编程之美读书笔记1.3 —— 一摞烙饼的排序

问题：

星期五的晚上，一帮同事在希格玛大厦附近的“硬盘酒吧”多喝了几杯。程序员多喝了几杯之后谈什么呢？自然是算法问题。有个同事说：“我以前在餐馆打工，顾客经常点非常多的烙饼。店里的饼大小不一，我习惯在到达顾客饭桌前，把一摞饼按照大小次序摆好——小的在上面，大的在下面。由于我一只手托着盘子，只好用另一只手，一次抓住最上面的几块饼，把它们上下颠倒个个儿，反复几次之后，这摞烙饼就排好序了。我后来想，这实际上是个有趣的排序问题：假设有n块大小不一的烙饼，那最少要翻几次，才能达到最后大小有序的结果呢？”

你能否写出一个程序，对于n块大小不一的烙饼，输出最优化的翻饼过程呢？

n个烙饼经过翻转后的所有状态可组成一棵树。寻找翻转最少次数，相当于在树中搜索层次最低的某个节点。

由于每层的节点数呈几何数量级增长，在n较大时，使用广度优先遍历树，可能没有足够的内存来保存中间结果（考虑到每层的两个节点，可以通过旋转，移位等操作互相转换，也许每层的状态可以用一个函数来生成，这时可以采用广度优先方法），因而采用深度优先。但这棵树是无限深的，必须限定搜索的深度（即最少翻转次数的上限值），当深度达到该值时不再继续往下搜索。最少翻转次数，必然小等于任何一种翻转方案所需的翻转次数，因而只要构造出一种方案，取其翻转次数即可做为其初始值。最简单的翻转方案就是：对最大的未就位的烙饼，将其翻转，再找到最终结果中其所在的位置，翻转一次使其就位。因此，对编号在n-1和2之间的烙饼，最多翻转了2*(n-2)次，剩下0和1号烙饼最多翻转1次，因而最少翻转次数的上限值是：2*(n-2)+1=2*n-3（从网上可搜索到对该上限值最新研究结果：上限值为18/11*n），当然，最好还是直接计算出采用这种方案的翻转次数做为初始值。

减少遍历次数：

1 减小“最少翻转次数上限值”的初始值，采用前面提到的翻转方案，取其翻转次数为初始值。对书中的例子{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0}，初始值可以取10。

2 避免出现已处理过的状态一定会减少遍历吗？答案是否定的，深度优先遍历，必须遍历完一个子树，才能遍历下一个子树，如果一个解在某层比较靠后位置，若不允许处理已出现过的状态时，可能要经过很多次搜索，才能找到这个解，但允许处理已出现过的状态时，可能会很快找到这个解，并减小“最少翻转次数的上限值”，使更多的分支能被剪掉，反而能减少遍历的节点数。比如说，两个子树A、B，搜索子树A，100次后可得到一个对应翻转次数为20的解，搜索子树B，20次后可得到翻转次数为10的解，不允许处理已出现过的状态，就会花100次遍历完子树A后，才开始遍历B，但允许翻转回上一次状态，搜索会在A、B间交叉进行，就可能只要70次找到子树B的那个解（翻转次数为10+2=12），此时，翻转次数上限值比较小，可忽略更多不必要的搜索。以书中的{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0}为例，按程序（1.3_pancake_1.cpp），不允许翻转回上次状态时需搜索195次，而允许翻转回上次状态时只要搜索116次。

3 如果最后的几个烙饼已经就位，只须考虑前面的几个烙饼。对状态(0,1,3,4,2,5,6)，编号为5和6的烙饼已经就位，只须考虑前5个烙饼，即状态(0,1,3,4,2)。如果一个最优解，从某次翻转开始移动了一个已经就位的烙饼，且该烙饼后的所有烙饼都已经就位，那么对这个解法，从这次翻转开始得到的一系列状态，从中移除这个烙饼，可得到一系列新的状态。必然可以设计出一个新的解法对应这系列新的状态，而该解法所用的翻转次数不会比原来的多。

4 估计每个状态还需要翻转的最少次数（即下限值），加上当前的深度，如果大等于上限值，就无需继续遍历。这个下限值可以这样确定：从最后一个位置开始，往前找到第一个与最终结果位置不同的烙饼编号（也就是说排除最后几个已经就位的烙饼），从该位置到第一个位置，计算相邻的烙饼的编号不连续的次数，再加上1。每次翻转最多只能使不连续的次数减少1，但很多人会忽略掉这个情况：最大的烙饼没有就位时，必然需要一次翻转使其就位，而这次翻转却不改变不连续次数。（可以在最后面增加一个更大的烙饼，使这次翻转可以改变不连续数。）如：对状态(0,1,3,4,2,5,6)等同于状态(0,1,3,4,2)，由于1、3和4、2不连续，因而下限值为2+1=3。下限值也可以这样确定：在最后面增加一个比所有烙饼都大的已经就位的烙饼，然后再计算不连续数。如：(0,1,3,4,2)，可以看作(0,1,3,4,2,5)，1和3 、4和2 、2和5这三个不连续，下限值为3。

5多数情况下，翻转次数的上限值越大，搜索次数就越多。可以采用贪心算法，通过调整每次所有可能翻转的优先顺序，尽快找到一个解，从而减少搜索次数。比如，优先搜索使“下限值”减少的翻转，其次是使“下限值”不变的翻转，最后才搜索使“下限值”增加的翻转。对“下限值”不变的翻转，还可以根据其下次的翻转对“下限值”的影响，再重新排序。由于进行了优先排序，翻转回上一次状态能减少搜索次数的可能性得到进一步降低。

6 其它剪枝方法：

假设进行第m次翻转时，“上限值”为min_swap。

如果翻转某个位置的烙饼能使所有烙饼就位（即翻转次数刚好为m），则翻转其它位置的烙饼，能得到的最少翻转次数必然大等m，因而这些位置都可以不搜索。

如果在某个位置的翻转后，“下限值”为k，并且 k+m>=min_swap，则对所有的使新“下限值”kk大等于k的翻转，都有 kk+m>=min_swap，因而都可以不搜索。该剪枝方法是对上面的“调整翻转优先顺序”的进一步补充。

另外，翻转某个烙饼时，只有两个烙饼位置的改变才对“下限值”有影响，因而可以记录每个状态的“下限值”，进行下一次翻转时，只须通过几次比较，就可以确定新状态的“下限值”。（判断不连续次数时，最好写成 -1<=x && x<=1，而不是x==1 || x==-1。对于 int x; a<=x && x<=b，编译器可以将其优化为 unsigned (x-a) <= b-a。）

结果：

对书上的例子{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0}：

	翻转回上次状态	搜索函数被调用次数	翻转函数被调用次数
1.3_pancake_2	不允许	29	66
1.3_pancake_2	允许	33	74
1.3_pancake_1	不允许	195	398
1.3_pancake_1	允许	116	240

（这个例子比较特殊，代码1.3_pancake_2.cpp（与1.3_pancake_1.cpp的最主要区别在于，增加了对翻转优先顺序的判断， 代码下载），在不允许翻转回上次状态且取min_swap的初始值为2*10-2=18时，调用搜索函数29次，翻转函数56次）。

搜索顺序对结果影响很大，如果将1.3_pancake_2.cpp第152行：

for (int pos=1, last_swap=cake_swap[step++]; pos<size; ++pos){

这一行改为：

for (int pos=size-1, last_swap=cake_swap[step++]; pos>=1; --pos){

仅仅调整了搜索顺序，调用搜索函数次数由29次降到11次（对应的翻转方法：9，6，9，6，9，6），求第1个烙饼数到第10个烙饼数，所用的总时间也由原来的38秒降到21秒。）

最终代码

补充：

在网上下了《编程之美》“第6刷”的源代码，结果在编译时存在以下问题：

1 Assert 应该是 assert

2 m_arrSwap 未被定义，应该改为m_SwapArray

3 Init函数两个for循环，后一个没定义变量i，应该将i 改为 int i

另外，每运行一次Run函数，就会调用Init函数，就会申请新的内存，但却没有释放原来的内存，会造成内存泄漏。if(step + nEstimate > m_nMaxSwap) 这句还会造成后面对m_ReverseCakeArraySwap数组的越界访问，使程序不能正常运行。

书上程序的低效主要是由于进行剪枝判断时，没有考虑好边界条件，可进行如下修改：

1 if(step + nEstimate > m_nMaxSwap) > 改为 >=。

2 判断下界时，如果最大的烙饼不在最后一个位置，则要多翻转一次，因而在LowerBound函数return ret; 前插入一行：

if (pCakeArray[nCakeCnt-1] != nCakeCnt-1) ret++; 。

3 n个烙饼，翻转最大的n-2烙饼最多需要2*(n-2)次，剩下的2个最多1次，因而上限值为2*n-3，因此，m_nMaxSwap初始值可以取2*n-3+1=2*n-2，这样每步与m_nMaxSwap的判断就可以取大等于号。

4 采用书上提到的确定“上限值”的方法，直接构建一个初始解，取其翻转次数为m_nMaxSwap的初始值。

1和2任改一处，都能使搜索次数从172126降到两万多，两处都改，搜索次数降到3475。若再改动第3处，搜索次数降到2989；若采用4的方法（此时初始值为10），搜索次数可降到1045。

from:http://www.cnblogs.com/flyinghearts/archive/2010/09/10/1823699.html

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