次微分（subdifferential）

定义1（次微分）给定开集Ω⊂Rd\Omega \subset \mathbb{R}^dΩ⊂Rd和凸函数u:Ω→Ru:\Omega \rightarrow \mathbb{R}u:Ω→R，对任意的x∈Ωx\in \Omegax∈Ω，定义uuu在点xxx的次微分（subdifferential）为∂u(x):={p∈Rd:u(z)≥u(x)+⟨p,z−x⟩,∀z∈Ω}.\partial u(x):=\{p\in \mathbb{R}^d:u(z)\ge u(x)+\langle p, z-x\rangle, \forall z \in \Omega\}.∂u(x):={p∈Rd:u(z)≥u(x)+⟨p,z−x⟩,∀z∈Ω}.次微分∂u(x)\partial u(x)∂u(x)是闭凸集。

定义2（支撑平面）在几何上，如果p∈∂u(x)p \in \partial u(x)p∈∂u(x)，则仿射函数lx,p(z):=u(x)+⟨p,z−x⟩l_{x,p}(z):=u(x)+\langle p,z-x \ranglelx,p(z):=u(x)+⟨p,z−x⟩从下侧在xxx点接触uuu，即lx,p≤u在Ω中,并且lx,p(x)=u(x)l_{x,p}\le u在\Omega中,并且l_{x,p}(x)=u(x)lx,p≤u在Ω中,并且lx,p(x)=u(x)此时lx,pl_{x,p}lx,p是函数uuu在点xxx的支撑平面。

定义3（严格凸函数）一个凸函数uuu在Ω\OmegaΩ中严格凸的，如果对任意x∈Ωx \in \Omegax∈Ω和p∈∂u(x)p \in \partial u(x)p∈∂u(x)，u(z)>u(x)+⟨p,z−x⟩,∀z∈Ω\{x},u(z)>u(x)+\langle p,z-x\rangle,\quad \forall z \in \Omega \backslash \{x\},u(z)>u(x)+⟨p,z−x⟩,∀z∈Ω\{x},等价地，uuu的支撑平面旨在一点接触uuu的图。

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