【思特奇杯·云上蓝桥-算法集训营】第二周

问题1 带分数

问题描述

100 可以表示为带分数的形式：100 = 3 + 69258 / 714。

还可以表示为：100 = 82 + 3546 / 197。

注意特征：带分数中，数字1~9分别出现且只出现一次（不包含0）。

类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。

输入格式

从标准输入读入一个正整数N (N<1000*1000)

输出格式

程序输出该数字用数码1~9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。

注意：不要求输出每个表示，只统计有多少表示法！

样例输入1

100

样例输出1

样例输入2

105

样例输出2

主要运用递归的思想，对1-9这九个数进行全排列，再筛选出其中符合的排列方式的种数。代码如下

#include <stdio.h>
void quanpl(int *,int ,int,int [],int );
void jiaohuan(int *,int *);
void jianyan(int *,int,int [],int );
int hecheng(int [],int);
void jy_fs(int *,int,int [],int );int main(void)
{int n;scanf("%d",&n);int sm[9]={1,2,3,4,5,6,7,8,9};int bsf=0;quanpl(&bsf,0,9,sm,n);printf("%d\n",bsf);return 0;
}
void jy_fs(int *p_zs,int gs,int fs[],int m)
{int fmws;for(fmws=1;fmws<=gs-fmws;fmws++){int fm=hecheng(fs,fmws),fz=hecheng(fs+fmws,gs-fmws);if(fz%fm==0){*p_zs+=m==fz/fm;}}
}
int hecheng(int sm[],int ws)
{int shu = 0;do{shu *= 10;shu += *sm++;}while(--ws>0);return shu;
}
void jianyan(int *p_zs,int gs,int sm[],int n)
{int zsws;int shu;for(zsws=1;(shu=hecheng(sm,zsws))<n;zsws++){jy_fs(p_zs,gs-zsws,sm+zsws,n-shu);}
}
void jiaohuan(int *p,int*q)
{int t=*p;*p=*q;*q=t;
}
void quanpl(int *p_zs,int dq,int gs,int sm[],int n)
{int h;for(h=dq;h<gs;h++){jiaohuan(sm+dq,sm+h);quanpl(p_zs,dq+1,gs,sm,n);jiaohuan(sm+dq,sm+h);}
}

问题2 李白打酒

题目描述

话说大诗人李白，一生好饮。幸好他从不开车。

一天，他提着酒壶，从家里出来，酒壶中有酒2斗。他边走边唱：

无事街上走，提壶去打酒。

逢店加一倍，遇花喝一斗。

这一路上，他一共遇到店5次，遇到花10次，已知最后一次遇到的是花，他正好把酒喝光了。

请你计算李白遇到店和花的次序，可以把遇店记为a，遇花记为b。则：babaabbabbabbbb 就是合理的次序。像这样的答案一共有多少呢？请你计算出所有可能方案的个数（包含题目给出的）。

答案为14，运用递归的思想。代码如下

#include <iostream>
using namespace std;
int cnt = 0;void f(int shop, int flower, int wine)
{if(shop > 0)f(shop-1, flower, wine*2);if(flower > 0)f(shop, flower-1, wine-1);if(shop==0 && flower==0 && wine==1) cnt += 1;
}int main()
{f(5, 9, 2);cout << cnt << endl;return 0;
}

问题3 第39级台阶

题目描述：

小明刚刚看完电影《第39级台阶》，离开电影院的时候，他数了数礼堂前的台阶数，恰好是39级!

站在台阶前，他突然又想着一个问题：

如果我每一步只能迈上1个或2个台阶。先迈左脚，然后左右交替，最后一步是迈右脚，也就是说一共要走偶数步。那么，上完39级台阶，有多少种不同的上法呢？

递归算法，代码如下

#include <iostream>
using namespace std;
int num=0;
void f(int ,int);int main()
{f(39,0);cout<<num;return 0;
}void f(int step,int foot)
{if(step==0&&foot%2==0){num++;}if(step<0){return;}f(step-1,foot+1);f(step-2,foot+1);
}

答案为51167078

问题4 穿越雷区

题目描述

已知的地图是一个方阵，上面用字母标出了A，B区，其它区都标了正号或负号分别表示正负能量辐射区。

例如：

A + - + -

- + - - +

- + + + -

+ - + - +

B + - + -

坦克车只能水平或垂直方向上移动到相邻的区。

数据格式要求：

输入第一行是一个整数n，表示方阵的大小， 4<=n<100

接下来是n行，每行有n个数据，可能是A，B，+，-中的某一个，中间用空格分开。

A，B都只出现一次。

要求输出一个整数，表示坦克从A区到B区的最少移动步数。

如果没有方案，则输出-1

例如：

用户输入：

A + - + -

- + - - +

- + + + -

+ - + - +

B + - + -

则程序应该输出：

广度搜索（BFS）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;char Map[101][101]; //地图数组
bool Vis[101][101]; //标记数组 标记是否走过
int Next[4][2] = {{0, 1}, {1, 0}, {0, -1}, {-1, 0}}; //方向数组 遍历方向typedef struct node { //定义结构体数组，便于操作调用 包含坐标，步数，符号int x, y, step;char flag;
} node;
node n[10001]; //BFS数组一般是m*m,再开大一点int main() {int m;cin >> m;getchar(); //吃掉回车int head, tail, x, y, tx, ty;for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {scanf("%c", &Map[i][j]);if (Map[i][j] == 'A') { //记下起点位置的坐标x = i, y = j;}getchar(); //吃掉空格和回车}}head = tail = 1; //初始化 BFS可以理解为一个队列，头和尾n[head].x = x;n[head].y = y;n[head].step = 0;n[head].flag = ' ';Vis[x][y] = 1; //标记起点位置为走过了tail++;while (head < tail) { //BFS核心for (int i = 0; i < 4; i++) { //遍历4个方向tx = n[head].x + Next[i][0];ty = n[head].y + Next[i][1];if (tx > m || ty > m || tx < 1 || ty < 1) //出边界continue;if (Vis[tx][ty] == 0 && n[head].flag != Map[tx][ty]) { //没走过且符合+-Vis[tx][ty] = 1;n[tail].flag = Map[tx][ty];n[tail].x = tx;n[tail].y = ty;n[tail].step = n[head].step + 1;tail++;}}if (n[head].flag == 'B') { //走到终点cout << n[head].step << endl;return 0;}head++;}cout << "-1"; //走不到终点return 0;
}

测试结果

问题5 迷宫

题目描述

下图给出了一个迷宫的平面图，其中标记为 1 的为障碍，标记为 0 的为可以通行的地方。

010000

000100

001001

110000

迷宫的入口为左上角，出口为右下角，在迷宫中，只能从一个位置走到这个它的上、下、左、右四个方向之一。对于上面的迷宫，从入口开始，可以按DRRURRDDDR 的顺序通过迷宫，一共 10 步。其中 D、U、L、R 分别表示向下、向上、向左、向右走。对于下面这个更复杂的迷宫（30 行 50 列），请找出一种通过迷宫的方式，其使用的步数最少，在步数最少的前提下，请找出字典序最小的一个作为答案。请注意在字典序中D<L<R<U。（如果你把以下文字复制到文本文件中，请务必检查复制的内容是否与文档中的一致。在试题目录下有一个文件 maze.txt，内容与下面的文本相同）

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个字符串，包含四种字母 D、U、L、R，在提交答案时只填写这个字符串，填写多余的内容将无法得分

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
using namespace std;#define N 30
#define M 50char map[N][M];
int dir[4][2]={{1,0},{0,-1},{0,1},{-1,0}};//D<L<R<U
char ch[4]={'D','L','R','U'};
int vis[N][M]={0};struct point
{int x,y;string road;point(int a,int b){x=a;y=b;}
};void bfs()
{queue<point> q;point p(0,0);p.road="";q.push(p);vis[0][0]=1;while(!q.empty()){point t=q.front();q.pop();if(t.x==N-1&&t.y==M-1){cout<<t.road<<endl;break;}for(int i=0;i<4;i++){int dx=t.x+dir[i][0];int dy=t.y+dir[i][1];if(dx>=0&&dx<N&&dy>=0&&dy<M){if(map[dx][dy]=='0'&&!vis[dx][dy]){point tt(dx,dy);tt.road=t.road+ch[i];//记录路径q.push(tt);vis[dx][dy]=1;}}}}
}int main()
{for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<M;j++)scanf("%c",&map[i][j]);getchar();//读掉回车 }bfs();return 0;
}

答案为DDDDRRURRRRRRDRRRRDDDLDDRDDDDDDDDDDDDRDDRRRURRUURRDDDDRDRRRRRRDRRURRDDDRRRRUURUUUUUUULULLUUUURRRRUULLLUUUULLUUULUURRURRURURRRDDRRRRRDDRRDDLLLDDRRDDRDDLDDDLLDDLLLDLDDDLDDRRRRRRRRRDDDDDDRR

问题6 跳马

问题描述：

中国象棋半张棋盘如图1所示。马自左下角(0,0)向右上角（m，n）跳。规定只能往右跳，不准往左跳。比如图1中所示为一种跳行路线，并将路径总数打印出来。

输入格式：

只有一行：两个数n，m

输出格式：

只有一个数：总方案数total。

深搜

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
struct point
{int i;int j;
};
int io[]={2,1,-1,-2};
int jo[]={1,2,2,1};
point goal;
int sum=0;int main(){void back(point now,point pre);int n,m;cin >> n >> m;int total;goal.i=n;goal.j=m;point now={0};back(now,now);cout << sum << endl;return 0;
}
void back(point now,point pre){if(now.i<0 || now.i>4 || now.j > 8)return;if(now.i==goal.i && now.j==goal.j){sum++;return ;}for(int i=0;i<4;i++){point next={now.i+io[i],now.j+jo[i]};back(next,now);}
}

问题7 路径之谜

小明冒充X星球的骑士，进入了一个奇怪的城堡。

城堡里边什么都没有，只有方形石头铺成的地面。

假设城堡地面是 n x n 个方格。【如图1.png】所示。

按习俗，骑士要从西北角走到东南角。

可以横向或纵向移动，但不能斜着走，也不能跳跃。

每走到一个新方格，就要向正北方和正西方各射一箭。

（城堡的西墙和北墙内各有 n 个靶子）

同一个方格只允许经过一次。但不必做完所有的方格。

如果只给出靶子上箭的数目，你能推断出骑士的行走路线吗？

有时是可以的，比如图1.png中的例子。

本题的要求就是已知箭靶数字，求骑士的行走路径（测试数据保证路径唯一）

输入：

第一行一个整数N(0<N<20)，表示地面有 N x N 个方格

第二行N个整数，空格分开，表示北边的箭靶上的数字（自西向东）

第三行N个整数，空格分开，表示西边的箭靶上的数字（自北向南）

输出：

一行若干个整数，表示骑士路径。

为了方便表示，我们约定每个小格子用一个数字代表，从西北角开始编号: 0,1,2,3....

比如，图1.png中的方块编号为：

0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11

12 13 14 15

示例：

用户输入：

2 4 3 4

4 3 3 3

程序应该输出：

0 4 5 1 2 3 7 11 10 9 13 14 15

代码如下

#include<iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int dir[4][2]={{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};
int a[25]={0},b[25]={0};
int visit[400]={0};
int x,y;
vector<int> s;
bool dfs(int x,int y,int n,vector<int>& s)
{if(x==n-1&&y==n-1){for(int i=0;i<n-1;i++)if(a[i]!=0||b[i]!=0)return false;return true;             }int g,h;for(int i=0;i<4;i++){g=x+dir[i][0];h=y+dir[i][1];if(g>=0&&g<n&&h>=0&&h<n){if(!visit[g*n+h]&&a[h]&&b[g]){visit[g*n+h]=1;a[h]--;b[g]--;s.push_back(g*n+h);if(dfs(g,h,n,s)){return true;}visit[g*n+h]=0;s.erase(s.end()-1);a[h]++;b[g]++;}}}
return false;
}
int main()
{int n;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];for(int i=0;i<n;i++)cin>>b[i];s.push_back(0);a[0]--;b[0]--;dfs(0,0,n,s);for(int i=0;i<s.size();i++)cout<<s[i]<<' ';return 0;
}

问题8 未名湖边的烦恼

问题描述

　　每年冬天，北大未名湖上都是滑冰的好地方。北大体育组准备了许多冰鞋，可是人太多了，每天下午收工后，常常一双冰鞋都不剩。

　　每天早上，租鞋窗口都会排起长龙，假设有还鞋的m个，有需要租鞋的n个。现在的问题是，这些人有多少种排法，可以避免出现体育组没有冰鞋可租的尴尬场面。（两个同样需求的人（比如都是租鞋或都是还鞋）交换位置是同一种排法）

输入格式

　　两个整数，表示m和n

输出格式

　　一个整数，表示队伍的排法的方案数。

样例输入

3 2

样例输出

数据规模和约定

　　m,n∈［0,18］

递归解决

代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
int fun(int x,int y)
{if(x<y) return 0;if(0==y) return 1;return fun(x-1,y)+fun(x,y-1);
}
int main(){int m,n;cin>>m>>n;int sum=fun(m,n);cout<<sum;
}

问题9 大臣的旅费

问题描述

很久以前，T王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。

为节省经费，T国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。

J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。

聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第x千米到第x+1千米这一千米中（x是整数），他花费的路费是x+10这么多。也就是说走1千米花费11，走2千米要花费23。

J大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式

输入的第一行包含一个整数n，表示包括首都在内的T王国的城市数

城市从1开始依次编号，1号城市为首都。

接下来n-1行，描述T国的高速路（T国的高速路一定是n-1条）

每行三个整数Pi, Qi, Di，表示城市Pi和城市Qi之间有一条高速路，长度为Di千米。

输出格式

输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。

样例输入1

5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4

样例输出1

135

输出格式

大臣J从城市4到城市5要花费135的路费。

代码如下

#include <stdio.h>int a[1000][1000];
int flag[1000];
int Max=0;
int sum=0;
void dfs(int s, int n)
{int i;for(i=1;i<=n;i++){if(flag[i]==0&&a[s][i]>0){flag[i]=1;sum=sum+a[s][i];dfs(i,n);sum=sum-a[s][i];flag[i]=0;}}if(i==n+1){if(sum>Max)Max=sum;}
}int main()
{   int n,b,c,i;scanf("%d",&n);int money;for(i=0;i<n-1;i++){scanf("%d%d",&b,&c);scanf("%d",&a[b][c]);a[c][b]=a[b][c];}for(i=1;i<=n;i++){flag[i]=1;dfs(i,n);flag[i]=0;}money=Max*10+(1+Max)*Max/2;printf("%d",money);return 0;
}

问题10 2n皇后问题

Description

给定一个n*n的棋盘，棋盘中有一些位置不能放皇后。现在要向棋盘中放入n个黑皇后

和n个白皇后，使任意的两个黑皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上，任意的两

个白皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上。问总共有多少种放法？n小于等于8。

Input

输入的第一行为一个整数n，表示棋盘的大小。

接下来n行，每行n个0或1的整数，如果一个整数为1，表示对应的位置可以放皇后，

如果一个整数为0，表示对应的位置不可以放皇后。

Output

输出一个整数，表示总共有多少种放法。

Sample Input

No.1

1 1 1 1

No.2

1 0 1 1

1 1 1 1

Sample Output

No.1

No.2

代码如下

#include<bits/stdc++.h>
#define N 10
using namespace std; int n;int map_Q[N][N];int posb[N]={0};
int posw[N]={0}; int tot = 0;   bool checkw( int cur) //检查函数
{  for( int i = 1; i < cur; i++)  if( posw[i] == posw[cur] || abs(i-cur) == abs(posw[i]-posw[cur]))  return false;  return true;
}   bool checkb( int cur)  //检查函数
{  for( int i = 1; i < cur; i++)  if( posb[i] == posb[cur] || abs(i-cur) == abs(posb[i]-posb[cur]))  return false;  return true;
}  void dfs_white( int cur)
{  if( cur == n+1)  //白皇后也全部放完，次数+1{  tot++;  }for( int i = 1; i <= n; i++)  {  if( posb[cur] == i) //表示第cur列的第i行位置已经被黑皇后占用，continue;        //结束当前循环，i+1if( map_Q[cur][i] == 0)  //再判断前提条件是否成立continue;  posw[cur] = i;    //尝试把第cur列的白皇后放在第i行上if( checkw(cur))   //判断能否放置白皇后dfs_white(cur+1);  //递归}
}  void dfs_black( int cur)
{  if( cur == n+1)  //当黑皇后处理完时，再处理白皇后{  dfs_white(1);  }  for( int i = 1; i <= n; i++)  {  if( map_Q[cur][i] == 0)  //如果第cur列第i行满足放皇后的前提条件即 mp[cur][i] == 1continue;  //如果不满足，则结束当前循环，进行下一次循环即i+1。posb[cur] = i;     //就尝试把第cur列的黑皇后放在第i行上if( checkb(cur))   //然后判断该尝试是否成立，如成立，则进行递归，如不成立，则尝试把当前列的黑皇后放在下一行(i+1行)上。dfs_black(cur+1);  //递归}
}  int main(){     cin>>n;for( int i = 1; i <= n; i++)   //定义棋盘for( int j = 1; j <= n; j++)  cin>>map_Q[i][j];    dfs_black(1);    //先把黑皇后放在第一列cout<<tot<<endl; return 0;
}

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