许久未打比赛，果然一打就炸，体验极差。只改出了一道所谓的签到题。

题目大意

有一棵n个点的树，其中有m个关键点。在这m个关键点中随机选择k个点，从任意一点开始到任意一点结束的经过所有的k个点的最短路程期望是多少。1≤n≤1e5,k≤m≤5001 ≤ n ≤ 1e5, k ≤ m ≤ 5001≤n≤1e5,k≤m≤500

分析

这道题需要用到虚数的思路，但并不需要真的将虚树建出来。运用到虚树的思路就是先将所有关键点提出来建一棵虚树，那么答案就是2Sum−L2Sum -L2Sum−L，即虚树的边权和的两倍减去直径，此处钦定若有多条直径，取编号最小的直径。那么我们不妨拆成两个部分分辨算期望：

第一部分：对于任意一条边出现的概率一定是
((mk)−(xk)−(yk))/(mk)(\tbinom{m}{k} - \tbinom{x}{k} - \tbinom{y}{k})/\tbinom{m}{k}((km)−(kx)−(ky))/(km)其中x,yx,yx,y分别是这条边以上和这条边一下的餐厅的个数，那么这个概率很显然，因为只有该边的两边有餐厅出现该边就一定会出现。
第二部分：对于任意两个点u,vu,vu,v，考虑有多少个点能出现，枚举每个点xxx判断dis(u,x)dis(u, x)dis(u,x)和dis(v,x)dis(v, x)dis(v,x)与dis(u,v)dis(u, v)dis(u,v)的关系以及相等时判断标号大小即可。
那么这道题就不是很难了，只用先预处理出任意两点间的距离，以及任意边两侧的餐厅的个数。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define C(a,b) (G[a][b])
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;
const int M = 1e3 + 10;
const ll mo = 998244353;
struct Edge{int to,next;ll val;
} f[N << 1];
int n,m,k,a[N],cnt,head[N],fa[N][25],dep[N],num[N];
bool tag[N];
ll ans,dis[N],G[M][M],dist[M][M];
double an;int read()
{int x = 0;char ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}return x;
}void add(int u,int v,int w)
{f[++ cnt].to = v;f[cnt].next = head[u];f[cnt].val = (ll)w;head[u] = cnt;
}ll ksm(ll a,int b)
{ll res = 1ll;while (b){if (b & 1)  res = res * a % mo;b >>= 1;a = a * a % mo;}return res;
}void dfs(int u)
{if (tag[u] == 1) num[u] = 1;for (int i = head[u]; i; i = f[i].next){if (f[i].to == fa[u][0]) continue;fa[f[i].to][0] = u;dep[f[i].to] = dep[u] + 1;dis[f[i].to] = dis[u] + f[i].val;dfs(f[i].to);num[u] += num[f[i].to];ll tmp = (C(num[f[i].to],k) + C(m - num[f[i].to],k)) % mo;tmp = (C(m,k) - tmp) % mo;ll p = ans;ans = (ans + (ll)(f[i].val % mo * tmp % mo)) % mo;}
}int lca(int u,int v)
{if (dep[u] < dep[v]) swap(u,v);for (int i = 20; i >= 0; i --) if (dep[fa[u][i]] >= dep[v]) u = fa[u][i];if (u == v) return u;for (int i = 20; i >= 0; i --)if (fa[u][i] != fa[v][i]) u = fa[u][i],v = fa[v][i];return fa[v][0];
}ll get(int u,int v) {return dis[u] + dis[v] - 2 * dis[lca(u,v)];}int main()
{freopen("meal.in","r",stdin);freopen("meal.out","w",stdout);n = read(),m = read(),k = read();for (int i = 1; i <= m; i ++) tag[a[i] = read()] = 1;for (int i = 1,u,v,w; i < n; i ++) u = read(),v = read(),w = read(),add(u,v,w),add(v,u,w);dep[1] = 1;for (int i = 0; i <= m; i ++){G[i][0] = 1ll;for (int j = 1; j <= i; j ++) G[i][j] = (G[i - 1][j] + G[i - 1][j - 1]) % mo;}ans = 0;dfs(1);for (int i = 1; i <= 20; i ++) for (int u = 1; u <= n; u ++) fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];ans = ans * 2ll % mo;for (int i = 1; i <= m; i ++)for (int j = 1; j <= m; j ++) dist[i][j] = get(a[i],a[j]);for (int i = 1; i < m; i ++)for (int j = i + 1,g; j <= m; j ++){     g = 0;ll l1 = dist[i][j];for (int l = 1; l <= m; l ++){ll l2 = dist[i][l],l3 = dist[j][l];if ((l1 > l2 || (l1 == l2 && l > j)) && (l1 > l3 || (l1 == l3 && l > i)))g ++;}ans = (ans - l1 % mo * C(g,k - 2) % mo) % mo;}ans = ans * ksm(C(m,k),mo - 2) % mo;printf("%lld\n",(ans + mo) % mo);return 0;
}

一道签到题都打死我了。。

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