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problem

小 A 所在的地区有 nnn 个点，标号为 1∼n1 ∼ n1∼n。每个节点都连出去恰好一条有向边，设 iii 连出去的点是 AiA_iAi。保证 Ai≠iA_i \ne iAi=i 且 AAi≠iA_{A_i} \ne iAAi=i。

每个点上有一些糖果，第 iii 个节点上的糖果数量为 BiB_iBi，小 A 定义一个节点的稠密度为 CiC_iCi，CiC_iCi 求法如下：

假设和 iii 距离不超过 111 的点有 DiD_iDi 个（包括 iii 连出去的点、连向 iii 的点以及 iii 自己），分别是 P1,P2,...PDiP_1, P_2, ...P_{D_i}P1,P2,...PDi。

设 Ei=⌊BiDi⌋E_i = ⌊\frac {B_i}{D_i}⌋Ei=⌊DiBi⌋，那么 Ci=Bi−Di×Ei+∑j=1DiEPjC_i = B_i-D_i\times E_i+\sum_{j=1}^{D_i}E_{P_j}Ci=Bi−Di×Ei+∑j=1DiEPj。

现在小 A 想让你实现一个糖果稠密度分析仪，要支持三种操作：

111 iii jjj：表示把 iii 的出边改为 jjj，即令 Ai=jAi = jAi=j，保证 j≠ij \ne ij=i 且 Aj≠iA_j \ne iAj=i。
222 iii：表示询问 iii 点的稠密度，即你需要输出 CiC_iCi。
333：询问所有节点中，CiC_iCi 的最小值和最大值。

数据范围：3≤n≤1053 ≤ n ≤ 10^53≤n≤105，1≤q≤1051 ≤ q ≤ 10^51≤q≤105，1≤Bi≤10121 ≤ B_i ≤ 10^{12}1≤Bi≤1012，1≤Ai≤n1 ≤ A_i ≤ n1≤Ai≤n。

solution

感觉这道题想通了就不算很难了，主要是代码细节问题。

把 CiC_iCi 中 AiA_iAi 的贡献与其他点的贡献分开，即我们先不考虑 AiA_iAi，最后加上EAiE_{A_i}EAi。

记集合 soni={Cj∣Aj=i}son_i=\{C_j \mid A_j=i\}soni={Cj∣Aj=i}（注意这里的 CjC_jCj 也是不考虑 EAjE_{A_j}EAj 的）。对每个点都维护一个这样的集合，然后把 Ei+max{soni}E_i+max\{son_i\}Ei+max{soni} 和 Ei+min{soni}E_i+min\{son_i\}Ei+min{soni} 丢到全局的集合，最后全局集合的最大最小值就是 333 的答案。

对于 222，答案也就是 Cx+EAxC_x+E_{A_x}Cx+EAx。

那么对于 111 的修改，考虑会有这些东西的更改：

iii 点的 AAA 值。
原 AiA_iAi 点的 C,D,EC,D,EC,D,E 值和 sonsonson 集合。
AAiA_{A_i}AAi 点的 CCC 值和 sonsonson 集合。
AAAiA_{A_{A_i}}AAAi 点的 sonsonson 集合。
jjj 点的 C,D,EC,D,EC,D,E 值和 sonsonson 集合。
AjA_jAj 的 CCC 值和 sonsonson 集合。
AAjA_{A_j}AAj 的 sonsonson 集合。

这些其实在草稿纸上好好推一推就可以得到，具体怎么改根据公式也很容易推出。

时间复杂度 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;
int n,q;
ll A[N],B[N],C[N],D[N],E[N];
multiset<ll>son[N],Ans;
void Insert(int x){if(!son[x].empty()){Ans.insert(E[x]+*son[x].begin());Ans.insert(E[x]+*son[x].rbegin());}
}
void Delete(int x){if(!son[x].empty()){Ans.erase(Ans.find(E[x]+*son[x].begin()));Ans.erase(Ans.find(E[x]+*son[x].rbegin()));}
}
void ins(int fa,int x)  {son[fa].insert(C[x]);}
void del(int fa,int x)  {son[fa].erase(son[fa].find(C[x]));}
void Modify(int i,int j){int x=A[i],y=A[x],z=A[y];Delete(x),Delete(y),Delete(z);del(z,y),del(y,x),del(x,i);C[y]-=E[x],C[x]-=E[i]-E[x]*(D[x]-1);--D[x],E[x]=B[x]/D[x];C[y]+=E[x],C[x]-=E[x]*(D[x]-1);ins(y,x),ins(z,y);Insert(x),Insert(y),Insert(z);A[i]=j,x=A[j],y=A[x];Delete(j),Delete(x),Delete(y);del(y,x),del(x,j);C[x]-=E[j],C[j]+=E[j]*(D[j]-1);++D[j],E[j]=B[j]/D[j];C[x]+=E[j],C[j]-=E[j]*(D[j]-1)-E[i];ins(j,i),ins(x,j),ins(y,x);Insert(j),Insert(x),Insert(y);
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&q);for(int i=1;i<=n;++i)  scanf("%lld",&B[i]),D[i]=2;for(int i=1;i<=n;++i)  scanf("%lld",&A[i]),D[A[i]]++;for(int i=1;i<=n;++i)  E[i]=B[i]/D[i];for(int i=1;i<=n;++i)  C[i]+=B[i]-E[i]*(D[i]-1),C[A[i]]+=E[i];for(int i=1;i<=n;++i)  ins(A[i],i);for(int i=1;i<=n;++i)  Insert(i);int op,x,y;while(q--){scanf("%d",&op);if(op==1)  scanf("%d%d",&x,&y),Modify(x,y);else  if(op==2)  scanf("%d",&x),printf("%lld\n",C[x]+E[A[x]]);else  printf("%lld %lld\n",*Ans.begin(),*Ans.rbegin());}return 0;
}