行列式是一种特殊的运算形式，跟一维的加减乘除这类运算类似。只不过它所针对的是对高维度数据的求解，它是从方程组的概念发展而来，是一种比较常见的数学工具。
行列式和 「线性代数」 里的其他概念，比如 「矩阵」、「向量」 比较容易混淆。但是实际上在概念上它们的差异很大，你可以说「矩阵是高维度的向量，而向量是一维度的矩阵」，但行列式是行列式，它既不是向量也不是矩阵，它就是一种特殊的 运算规则 。

文章目录

1. 二阶行列式
2. 三阶行列式
3. 高阶行列式
4. 行列式的性质
- 4.1. 行列式转置后，值不变
- 4.2. 有两行（列）元素成比例，行列式的值为0
- 4.3. 行列式中某一行（列）元素全为0时，行列式值为0
- 4.4. 如果某行（列）的元素都是两个数的和，可以把行列式拆分为两个单独的行列式
- 4.5. 行列式的两行（列）互换，行列式变号
- 4.6. 如果某行（列）的元素有公因子，可将公因子提到行列式外
- 4.7. 行列式中某一行（列）元素的k 倍加到另一行（列），其值不变
5. 行列式的展开定理
- 5.1. 行列式的代数余子式
6. 特殊的行列式
- 6.1. 「上三角」或「下三角」行列式
- 6.2. n 阶范德蒙德行列式

行列式，也称方阵，是一个元素以 n×nn \times nn×n 存在的特殊运算形式，记为 det⁡(A)\det (A)det(A) 或 ∣A∣|A|∣A∣

1. 二阶行列式

det⁡(A)=∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right | = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} det(A)=∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣=a11a22−a12a21

2. 三阶行列式

det⁡(A)=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right | det(A)=∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣

对于二阶、三阶行列式，它的运算过程可以非常粗暴地图像化的表示如下

即

det⁡(A)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31\det (A) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31} det(A)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31

3. 高阶行列式

注意，二阶以及三阶行列式的运算规则不适用于高阶行列式，对于正负号的判断要考虑下标的「逆序数」

det⁡(A)=∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣=∑p1p2⋯pn(−1)τ(p1p2⋯pn)a1p1a2⋯anpn\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | = \sum_{p_1 p_2 \cdots p_n} (-1)^{\tau (p_1 p_2 \cdots p_n)} a_{1p_1} a_{2} \cdots a_{n p_n} det(A)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=p1p2⋯pn∑(−1)τ(p1p2⋯pn)a1p1a2⋯anpn

这是一个 nnn 阶行列式，其中 τ(p1p2⋯pn)\tau (p_1 p_2 \cdots p_n)τ(p1p2⋯pn) 表示由行列式元素第二下标构成的逆序数。

知识补充：
逆序数
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。也就是说，对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的实际先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数¹。

例如对于下面的行列式 det⁡(A)\det (A)det(A)

由元素 a12a21a34a43a_{12} a_{21} a_{34} a_{43}a12a21a34a43 的第二下标组成序列 (2143)(2143)(2143)，我们根据公式，可以知道要确定正负号就要先确定逆序数是多少。对于 (2143)(2143)(2143) 来说它的逆序对有 (2,1),(4,3)(2, 1), (4, 3)(2,1),(4,3)，逆序数 τ(2143)=2\tau (2143) = 2τ(2143)=2，所以
(−1)τ(2143)a12a21a34a43=a12a21a34a43(-1)^{\tau (2143)} a_{12} a_{21} a_{34} a_{43} = a_{12} a_{21} a_{34} a_{43} (−1)τ(2143)a12a21a34a43=a12a21a34a43

我们可以再选一组，比如它后面的 a13a22a31a44a_{13} a_{22} a_{31} a_{44}a13a22a31a44，对于 (3214)(3214)(3214) 来说，它的逆序对为 (3,2),(3,1),(2,1)(3, 2), (3, 1), (2, 1)(3,2),(3,1),(2,1)，所以 τ(3214)=3\tau(3214) = 3τ(3214)=3，最终
(−1)τ(3214)a13a22a31a44=−a13a22a31a44(-1)^{\tau (3214)} a_{13} a_{22} a_{31} a_{44} = - a_{13} a_{22} a_{31} a_{44} (−1)τ(3214)a13a22a31a44=−a13a22a31a44

4. 行列式的性质

4.1. 行列式转置后，值不变

det⁡(A)=det⁡(AT)=∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣=∣a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋮⋮⋱⋮a1na2n⋯ann∣\det(A) = \det(A^{T}) = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | det(A)=det(AT)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋱⋯an1an2⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣

我们可以用三阶段行列式验证
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right | ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣
它的转置行列式 det⁡(AT)\det (A^T)det(AT) 为
∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{matrix} \right | ∣∣∣∣∣∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣∣∣∣∣∣
det⁡(AT)=a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a31a22a13−a11a32a23−a21a12a33\det(A^T) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{21} a_{32} a_{13} + a_{31} a_{12} a_{23} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{11} a_{32} a_{23} - a_{21} a_{12} a_{33} det(AT)=a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a31a22a13−a11a32a23−a21a12a33
可以发现结果和 det⁡(A)\det(A)det(A) 是一样的

4.2. 有两行（列）元素成比例，行列式的值为0

我们以三阶行列式为例

令第三行为第二行的倍数，于是

det⁡(A)=∣a11a12a13a21a22a23ka21ka22ka23∣\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \end{matrix} \right | det(A)=∣∣∣∣∣∣a11a21ka21a12a22ka22a13a23ka23∣∣∣∣∣∣

展开后，得到

det⁡(A)=a11a22[k⋅a23]+a12a23[k⋅a21]+a13a21[k⋅a22]−a11a23[k⋅a22]−a12a21[k⋅a23]−a13a22[k⋅a21]=k(a11a22a23+a12a23a21+a13a21a22−a11a23a22−a12a21a23−a13a22a21)\det (A) = a_{11} a_{22} [k \cdot a_{23}] + a_{12} a_{23} [k \cdot a_{21}] + a_{13} a_{21} [k \cdot a_{22}] - \\ a_{11} a_{23} [ k\cdot a_{22}] - a_{12} a_{21} [k \cdot a_{23}] - a_{13} a_{22} [k \cdot a_{21}] \\ = k (a_{11} a_{22} a_{23} + a_{12} a_{23} a_{21} + a_{13} a_{21} a_{22} - a_{11} a_{23} a_{22} - a_{12} a_{21} a_{23} - a_{13} a_{22} a_{21} ) det(A)=a11a22[k⋅a23]+a12a23[k⋅a21]+a13a21[k⋅a22]−a11a23[k⋅a22]−a12a21[k⋅a23]−a13a22[k⋅a21]=k(a11a22a23+a12a23a21+a13a21a22−a11a23a22−a12a21a23−a13a22a21)

然后，我们可以发现

=k(a11a22a23−a11a23a22+a12a23a21−a12a21a23+a13a21a22−a13a22a21)=0= k (a_{11} a_{22} a_{23} - a_{11} a_{23} a_{22} + a_{12} a_{23} a_{21} - a_{12} a_{21} a_{23} + a_{13} a_{21} a_{22} - a_{13} a_{22} a_{21} ) = 0 =k(a11a22a23−a11a23a22+a12a23a21−a12a21a23+a13a21a22−a13a22a21)=0

同理，列也是一样的。

4.3. 行列式中某一行（列）元素全为0时，行列式值为0

我们以三阶行列式为例

det⁡(A)=∣a11a12a13a21a22a23000∣\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right | det(A)=∣∣∣∣∣∣a11a210a12a220a13a230∣∣∣∣∣∣

基本上不用计算，可以直接凭直觉得出它的值为0。

4.4. 如果某行（列）的元素都是两个数的和，可以把行列式拆分为两个单独的行列式

det⁡(A)=∣a11⋯a1n⋮⋮bi1+ci1⋯bin+cin⋮⋮an1⋯ann∣=∣a11⋯a1n⋮⋮bi1⋯bin⋮⋮an1⋯ann∣+∣a11⋯a1n⋮⋮ci1⋯+cin⋮⋮an1⋯ann∣\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{i1} + c_{i1} & \cdots & b_{in} + c_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | + \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ c_{i1} & \cdots & + c_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | det(A)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮bi1+ci1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮bin+cin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮bi1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮bin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ci1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮+cin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

4.5. 行列式的两行（列）互换，行列式变号

这里，我们为了方便，直接用二阶行列式做说明

交换行或列后，得到

det⁡(A′)=∣a12a11a22a21∣=a12a21−a11a22\det(A') = \left | \begin{matrix} a_{12} & a_{11} \\ a_{22} & a_{21} \end{matrix} \right | = a_{12} a_{21} - a_{11} a_{22} det(A′)=∣∣∣∣a12a22a11a21∣∣∣∣=a12a21−a11a22

所以为了让 det⁡(A′)\det (A')det(A′) 和 det⁡(A)\det(A)det(A) 的值一致，我们要令 det⁡(A)=−det⁡(A′)\det (A) = -\det (A')det(A)=−det(A′)

4.6. 如果某行（列）的元素有公因子，可将公因子提到行列式外

det⁡(A)=∣a11⋯a1n⋮⋮kai1⋯kain⋮⋮an1⋯ann∣=k⋅∣a11⋯a1n⋮⋮ai1⋯ain⋮⋮an1⋯ann∣\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ k a_{i1}& \cdots & k a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | = k \cdot \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | det(A)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮kai1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮kain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=k⋅∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

4.7. 行列式中某一行（列）元素的k 倍加到另一行（列），其值不变

det⁡(A)=∣a11⋯a1n⋮⋮ai1⋯ain⋮⋮an1⋯ann∣=∣a11⋯a1n⋮⋮ai1+kaj1⋯ain+kajn⋮⋮an1⋯ann∣\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + ka_{j1} & \cdots & a_{in} + ka_{jn}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | det(A)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1+kaj1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮ain+kajn⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

这其实很容易求证，根据第4条性质，上面的行列式可以表示为

det⁡(A)=∣a11⋯a1n⋮⋮ai1+kaj1⋯ain+kajn⋮⋮an1⋯ann∣=∣a11⋯a1n⋮⋮ai1⋯ain⋮⋮an1⋯ann∣+∣a11⋯a1n⋮⋮kaj1⋯+kajn⋮⋮an1⋯ann∣\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + ka_{j1} & \cdots & a_{in} + ka_{jn}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | + \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ ka_{j1} & \cdots & + ka_{jn} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | det(A)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1+kaj1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮ain+kajn⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮kaj1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮+kajn⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

然后后面的行列式的 kajnka_{jn}kajn 行又因为是 ajna_{jn}ajn 的倍数，于是

det⁡(A)=∣a11⋯a1n⋮⋮ai1+kaj1⋯ain+kajn⋮⋮an1⋯ann∣=∣a11⋯a1n⋮⋮ai1⋯ain⋮⋮an1⋯ann∣\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + ka_{j1} & \cdots & a_{in} + ka_{jn}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | det(A)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1+kaj1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮ain+kajn⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮an1⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5. 行列式的展开定理

5.1. 行列式的代数余子式

在 nnn 阶行列式中，将元素 aija_{ij}aij 所在的 「iii 行」 与 「jjj 列」 的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成 n−1n-1n−1 阶行列式 MijM_{ij}Mij

Aij=(−1)i+jMijA_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij} Aij=(−1)i+jMij

怎么理解呢，比方说对于三阶行列式

其元素 a11a_{11}a11 的代数余子式表示为

A11=(−1)1+1∣a22a23a32a33∣=∣a22a23a32a33∣A_{11} = (-1)^{1+1} \left | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right | A11=(−1)1+1∣∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣∣=∣∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣∣

其元素 a23a_{23}a23 的代数余子式为

A23=(−1)2+3∣a11a12a31a32∣=−∣a11a12a31a32∣A_{23} = (-1)^{2+3} \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right | = - \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right | A23=(−1)2+3∣∣∣∣a11a31a12a32∣∣∣∣=−∣∣∣∣a11a31a12a32∣∣∣∣

这有什么用呢？显然它可以简化运算，比方说我们展开三阶行式

它可以表示为某行或列的元素的代数余子式的和，即

det⁡(A)=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11A11+a12A12+a13A13=a12A12+a22A22+a32A32=⋯\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right | \\ = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} \\ = a_{12} A_{12} + a_{22} A_{22} + a_{32} A_{32} = \cdots det(A)=∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=a11A11+a12A12+a13A13=a12A12+a22A22+a32A32=⋯

我们随便以 a11A11+a12A12+a13A13a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}a11A11+a12A12+a13A13 为例

=a11∣a22a23a32a33∣−a12∣a21a23a31a33∣+a13∣a21a22a31a32∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31= a_{11} \left | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right | - a_{12} \left | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right | + a_{13} \left | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right | \\ = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31} =a11∣∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣∣−a12∣∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣∣+a13∣∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31

6. 特殊的行列式

6.1. 「上三角」或「下三角」行列式

如果行列式「上三角」或「下三角」的元素全为0，那么行列式等于对角线上元素的乘积

det⁡(A)=∣a110⋯00a21a22⋯00⋮⋮⋱⋮⋮am1am2⋯amm0an1an2⋯amnann∣=a11a22a33⋯ammann\det(A) = \left | \begin{matrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mm} & 0 \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{mn} & a_{nn} \end{matrix} \right | = a_{11} a_{22} a_{33} \cdots a_{mm} a_{nn} det(A)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮am1an10a22⋮am2an2⋯⋯⋱⋯⋯00⋮ammamn00⋮0ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22a33⋯ammann

6.2. n 阶范德蒙德行列式

det⁡(A)=∣11⋯11x1x2⋯xmxnx12x22⋯xm2xn2⋮⋮⋱⋮⋮x1n−1x2n−1⋯xmn−1xnn−1∣=Π1≤i≤j≤n(xi−xj)\det(A) = \left | \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_m & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_m^2 & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_m^{n-1} & x_n^{n-1} \\ \end{matrix} \right | = \Pi_{1 \leq i \leq j \leq n} (x_i - x_j) det(A)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋱⋯1xmxm2⋮xmn−11xnxn2⋮xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=Π1≤i≤j≤n(xi−xj)

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