1.3 用高阶函数做抽象

1.3.1 过程作为参数

1.高阶过程

以过程作为参数，或者以过程作为返回值，这类能操作过程的过程称之为高阶过程。

2.应用于积分

模式一：

(define (sum term a next b)(if (> a b)0(+ (term a)(sum term (next a) next b))))

计算：其中，f = x³ ，a=0;b=1

(define (integral1 f a b dx)(define (add-dx x) (+ x dx))(* (sum f (+ a (/ dx 2.0)) add-dx b)dx))(define (cube x) (* x x x))(integral1 cube 0 1 0.01)>0.24998750000000042   ;;cube在0和1间积分的精确值是1/4

此方法计算积分并不准确，是一个近似值。练习1.29会给出一个更精确的求积分的方法:辛普森规则。

这种函数不能应用于其他语言，1.3.2节说明如和摆脱这种定义

1.3.2 用lambda构造过程

1. 一般形式

(lambda (<formal-parameters>) <body>)

<formal-parameters>为形式参数；<body>为过程体
lambda用于define同样的方式创建过程，此过程不与环境中任何名字相关联。

按如下方式阅读lambda表达式：

(lambda   (x)   (   +     x   4))
该过程  以x为参数  它加起    x 和 4

2.lambda的应用

1.不需要定义辅助过程

(define (pi-sum a b)(sum (lambda (x) (/ 1.0 (* x (+ x 2))))   ;;sum的定义是上面的模式一a(lambda (x) (+ x 4))b))

2.可用作组合式的运算符

((lambda (x y z) (+ x y (* z z))) 1 2 3)

3.用let创建局部变量

1. 一般形式

(let ((<var1> <exp1>)(<var2> <exp2>):(<varn> <expn>))<body>)

可以将它读作

令 <var1> 具有值 <exp1> 而且<var2> 具有值 <exp2> 而且:<varn> 具有值 <expn> ：
在 <body>中

2.let表达式被解释为替代如下表达式的另一种语法形式

(对比 lambda可用作组合式的运算符容易懂)

((lambda (<var1> ...<varn>)<body>)<exp1>:<expn>)

let表达式只是作为基础的lambda表达式的语法外衣罢了

1. 用于与注意

1）.let使人能在尽可能接近其使用的地方创建局部变量约束：

(define (test x)(+ x (let ((x 6)) (- x 2))))(test 6)
>10

2）.变量的值是在let之外计算的

(define (test x)(let ((x 3)(y (+ x 2)))(* x y)))(test 2)
>12

1.3.3 过程作为一般性方法

目的: 如何通过过程去直接描述这些方法

1.通过区间折半寻找方程的根

(define (average x y) (/ (+ x y) 2))  ;求两个数平均值(define (close-enough? x y) ;;两数之差的绝对值是否足够接近0.001(< (abs (- x y)) 0.001))#|检测过程|#
(define (search f neg-point pos-point)(let ((midpoint (average neg-point pos-point)))(if (close-enough? neg-point pos-point)midpoint(let ((test-value (f midpoint)))(cond ((positive? test-value)(search f neg-point midpoint))((negative? test-value)(search f midpoint pos-point))(else midpoint))))))
#|实现体：给一个函数f 以及零点所在区间的上下限|#
(define (half-interval-method f a b)(let ((a-value (f a))(b-value (f b)))(cond ((and (negative? a-value) (positive? b-value))(search f a b))((and (negative? b-value) (positive? a-value))(search f b a))(else(error "值不相符的" a b)))))   ;;;如果不符合上面要求就会报错(half-interval-method sin 2.0 4.0)
>3.1412353515625

2.找出函数的不动点

不动点： 假如函数上有一点（x y）满足函数f(x)=x 即：x=y，则称此点为该函数的不动点
找不动点的思路： 对于某个函数，通过从某个初始猜测值出发，反复的应用f 即：f(f(f(f(x))))。直到值的变化不大时，就找到了不动点。

(define tolerance 0.00001)  ;;;赋值(define (fixed-point f first-guess)(define (close-enough? v1 v2)(< (abs (- v1 v2)) tolerance))(define (try guess)(let ((next (f guess)))(if (close-enough? guess next)next(try next))))(try first-guess))(fixed-point cos 1.0)

3. 开根号（平均阻尼技术）

(define tolerance 0.00001)(define (average x y) (/ (+ x y) 2))(define (fixed-point f first-guess)(define (close-enough? v1 v2)(< (abs (- v1 v2)) tolerance))(define (try guess)(let ((next (f guess)))(if (close-enough? guess next)next(try next))))(try first-guess))
(define (sqrt1 x)(fixed-point (lambda (y) (average y (/ x y)))1.0))
(sqrt1 4)
>2.000000000000002

这个过程可以看作求y |-> x/y 的不动点
假如要求根号x，.那我如何让你的猜测值y变换成另一个值使变换后的值接近正确答案，而且可以反复进行。这样：y = (1/2)(y + x/y) 。运用不动点相加再平均来逼近收敛的方法叫平均阻尼技术

1.3.4 过程作为返回值

1.过程作为返回值

(define (square x) (* x x))(define (average-damp f)(lambda (x) (average x (f x))))((average-damp square) 10)>55

这里的返回过程用到了上面我们介绍lambda的第二个性质：可用作组合式的运算符

那求平方根可写：

(define (sqrt2 x)(fixed-point (average-damp (lambda (y) (/ x y)))1.0))(sqrt2 4)

那求立方根可写：

(define (cube1 x)(fixed-point (average-damp (lambda (y) (/ x (square y))))1.0))

2. 求导：

将y = x³ 求导为 y = 3x² 。这个过程如何实现？
实现：

f`(x) = (g(x + dx) - g(x)) / dx

(define dx 0.000001)(define (deriv g)(lambda (x)(/ (- (g (+ x dx)) (g x))dx)))

3. 牛顿法（逼近）

优点： 牛顿法的收敛速度比折半法的收敛速度快得多

公式： f(x) = x - g(x)/g`(x)

证明：

设x是发f(x )=0的根，选取x0作为x的初始近似值，过点（x0 , f(x0)）做曲线y = f(x) 的切线T，
T的方程为：y=f(x0) + f’(x0)(x-x0)
求出T与x轴的交点的横坐标：x1 = x0 - f(x0)/f’(x0)
，过（x1, f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，
并求出该切线与x轴焦点的横坐标：x2 = x1 - f(x1)/f’(x1)
称x2为x* 的第二次近似值
重复上次的操作会得到x* 的近似序列。

求平方根：

(define (square x) (* x x))(define (deriv g)(lambda (x)(/ (- (g (+ x dx)) (g x))dx)))(define (newton-transform g)(lambda (x)(- x (/ (g x) ((deriv g) x)))))(define (newtons-method g guess)(fixed-point (newton-tansform g) guess))(define (sqrt3 x)(newtons-method (lambda (y) (- (square y) x))    ;;找y = y² - x的不动点1.0))(sqrt 16)
>4

练习：

练习 1.29

解：

#|求以a为下限，以b为上限，函数f的积分（很精确）|#
(define (sum2 h f a b n k)(if (> k n)0(+ (* (/ (h a b n) 3)(cond ((= k 0) (f a))((= k n) (f (+ a (* k (h a b k)))))((= (remainder k 2) 0) (* 2 (f (+ a (* k (h a b n))))))(else (* 4 (f (+ a (* k (h a b n))))))))(sum2 h f a b n (+ k 1)))))(define (cube x) (* x x x))(define (integral2 a b f)(define (h a b n) (/ (- b a) n))(sum2 h f a b 1000 0))(integral2 0 1 cube)

练习 1.30

解：

(define (next a) (+ a 1))(define (term a) (a))(define (sum term a next b)(define (iter a result)(if (> a b)result(iter (next a) (+ (term a) result))))(iter a 0))(define (cube a) (* a a a))(sum cube 1 next 10)

练习 1.31

解：
递归：

(define (product f a next b)(if (> a b)1.0(* (f a)(product f (next a) next b))))
(define (factorial a b f)(define (next a) (+ a 1))(* (product f a next b) 4))(define (f x)(cond ((= (remainder x 2) 0)(/ (+ x 2) (+ x 1)))(else(/ (+ x 1) (+ x 2)))))(factorial 1 10000 f)
>3.1417497057379635

迭代：

(define (product f a next b)(define (iter a result)(if (> a b)result(iter (next a) (* result (f a)))))(iter a 1.0))(define (factorial a b f)(define (next a) (+ a 1))(* (product f a next b) 4))(define (f x)(cond ((= (remainder x 2) 0)(/ (+ x 2) (+ x 1)))(else(/ (+ x 1) (+ x 2)))))(factorial 1 10000 f)
>3.1417497057380084

练习 1.32

解：
递归：
product:

(define (accumulate combiner null-value term a next b)(if (> a b)null-value(combiner (term a)(accumulate combiner null-value term (next a) next b))))(define (factorial a b f)(define (next a) (+ a 1))(define (combiner x y) (* x y))(* (accumulate combiner 1.0 f a next b) 4))

sum:

(define (accumulate combiner null-value term a next b)(if (> a b)null-value(combiner (term a)(accumulate combiner null-value term (next a) next b))))(define (sum term a next b)(define (next a) (+ a 1))(define (combiner x y) (+ x y))(accumulate combiner 0 term a next b))

迭代
product:

(define (accumulate combiner null-value term a next b)(define (iter a result)(if (> a b)result(iter (next a) (combiner result (term a)))))(iter a null-value))(define (factorial a b f)(define (next a) (+ a 1))(define (combiner x y) (* x y))(* (accumulate combiner 1.0 f a next b) 4))

sum

(define (accumulate combiner null-value term a next b)(define (iter a result)(if (> a b)result(iter (next a) (combiner result (term a)))))(iter a null-value))(define (sum term a next b)(define (next a) (+ a 1))(define (combiner x y) (+ x y))(accumulate combiner 0 term a next b))

练习 1.33

解：
a).

(define (filtered-accumulate filter combiner null-value term a next b)(if (> a b)null-value(combiner (if (filter a)(term a)null-value)(filtered-accumulate filter combiner null-value term (next a) next b))))(define (divisor a b f)(define (next a) (+ a 1))(define (combiner x y) (+ x y))(define (f x) x)(filtered-accumulate prime? combiner 0 f a next b))

b).

(define (filtered-accumulate filter combiner null-value term a next b)(if (> a b)null-value(combiner (if (filter a)(term a)null-value)(filtered-accumulate filter combiner null-value term (next a) next b))))(define (divisor n f)(define (next a) (+ a 1))(define (combiner x y) (* x y))     ;;;求乘积(define (f x) x)                    ;;;为了列出a到b之间每一个数(define (filter a) (= (GCD a n) 1)) ;;;此处的filter过滤出与n互素的正整数(filtered-accumulate filter combiner 0 f 0 next n)

练习 1.34

解：

(define (f g)(g 2))(define (square x) (* x x))(f square)(f (lambda (z) (* z (+ z 1))))(f f)
报错：
application: not a procedure;expected a procedure that can be applied to argumentsgiven: 2arguments...

会报错，因为f过程需要一个过程作为参数，当用f本身作为这个参数时;f过程的内部运行(g 2) 变成了
（f 2），而f过程需要的时过程参数不是常数，所以会报错。

练习 1.35

解：

(define (fixed-point f first-guess)(define (close-enough? v1 v2)(< (abs (- v1 v2)) 0.0001))(define (try guess)(let ((next (f guess)))(if (close-enough? guess next)next(try next))))(try first-guess))(define (huang)    (fixed-point (lambda (x) (+ (/ 1 x) 1)) 1.0))(huang)

练习 1.36

解：

(define (fixed-point f first-guess)(define (close-enough? v1 v2)(< (abs (- v1 v2)) 0.0001))(define (try guess)(display guess)  ;;;打印出guess的值(let ((next (f guess)))(newline)      ;;;换行(if (close-enough? guess next)next(try next))))(try first-guess))(define (han)(fixed-point (lambda (x)(/ (log 1000) (log x))) 1.1))(han)

练习 1.37

解：
方法一：

(define (cont-frac n d k)(define (iter i result)(if (> i k)result(iter (+ i 1) (/ (n i) (+ (d i) result)))))(iter 1 1.0))(cont-frac (lambda (i) 1.0)  ;;;这里用lambda定义的过程由于是用参数传入，在上面定义cont-frac的时候就相当有了个名字所以使用的时候写成(n i)(lambda (i) 1.0)11)

方法二(练习1.38建议使用版)：

(define (cont-frac n d k)(define (iter i null-value)(if (> i k)null-value(/ (n i) (+ (d i) (iter (+ i 1) null-value)))))(iter 1 1.0))(cont-frac (lambda (i) 1.0)(lambda (i) 1.0)11)

当k=11时能保证得到的近似值具有十进制的4位精度。

练习 1.38

解：

(define (cont-frac n d k)(define (iter i null-value)(if (> i k)null-value(/ (n i) (+ (d i) (iter (+ i 1) null-value)))))(+ (iter 1 1.0) 2))(cont-frac (lambda (i) 1.0)(lambda (i) (cond ((= (remainder (+ i 1) 3) 0) (* 2 (/ (+ i 1) 3)))(else 1)))1000)

练习 1.39

解：

(define (tancf d x k)(define (iter i null-value)(if (> i k)null-value(/ (square x) (- (d i) (iter (+ i 1) null-value)))))(* (iter 1 1.0) x))(define (square x) (* x x))
(define (tan-cf x k)(define (d i)(- (* 2 i) 1))(tancf d x k))(tan-cf 1 10000)

练习 1.40

解：

#|求平方|#
(define (square x) (* x x))
(define dx 0.001)#|求导|#
(define (deriv g)(lambda (x)(/ (- (g (+ x dx)) (g x))dx)))#|牛顿法逼近零点|#
(define (newton-transform g)(lambda (x)(- x (/ (g x) ((deriv g) x)))))#|fixed-point 该过程产生出不动点的过程 |#
(define (fixed-point f first-guess)(define (close-enough? v1 v2)(< (abs (- v1 v2)) 0.00001))(define (try guess)(let ((next (f guess)))(if (close-enough? guess next)next(try next))))(try first-guess))#|返回这个过程|#
(define (newtons-method g guess)(fixed-point (newton-transform g) guess))(define (cubic a b c)(lambda (x) (+ (* x x x) (* a x x) (* b x) c)))
#|给a b c 赋值|#
(newtons-method (cubic 1 1 1) 1)>-1.0000000001211478

练习 1.41

解：

(define (double g)(lambda (x) (g (g x))))(define (inc x) (+ x 1))((double inc) 1)(((double (double double)) inc) 5)>3
>21

练习 1.42

解：

(define (inc x) (+ x 1))(define (square x) (* x x))(define (compose2 a b) (lambda (x)(a (b x))))((compose2 square inc) 6)

练习 1.43

解：
迭代：

(define (square x) (* x x))(define (repeated f n)(define (iter x n)(if (<= n 0)x(iter (f x) (- n 1))))(lambda (x)(iter x n)))
((repeated square 2) 5)
>625

递归：

(define (square x) (* x x))(define (repeated f n)(define (iter x n)(if (<= n 0)x(f (iter x (- n 1)))))(lambda (x)(iter x n)))
((repeated square 2) 5)
>625

练习 1.44

解：

(define dx 0.001)
(define (square x) (* x x))
(define (smooth f)(lambda (x)(/ (+ (f (- x dx)) (f x) (f (+ x dx))) 3)))(define (repeated f n)(define (iter x n)(if (<= n 0)x(f (iter x (- n 1)))))(lambda (x)(iter x n)))(define (smooth-repeated f n)(lambda (x)(((repeated smooth n) f) x)))
((smooth-repeated square 10) 5) ;;;f函数经过10次平滑后产生的过程应用到5上
>25.00000666666665

以后补下面两题

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SICP第一章：构造过程抽象（1.3）

1.3 用高阶函数做抽象

1.3.1 过程作为参数

1.高阶过程

2.应用于积分

1.3.2 用lambda构造过程

1. 一般形式

2.lambda的应用

1.不需要定义辅助过程

2.可用作组合式的运算符

3.用let创建局部变量

1. 一般形式

2.let表达式被解释为替代如下表达式的另一种语法形式

1. 用于与注意

1.3.3 过程作为一般性方法

1.通过区间折半寻找方程的根

2.找出函数的不动点

3. 开根号（平均阻尼技术）

1.3.4 过程作为返回值

1.过程作为返回值

2. 求导：

3. 牛顿法（逼近）

练习：

练习 1.29

练习 1.30

练习 1.31

练习 1.32

练习 1.33

练习 1.34

练习 1.35

练习 1.36

练习 1.37

练习 1.38

练习 1.39

练习 1.40

练习 1.41

练习 1.42

练习 1.43

练习 1.44

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