考研数学一二重积分常见解题思路

交换积分次序
- 直角坐标
  - 1.画出积分区域
  - 2.交换dx，dy的积分次序
- 极坐标
  我们一般都是先积出r，较少考察先积θ。例：660：109
  - 找r的范围，在此范围内，θ上下限不会变
  - 若有多段，分开积相加。
常用性质
解题时使用可加快计算速度，简化问题。
- 奇偶性
  - 一般是x轴、y轴
  - 奇偶性平移
    - 核心思想若区域关于x=a或y=b对称，把被积函数尽量拆分成此形式。
      例：660：114
- 轮换对称性
  - 使用条件
    - 被积函数关于y=x对称
    - f(x,y)=f(y,x)
  - 用法
    - 积分区域难积，考虑通过y=x直接分割成2半（然后极坐标）
      例：660：115，263
    - 被积函数难积，交换x,y叠加，消去难积项。
      例：武老师高数基础：p146 例6
大小判断
- 积分区域一样，则转为被积函数的判定
- 常用：sinx<x<tanx , x∈（0，π)
- 面积重叠或者相反的,考虑先化简
- 凹凸性
- 中值定理
二重积分的极限形式
一般D都是圆（半径r趋近0使得x和y都趋近0）
- 中值定理
- 二重积分可以分开积,则先积出一项,如常数2π,继续处理,如洛必达.
二重积分看成一次积分求解
- 题目给定条件很多,可以用分部积分.
  例: 660:275

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