前言

二叉查找树是最常用的一种二叉树，它支持快速插入、删除、查找操作，各个操作的时间复杂度跟树的高度成正比，理想情况下，时间复杂度是O(logn)。

不过，二叉查找树在频繁的动态更新过程中，可能会出现树的高度远大于log2n 的情况，从而导致各个操作的效率下降。极端情况下，二叉树会退化为链表，时间复杂度会退化到 O(n)。我上一节说了，要解决这个复杂度退化的问题，我们需要设计一种平衡二叉查找树。

1 平衡二叉树定义

平衡二叉树的严格定义是这样的：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1。平衡二叉查找树不仅满足定义，还满足二叉查找树的特点。最先被发明的平衡二叉查找树是AVL树。它严格符合平衡二叉查找树的定义，是一种高度平衡的二叉查找树。

但是很多平衡二叉查找树其实并没有严格符合上面的定义(树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1)，比如红黑树，它从根节点到各个叶子节点的最长路径，有可能会比最短路径大一倍。

发明平衡二叉查找树这类数据结构的初衷是，解决普通二叉查找树在频繁的插入、删除等动态更新的情况下，出现时间复杂度退化的问题。

所以，平衡二叉查找树中“平衡”的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较“对称”、比较“平衡”，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。这样就能让整棵树的高度相对来说低一些，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。

所以，如果我们现在设计一个新的平衡二叉查找树，只要树的高度不比 log2n 大很多(比如树的高度仍然是对数量级的)，尽管它不符合我们前面讲的严格的平衡二叉查找树的定义，但我们仍然可以说，这是一个合格的平衡二叉查找树。

2 如何定义一颗“红黑树”

红黑树的英文是“Red-Black Tree”，简称 R-B Tree。它是一种不严格的平衡二叉查找树。红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。除此之外，一棵红黑树还需要满足这样几个要求：

根节点是黑色的；

每个叶子节点都是黑色的空节点(NIL)，也就是说，叶子节点不存储数据；

任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的；

每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；

如果要证明红黑树是近似平衡的，我们只需要分析，红黑树的高度是否比较稳定地趋近 log2n 就好了。

首先，我们来看，如果我们将红色节点从红黑树中去掉，那单纯包含黑色节点的红黑树的高度是多少呢？

红色节点删除之后，有些节点就没有父节点了，它们会直接拿这些节点的祖父节点(父节点的父节点)作为父节点。所以，之前的二叉树就变成了四叉树。

前面红黑树的定义里有这么一条：从任意节点到可达的叶子节点的每个路径包含相同数目的黑色节点。我们从四叉树中取出某些节点，放到叶节点位置，四叉树就变成了完全二叉树。所以，仅包含黑色节点的四叉树的高度，比包含相同节点个数的完全二叉树的高度还要小。

完全二叉树的高度近似 log2n，这里的四叉“黑树”的高度要低于完全二叉树，所以去掉红色节点的“黑树”的高度也不会超过 log2n。

现在把红色节点加回去，高度会变成多少呢？

从上面我画的红黑树的例子和定义看，在红黑树中，红色节点不能相邻，也就是说，有一个红色节点就要至少有一个黑色节点，将它跟其他红色节点隔开。红黑树中包含最多黑色节点的路径不会超过 log2n，所以加入红色节点之后，最长路径不会超过 2log2n，也就是说，红黑树的高度近似 2log2n。

所以，红黑树的高度只比高度平衡的 AVL 树的高度(log2n)仅仅大了一倍，在性能上，下降得并不多。这样推导出来的结果不够精确，实际上红黑树的性能更好。

解答开题

我们前面提到 Treap、Splay Tree都是平衡二叉树，绝大部分情况下，它们操作的效率都很高，但是也无法避免极端情况下时间复杂度的退化。尽管这种情况出现的概率不大，但是对于单次操作时间非常敏感的场景来说，它们并不适用。

AVL 树是一种高度平衡的二叉树，所以查找的效率非常高，但是，有利就有弊，AVL 树为了维持这种高度的平衡，就要付出更多的代价。每次插入、删除都要做调整，就比较复杂、耗时。所以，对于有频繁的插入、删除操作的数据集合，使用 AVL 树的代价就有点高了。

红黑树只是做到了近似平衡，并不是严格的平衡，所以在维护平衡的成本上，要比 AVL 树要低。

所以，红黑树的插入、删除、查找各种操作性能都比较稳定。对于工程应用来说，要面对各种异常情况，为了支撑这种工业级的应用，我们更倾向于这种性能稳定的平衡二叉查找树。

因为红黑树是一种性能非常稳定的二叉查找树，所以，在工程中，但凡是用到动态插入、删除、查找数据的场景，都可以用到它。不过，它实现起来比较复杂，如果自己写代码实现，难度会有些高，这个时候，我们其实更倾向用跳表来替代它。

总结

红黑树是一个让我又爱又恨的数据结构，“爱”是因为它稳定、高效的性能，“恨”是因为实现起来实在太难了。

学习红黑树的代码实现，对于平时做项目开发没有太大帮助。对于绝大部分开发工程师来说，这辈子可能都用不着亲手写一个红黑树。除此之外，它对于算法面试也几乎没什么用，一般情况下，靠谱的面试官也不会让你手写红黑树的。