在开设了SDR软件无线电课程后，有余力的学生开始尝试开发自己的小通信电台，实现Hello World的无线传输。在实验过程中，一定会遇到纠错的问题。即使是在实验室，理想化的信道也是不存在的。没有纠错的小电台，稍微离开一两米就会发生传输错误。

在通信专业的实验课程里，通常只采用matlab等类似的高级语言进行原理性的测试。但此类高级语言过于顶层，使得学生无法了解算法内部究竟做了什么。此外，基于GUNRadio现有的纠错模块，基本是使用几类固定的编译码类型，且封装的很深。

为了配合学生借助 taskbus进行纯控制台STDIO模块的开发，我们收集了手头的通用纠错算法，便于学生进行开发学习。这里把资源中比较特殊的几个算法介绍一下，准备陆续写几篇短文。

1. 循环冗余纠错的能力极限

这类编码典型包括CRC, BCH等编码。当然，一般认为CRC是没有纠错能力的。但是，当参与校验的信息很少时，CRC就具备了不完备的纠错能力。定性的看，考虑一个多项式构造的校验结构有无纠错能力，就看两个方面：

纠错比特数能表达多少种错误类型。
多项式能不能保证图案的唯一性（纪念伟大的数学家伽罗华，建立了近世代数，奠定了图案唯一性的理论基础）。

比如，如果整体码长为N，校验位数为m，则如果 N<2mN < 2^mN<2m则有可能纠出1位错误。前提是采用的多项式是本原的（可类比素数）。在校验位数=4时，码长N必须小于16。因为4比特总共只能表达15种非0图案。类推下去，设最大可纠错的个数是e，则当
∑i=1eCni<2m\sum_{i=1}^{e} C_n^{i} <2^mi=1∑eCni<2m
时，有望纠出e位以内的错误。这种理解相当于模拟出错的过程，假设错1位，则从n个位置取出1个位置进行翻转，共有Cn1C_n^1Cn1=n种可能。假设错2位，则从n个位置取出2个进行翻转，共有Cn2=n(n−1)/2C_n^2=n(n-1)/2Cn2=n(n−1)/2种可能，以此类推。校验的位数要能区分所有的错误图案，因此存在一个最小值，也就是∑i=1eCni\sum_{i=1}^{e} C_n^{i}∑i=1eCni

同时，由于模二计算具备一定的性质，使得错误的图案（出现错误的位置）和校验的结果形成映射，因此在接收方只要通过比对结果，就可知道错误的位置。

2. 字典纠错算法

在计算机不发达的时代，科学家主要研究的是设计一种编码方法，可以通过余数直接求取错误图案。最著名的BCH编码、RS编码，不是单纯因为纠错能力强，而是在于有标准的逆推算法，可以在有限的存储和时间下完成纠错。字典方法在那个时代也是存在的，因为它是最朴素的算法。但是受制于只有1MB内存的286机器，该算法没有实用价值。

2.1 步骤

对当前动辄16GB的内存存储容量而言，借助现代通用计算机的大容量内存，可以轻松实现最为朴素的字典纠错。算法步骤：

确定基本参数，总长度（被除数长度）、校验多项式长度（除数）。假设出错个数e初始化=1
做CneC_n^{e}Cne穷尽，用到了排列组合工具库简化过程。对每个错误位置，执行3-5步。
产生错误图案。
计算校验结果，求取余数。
记录图案：错误位置映射，如果发现重复图案或者字典过大，则结束（到7）。
e=e+1，转2继续。
保存字典。

2. 2 局限与优势

主要的局限在于产生字典的过程较长。但字典的产生是一次性的，一次产生，多次使用。一旦字典生成，查表的过程很快。

3. 调用例子

int demo_bch()
{using namespace  RC_DICTCODEC;using std::vector;using std::string;//0. 定义编码多项式size_t pins[7] = {10,8,5,4,2,1,0};rc_codec_bch codec(15,5,pins,7);rc_dict<char> dict;//1. 构造字典size_t s = dict.init(&codec);printf ("Dict size = %u\n",s);//2. 提供信息，共5比特，11001char code[15] = {1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};//3. 编码codec.encode(code,code);//4. 模拟传输错误code[3] = 1-code[3];code[7] = 1-code[7];//5. 执行校验char check[15] = {0};codec.chcode(code,check);//6. 查表纠错string errk = codec.hash(check);vector<rc_dict<char>::err_mask > err = dict.err_find( errk);for (size_t i=0;i<err.size();++i){printf("Pos = %d, Add = %d\n",err[i].index,err[i].err);if (err[i].index>=0 && err[i].index<15)code[err[i].index] = codec.mod_m_add(code[err[i].index],err[i].err);}//输出，判断余数是不是0codec.chcode(code,check);printf ("chk code=");for (int i=0;i<15;++i)printf("%d",check[i]);printf ("\n");return 0;
}

4. C语言封装

由于C++语言对其他语言包括python,C#不友好，我们参考这篇文章的方法，提供一个非常通用的C语言接口。

/*** @brief oc_bch_new_codec 分配一个BCH码编译码器* @param n 整个编码后的块长度* @param k 信息长度* @param gindex 非零多项式位置,如10,9,8,6,0* @param len 位置项个数,如 5 个（上面的例子）* @param dict_size 字典大小（条）* @return  BCH纠错码编译码器句柄*/
void * oc_bch_new_codec(size_t n, size_t k, const size_t gindex[], size_t len, int dict_size);/*** @brief oc_bch_delete_codec 释放BCH码编译码器 codec* @param codec BCH码编译码器*/
void oc_bch_delete_codec(void * codec);/*** @brief oc_bch_initcodec 首次使用前，要创建字典进行初始化。* @param codec BCH纠错码编译码器* @param status  指定余数初态（默认是全0）* @param bigendian gindex的大小端。* @return*/
int oc_bch_initcodec(void * codec,const char status[/*n-k*/],int bigendian);/*** @brief oc_bch_encode 对字节型的信息data进行纠错编码，存储到code中。* @param codec BCH纠错码编译码器* @param data 信息data* @param code 编码code* @return 0表示成功*/
int oc_bch_encode(void * codec,const char data[/*k*/], char code[/*n*/]) ;/*** @brief oc_bch_decode 对字节型的数据code进行纠错译码* @param codec BCH纠错码编译码器* @param code 待纠错的数据* @param result 纠错后的数据存储到result中* @param checkedCode 可选择对result进行校验，输出到checkedCode里。可以传入nullptr* @return*/
int oc_bch_decode(void * codec,const char code[/*n*/], char result[/*n*/], char * checkedCode) ;

5. GUI测试界面

如果有Qt，则可以编译并使用ocgui测试：

可以发现，经过纠错后，图片可以被正确打开。

6. 代码链接

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