题目

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题目大意

给出分别有N,MN,MN,M个元素的序列a,ba,ba,b，定义一个乘积矩阵，其中的元素ci,j=ai×bjc_{i,j}=a_i\times b_jci,j=ai×bj，找到它的一个最大面积子矩阵，使得这个子矩阵的元素之和不大于给定的XXX。所有数都是正数，N,M≤2000N,M\leq 2000N,M≤2000。

思路

比赛的时候第一次151515分钟内切掉前222题，剧烈膨胀，结果大脑抽筋死在第333题。
设这个矩阵左上角为ci1,j1c_{i_1,j_1}ci1,j1，右下角为ci2,j2c_{i_2,j_2}ci2,j2，那么它的元素之和为：∑i=i1i2∑j=j1j2ai×bj\sum\limits_{i=i_1}^{i_2}\sum\limits_{j=j_1}^{j_2}a_i\times b_ji=i1∑i2j=j1∑j2ai×bj
化简一下得：∑i=i1i2ai∑j=j1j2bj\sum\limits_{i=i_1}^{i_2}a_i\sum\limits_{j=j_1}^{j_2}b_ji=i1∑i2aij=j1∑j2bj
记录一下a,ba,ba,b的前缀和记为suma,sumbsum_a,sum_bsuma,sumb，于是得到：(suma[i2]−suma[i1−1])×(sumb[j2]−sumb[j2−1])≤X(sum_a[i_2]-sum_a[i_1-1])\times(sum_b[j_2]-sum_b[j_2-1])\leq X(suma[i2]−suma[i1−1])×(sumb[j2]−sumb[j2−1])≤X
相当于是从a,ba,ba,b中分别找一段元素之和乘起来不大于XXX。

以上内容是比赛时想到的。
然后先想了个O(logNlogM⋅NM)O(logNlogM·NM)O(logNlogM⋅NM)，写着写着发现是错的。
然后想了个用set乱搞O((logN+logM)NM)O((logN+logM)NM)O((logN+logM)NM)的，交上去只过了样例，WA了三次后发现思路还是错的。

我直到比赛结束都觉得是个二分搜索。
于是我颓废了。

接下来是正解。
可以用O(N2)O(N^2)O(N2)和O(M2)O(M^2)O(M2)时间处理出a,ba,ba,b中长度为len的一段区间的最小元素和Sa[len],Sb[len]S_a[len],S_b[len]Sa[len],Sb[len]。

然后再用O(NM)O(NM)O(NM)枚举从aaa中选长度为iii，bbb中选长度为jjj的一段，它们乘积之和最小为Sa[i]×Sb[j]S_a[i]\times S_b[j]Sa[i]×Sb[j]，如果这个值不大于XXX，说明可以，就更新答案。

我突然觉得自己不够贪心啊= =

代码

早上起来赶的，写得丑不要介意。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;#define MAXN 2000
#define LL long long
int N[2],X,Ans;
LL Sum[2][MAXN+5],MinSum[3][MAXN+5];int main(){scanf("%d%d",&N[0],&N[1]);for(int i=0;i<=1;i++)for(int j=1;j<=N[i];j++){int t;scanf("%d",&t);Sum[i][j]=Sum[i][j-1]+t;}scanf("%d",&X);memset(MinSum,0x7f,sizeof MinSum);for(int i=0;i<=1;i++)for(int len=1;len<=N[i];len++)for(int j=len;j<=N[i];j++)MinSum[i][len]=min(MinSum[i][len],Sum[i][j]-Sum[i][j-len]);for(int i=1;i<=N[0];i++)for(int j=1;j<=N[1];j++)if(MinSum[0][i]*MinSum[1][j]<=X)Ans=max(Ans,i*j);printf("%d",Ans);
}

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