图

图的应用：
- 社交网络
- 村庄路线
什么是图
抽象数据类型定义
图的常见术语
怎么在程序中表示一个图？
- 邻接矩阵
- - 优点(邻接点、度)
  - 缺点
  - 练习
- 邻接表
图的邻接矩阵表示法代码
图的邻接表表示法代码

图的应用：

社交网络

在这个社交网络中，每个人占了一个顶点，顶点和顶点之间的边代表着这两个顶点之间的某种关系。

六度空间理论：任何两个人之间，可以通过不超过6个人来认识。

村庄路线

什么是图

图是一种多对多的关系

图之所以强大是因为图将线性表和树都包含在内了。
线性关系表示的是1对1的关系。
树表示的是1对多的关系。

线性表和树都可以认为是图的一种特殊情况。

图可以没有边，但不能没有顶点，一个图至少必须要包含一个顶点。

无向边使用（）表示
有向边使用 <> 表示

图不考虑重边和自回路
重边：两个顶点如果是无向边，我们默认只有一条边，不能有多条边。
自回路：就是当我们说到一个有向边的时候，他一定从一个顶点指向另一个顶点，不可能指回向自己。

抽象数据类型定义

抽象数据类型定义三要素：
数据名称、数据对象集、操作集

图的常见术语

怎么在程序中表示一个图？

邻接矩阵

他的对角阵必须全部都是0,因为我们不允许自回路的边,所以一个顶点到它自己是不需要边的。

无向图的邻接矩阵的表示是关于对角线对称的。

上图中i表示的是行的下标，j表示的是列的下标，N表示的是行数(列数也可以)，N=i+1.

如果两个顶点之间存在边，那么可以用1来表示，也可以用边的权重来表示。
如果两个顶点之间不存在边，那么可以用0来表示。

省一半的空间，那就真正的就存储一半的数据，原本查看两个顶点之间是否有边相连直接查看下标是不是1就可以了。
但是现在我们只存储了一半的数据，那要查找两个顶点之间是否存在边相连，就需要先找到这个边再数组中存放的下标，再去判断这个下标下的数值是不是1.

优点(邻接点、度)

邻接点：有直接的边跟它相连的所有的顶点叫做这个点的邻接点。
度：度就是跟这个顶点相关的所有的边的个数叫做度。

缺点

稀疏图：顶点很多，边很少，矩阵中含有大量的0元素(无效元素),很浪费空间的。
完全图：任意两个顶点之间都有边，也就是说边数达到极大的，完全图在矩阵中所有的值都是1.
完全图是一个简单的无向图，其中每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连。

练习

邻接表

在链表上，每个结点出现的顺序可能不一样，但是没关系，我们不讲究这个顺序。

在邻接表中每条边都被存储了两遍。

图的邻接矩阵表示法代码

/* 图的邻接矩阵表示法 */#define MaxVertexNum 100    /* 最大顶点数设为100 */
#define INFINITY 65535        /* ∞设为双字节无符号整数的最大值65535*/
typedef int Vertex;         /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
typedef int WeightType;        /* 边的权值设为整型 */
typedef char DataType;        /* 顶点存储的数据类型设为字符型 *//* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{Vertex V1, V2;      /* 有向边<V1, V2> */WeightType Weight;  /* 权重 */
};
typedef PtrToENode Edge;/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{int Nv;  /* 顶点数 */int Ne;  /* 边数   */WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 邻接矩阵 */DataType Data[MaxVertexNum];      /* 存顶点的数据 *//* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data[]可以不用出现 */
};
typedef PtrToGNode MGraph; /* 以邻接矩阵存储的图类型 */MGraph CreateGraph( int VertexNum )
{ /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */Vertex V, W;MGraph Graph;Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立图 */Graph->Nv = VertexNum;Graph->Ne = 0;/* 初始化邻接矩阵 *//* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */for (V=0; V<Graph->Nv; V++)for (W=0; W<Graph->Nv; W++)  Graph->G[V][W] = INFINITY;return Graph;
}void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E )
{/* 插入边 <V1, V2> */Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;    /* 若是无向图，还要插入边<V2, V1> */Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}MGraph BuildGraph()
{MGraph Graph;Edge E;Vertex V;int Nv, i;scanf("%d", &Nv);   /* 读入顶点个数 */Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */ scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 读入边数 */if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */ E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立边结点 */ /* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); /* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */InsertEdge( Graph, E );}} /* 如果顶点有数据的话，读入数据 */for (V=0; V<Graph->Nv; V++) scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));return Graph;
}

图的邻接表表示法代码

/* 图的邻接表表示法 */#define MaxVertexNum 100    /* 最大顶点数设为100 */
typedef int Vertex;         /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
typedef int WeightType;        /* 边的权值设为整型 */
typedef char DataType;        /* 顶点存储的数据类型设为字符型 *//* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{Vertex V1, V2;      /* 有向边<V1, V2> */WeightType Weight;  /* 权重 */
};
typedef PtrToENode Edge;/* 邻接点的定义 */
typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode;
struct AdjVNode{Vertex AdjV;        /* 邻接点下标 */WeightType Weight;  /* 边权重 */PtrToAdjVNode Next;    /* 指向下一个邻接点的指针 */
};/* 顶点表头结点的定义 */
typedef struct Vnode{PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */DataType Data;            /* 存顶点的数据 *//* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data可以不用出现 */
} AdjList[MaxVertexNum];    /* AdjList是邻接表类型 *//* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{  int Nv;     /* 顶点数 */int Ne;     /* 边数   */AdjList G;  /* 邻接表 */
};
typedef PtrToGNode LGraph; /* 以邻接表方式存储的图类型 */LGraph CreateGraph( int VertexNum )
{ /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */Vertex V;LGraph Graph;Graph = (LGraph)malloc( sizeof(struct GNode) ); /* 建立图 */Graph->Nv = VertexNum;Graph->Ne = 0;/* 初始化邻接表头指针 *//* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */for (V=0; V<Graph->Nv; V++)Graph->G[V].FirstEdge = NULL;return Graph;
}void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E )
{PtrToAdjVNode NewNode;/* 插入边 <V1, V2> *//* 为V2建立新的邻接点 */NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));NewNode->AdjV = E->V2;NewNode->Weight = E->Weight;/* 将V2插入V1的表头 */NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;/* 若是无向图，还要插入边 <V2, V1> *//* 为V1建立新的邻接点 */NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));NewNode->AdjV = E->V1;NewNode->Weight = E->Weight;/* 将V1插入V2的表头 */NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;Graph->G[E->V2].FirstEdge = NewNode;
}LGraph BuildGraph()
{LGraph Graph;Edge E;Vertex V;int Nv, i;scanf("%d", &Nv);   /* 读入顶点个数 */Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */ scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 读入边数 */if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */ E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立边结点 */ /* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); /* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */InsertEdge( Graph, E );}} /* 如果顶点有数据的话，读入数据 */for (V=0; V<Graph->Nv; V++) scanf(" %c", &(Graph->G[V].Data));return Graph;
}

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