU）

还有一点值得说明的是：
比如 1+2+⋯+1001+2+\cdots +100 的计算，高斯（等差数列的方法 (Sn+Sn)/2(S_n+S_n)/2，一个前 nn 项和为顺序，Sn=1+2+⋯+100S_n = 1+2+\cdots+100，第二个为逆序，Sn=100+99+⋯+1S_n=100+99+\cdots+1）之后，几乎每一个小孩都知道该怎么做，然而呢，我认为，这并（找规律）非计算机的做法，计算机的做法自然是简单的循环遍历相加。类似的例子见三个瓶盖能换一瓶水，问100个人需要喝水，最少需要买多少瓶水即可解决100人的喝水问题（这篇文章提供了两种思路，一种是找规律型的，这是人的智慧或者思考问题的方式，一种是计算机的工作方式）。

比如针对实数域上的函数 f(x)f(x)，如果存在实数 x0x_0 使得 f(x0)=0f(x_0)=0，则 x=x0x=x_0 是函数 f(x)f(x)的零点。如果函数 f(x)f(x)是连续函数，且在区间 [x1,x2][x_1,x_2]上是单调函数，只要 f(x1)f(x2)<0f(x_1)f(x_2)，就说明在区间 [a,b][a, b] 内一定有零点，此时就可使用二分逼近法近似地找到这个零点。这种情况下，可按如下流程实施二分逼近法：

m=x1+x22m=\frac{x_1+x_2}2
f(x1)f(m)<0⇒x2=mf(x_1)f(m)
f(x1)f(m)>0⇒x1=mf(x_1)f(m)>0\quad \Rightarrow\quad x_1=m
(x2−x1)<ϵ?(x_2-x_1)

从上述过程可以看到，每次运算之后，区间范围缩小一半，呈现线性收敛速度。设方程为 f(x)=2x2+3.2x−1.8f(x)=2x^2+3.2x-1.8，求根精度为 ϵ=10−9\epsilon=10^{-9}，在[−0.8,0.8][-0.8,0.8]寻找其根；

typedef double (*FuncPtr) (double);
const double Epsilon = 1e-9;double dichotomyApprox(double x1, double x2, FuncPtr f)
{assert(f(x1)*f(x2)<0.0);double m = (x1+x2)/2;while ((x2-x1)>Epsilon){f(x1)*f(m)<0. ? x2 = m : x1 = m;m = (x1+x2)/2;}return m;
}

既然以精度（precision）设限，其实迭代次数是与解的位置无关的，而与精度直接相关，本例精度 ϵ=10−9\epsilon=10^{-9}，采用二分法的形式 229<109<2302^{29}，迭代次数应当在30次左右。

二分逼近求解实数的平方根的应用实例，请见平方根的计算（二分逼近、牛顿拉普生法）。

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