visio保存后公式变形_固体力学中的变形分析
变形分析是研究所有固体力学问题的基础。
通常,人们通过跟踪一定体积材料的平移、旋转和变形过程来建立固体力学方程。这个公式称为拉格朗日公式,它与流体流动分析等许多其他物理领域常用的欧拉公式 完全不同,后者的基本原理以空间固定的控制体积的流入和流出通量为中心。
在有限元分析中,通常使用拉格朗日公式的两种不同变体:
- 全拉格朗日公式的方程以体的原始构型为基础
- 更新的拉格朗日公式的方程以体的当前构型为基础
从某种意义上说,这两个公式在数学上是等价的,通过一系列合理的转换方法,这两个公式可以实现相互转换。不过,当涉及有限元公式的数值效率时,这两个公式则各具优势。
这一理论发展的基础是,假设固体材料可以作为连续体,其长度尺度远大于分子尺度,使材料具有均质属性,但从数学角度来看,小到一定程度时可以看作是无穷小。
坐标系和位移
我们使用 X 坐标来表示材料粒子的原始位置,可以将 X 视为黏在某个粒子上的标签,贯穿于该粒子的整个变形历史。这种坐标系称为材料坐标系。
经过一段时间 t 后,该粒子会移动到新位置 x = x(X,t)。为简单起见,我们假设这两组坐标具有相同的原点和方向。x 坐标位于空间坐标系,这个坐标系在空间中固定,而材料坐标系则在体上固定。
从体内某个点的原始位置指向其新位置的矢量称为位移矢量 u(X,t)。由于原始坐标是自变量,此时可以得到一个拉格朗日公式。因此,通过位移可以将材料坐标系变换到空间坐标系 x = X+u。
只要位移场不仅仅表示刚体运动,材料形状就会发生局部变化,称为应变 或伸长。这些变化可能包含局部小域的体积或形状变化。应变会在材料中产生内力(应力),甚至可能造成材料失效。为了准确描述材料特性,必须在不考虑刚体运动等因素的情况下描述变形。我们可以通过多种方式来描述材料的变形过程,下面进行详细论述。
变形梯度
变形梯度
其中,
变形梯度包含有关材料局部旋转和变形的完整信息。其中还显示其他一些信息,例如,由于 dx=FdX,未变形体 dX 中的小线段如何旋转并拉伸,成为变形体 dx 中的线段。我们将 F 张量看作是一个矩阵,第一列提供线段最初沿 X 方向的大小和方向等信息。从数学角度来看,F 是从 X 变换到 x 的雅可比矩阵,因此它的行列式
极分解定理表明,任何二阶张量都可以分解为纯转动和对称张量的乘积,因此,利用这一定理可以将刚体转动与变形分开:
这可以解释为先发生变形(由右伸长张量 U 描述),然后再进行刚性旋转(由纯旋转矩阵 R 描述)。如此一来,如果没有旋转,右伸长张量则为变形梯度,因此 U 的解释与 F 类似。
同样也可以将变形梯度分解为
在此过程中,首先发生刚体转动,然后,转动的体发生变形。变形通过左伸长张量
这两个伸长张量通过纯转动进行关联;例如
在实际操作中,极分解的计算成本往往较高,因此,人们会尽量避免执行此类计算。但在理论思考方面,这一概念非常有用。
我们可以在并不确定旋转矩阵的情况下,计算与旋转无关的变形测度:
张量
右柯西-格林变形张量。
这个张量常用于描述超弹性材料的本构特性等,由于它仅由
同样,
张量
左柯西-格林变形张量。
伸长率
从非正式意义上说,伸长率可定义为当前长度与原始长度之比,
因此,在未变形状态下,伸长率为 1。
一般情况下,人们更倾向于使用张量
和
如此一来,体积变化可以写为主伸长率的乘积:
张量 的计算更为简便,它的主方向与
对于未变形材料(仅产生刚体运动),
左柯西-格林变形张量
应变张量
要得到基于零的变形测量值,需要从
格林-拉格朗日应变张量
该张量也描述材料在发生任何转动之前产生的变形,但在未变形状态下的所有分量均为零。其分量形式可以写为
非对角元素的示例为
格林-拉格朗日应变张量的特征值称为主应变,其方向(材料坐标系)与主伸长率相同。
当应变和刚体转动幅度都很小时,格林-拉格朗日应变张量中的二次项可以忽略不计。由此可以得到众所周知的工程应变张量,
其分量示例如下
和
该应变张量的对角项称为法向应变 或正应变,用于描述沿每个坐标轴的延伸。非对角项是应变张量的剪切分量,用于描述线段之间夹角的变化。这里的术语很容易被混淆,因为在工程领域,由于
剪切应变产生等体积 变形;即变形不引起体积改变。对于小应变,相对体积变化通过正应变之和求得:
改变视角
如果我们从变形后的形状着手分析,就可以发展出相似的理论。这里不作详细讨论,但其中的步骤是类似的。原始位置和位移可以视为当前位置的函数
阿尔曼西应变张量 定义为
其分量可写为
请注意,这里是对空间坐标取导数。
真实应变
有时,我们会使用真实应变 这个术语。在真实应变的单轴定义中,应变增量定义为
真实应变的定义基于当前长度,因此在积分后可以得到
这就是真实应变也称为对数应变 的原因。推广到三维就称为 Hencky 应变 张量,
应变测度的比较
如果将初始长度为
工程应变:
伸长率:
格林-拉格朗日应变:
阿尔曼西应变:
真实应变:
在下图中,我们可以看到,所有应变测度的结果都吻合良好,其差异不超过 ±10%,但在应变较大时,差异就变得非常明显。工程应变和伸长率都与变形成正比,二者仅在纵轴方向有所不同。
应变协调性
由于应变张量由位移的导数构成,因此并非所有应变场均适用。位移矢量只有三个分量,这意味着,除非各个应变分量都满足特定的协调性标准,否则它们的积分无法给出唯一的一组位移。工程应变必须满足以下方程:
由于应变张量的对称性,这 81 个方程中只有 6 个是非平凡方程。如下所示
应变的速度梯度和时间导数
与变形梯度相关的量还包括速度梯度,它定义为速度矢量的空间梯度,
速度梯度可以分解为对称部分和反对称部分,分别称为应变率张量 和自旋张量:
速度梯度与变形梯度的时间导数之间存在一个重要的关系式:
通过使用这一结果,格林-拉格朗日应变的时间导数也可以用速度梯度表示,
最后一个等式基于应变张量的对称性。
变形分析示例:刚体转动
我们来看一个刚体在 xy 平面转动某个角度
如果假设坐标系原点位于左下角,则某个点 (x, y) 的新位置可以写为原始坐标 (X, Y) 的函数,即
由此得到位移为
然后,我们可以根据变形梯度的定义进行计算,得到
从而得到右柯西-格林张量
同理可得,左柯西-格林张量为
但是,工程应变张量包含以下值
对于小角度转动,采用级数展开可以得到
初看上去,上式的误差很小。然而,即使是很小的数值,已经预示着较大的应变。在金属中,通常在应变阶数为 0.01% 时便会产生实质性的应力。这意味着,使用工程应变张量将引起明显的误差,即使刚体转动 1°也是如此。
变形分析示例:大剪切
一个正方形按某个角度
从材料坐标系到空间坐标系的映射为(Z 表示面外方向):
由此得到以下位移场
进而得到变形梯度
我们立即可以得出
右柯西-格林伸长张量和格林-拉格朗日应变张量分别为
和
我们可以对格林-拉格朗日应变张量的对角元素进行解释。最初沿 X 轴的纤维未延伸,而沿 Y 轴的纤维被拉伸。但是,此纤维的新长度不能直接从应变张量中提取。
对于小角度剪切,可以得到纯剪切的工程应变张量:
稍作努力,我们就可以计算出
和
其中
主伸长率是
由于没有面外伸长,第二主伸长率为
右伸长张量
为了进一步从数值角度研究此问题,我们将剪切角度设为
由于
主伸长率为
第一主伸长轴的方向与水平轴呈 58.3°角。
在下图中,变形被分解为纯拉伸和纯旋转。蓝色正方形的方向与主伸长方向一致;随后旋转了 58.3°。可以看到,伸长后的正方形呈纯矩形,并且在分解位移的拉伸过程中方向保持不变。
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