Matlab中的Smith 预估器

Smith Predictor是针对时滞系统的。

原理：看Matlab help中的"Control of Processes with Long Dead Time: The Smith Predictor"足矣，写的非常好。

假设有一个有时滞的一阶模型，其传递函数如下：

s = tf('s');
P = exp(-93.9*s) * 5.6/(40.2*s+1);
P.InputName = 'u';
P.OutputName = 'y';
P

得到：

P =From input "u" to output "y":5.6exp(-93.9*s) * ----------40.2 s + 1

注意到时滞常数93.9是系统时间常数的两倍还多，

其阶跃响应如下：

step(P), grid on

我们常使用PI控制器来控制被控对象P：

C为PI控制器：

Cpi =1      1 Kp * (1 + ---- * ---)Ti     s

这里，我们用PIDTUNE指令来tune一个PI控制器，包括用pidstd创建一个标准的PID控制器（Kp=1，Ti=1），设定开环带宽为0.006rad/s:

Cpi = pidtune(P,pidstd(1,1),0.006);
Cpi

得到：

Cpi =1      1 Kp * (1 + ---- * ---)Ti     s with Kp = 0.0501, Ti = 47.3Continuous-time PI controller in standard form

闭环系统的阶跃响应如下（feedback的第一个参数为PI控制器开环传函，第二个参数为测量单元传函）：

Tpi = feedback([P*Cpi,1],1,1,1);  % closed-loop model [ysp;d]->y
Tpi.InputName = {'ysp' 'd'};step(Tpi), grid on

可以看出，闭环阶跃响应的超调幅度勉强可以接收，但是稳定的时间有点太长了（差不多600s）。为了提高响应速度，是否可以增加Kp呢?下面测试3种Kp：

Kp3 = [0.06;0.08;0.1];      % try three increasing values of Kp
Ti3 = repmat(Cpi.Ti,3,1);   % Ti remains the same
C3 = pidstd(Kp3,Ti3);       % corresponding three PI controllers
T3 = feedback(P*C3,1);
T3.InputName = 'ysp';step(T3)
title('Loss of stability when increasing Kp')

超调最大的就是Kp=0.1的情况。可以看出，在pidtune的情况下，增大Kp就增加了超调、引入了不稳定。

PI控制器对于时滞系统而言，其性能受限于long dead time，此时PI显得“缺乏耐心”。一个例子就是在我们用淋浴洗澡。因为水管比较长，因此它是一个时滞系统。如果我们“缺乏耐心”的调整水温，会频繁的冷热交替、让人非常烦恼。一个比较好的策略就是在进一步调整之前，等待当前setting的水温先发生变化。如果我们学习到了哪个setting可以得到我们想要的水温，我们就可以如尝所愿。这个就是“Smith compensator”的思想。

Smith预估器（或者称‘补偿器’）的框图如下：

假设P是水管，那么在Smith预估器中，我们就用一个Gp（系统内模）来预测没有时滞的系统输出（即上图中的yp）。在我们水管的例子中，Gp就是最佳水温对应的setting，yp就是水管长度为0时输出的水温。

然后将这个yp和ysp（水温设定值）进行比较，经过控制器C后得到控制量u。为了防止drift并抑制外部干扰，还需要将预测部分经过时滞环节的输出y1和实际被控对象的输出y进行比较，得到差值dy；dy经过滤波器F后会贡献给e。

综上可以看出，使用Smith预估器的前提是：

准确估计系统的内模Gp（越接近实际的P越好）。
准确估计系统的时滞环节τ
设置控制器C

对于前述系统，

P =From input "u" to output "y":5.6exp(-93.9*s) * ----------40.2 s + 1

我们设置Gp和P一样（这里假设“百分百准确”的内模估计）：

F使用一个20s的一阶滤波器：

F = 1/(20*s+1);
F.InputName = 'dy';
F.OutputName = 'dp';

对于C，我们使用PI控制器。这样，我们便构建了一个Smith预估器。通过它，我们可以增加系统的开环带宽、减少超调。如下所示，在用connet构建了总的plant后，我们用pidtuneIptions设计了一个90°的相位裕度、带宽为0.08rad/s的系统：

% Prediction model
Gp = 5.6/(40.2*s+1);
Gp.InputName = 'u';
Gp.OutputName = 'yp';Dp = exp(-93.9*s);
Dp.InputName = 'yp'; Dp.OutputName = 'y1';% Overall plant
S1 = sumblk('ym = yp + dp');
S2 = sumblk('dy = y0 - y1');
Plant = connect(P,Gp,Dp,F,S1,S2,'u','ym');% Design PI controller with 0.08 rad/s bandwidth and 90 degrees phase margin
Options = pidtuneOptions('PhaseMargin',90);
C = pidtune(Plant,pidstd(1,1),0.08,Options);
C.InputName = 'e';
C.OutputName = 'u';
C

下面比较一下有Smith预估器的闭环系统和只有PI控制器的系统的阶跃响应，前者的代码为：

% Assemble closed-loop model from [y_sp,d] to y
Sum1 = sumblk('e = ysp - yp - dp');
Sum2 = sumblk('y = y0 + d');
Sum3 = sumblk('dy = y - y1');
T = connect(P,Gp,Dp,C,F,Sum1,Sum2,Sum3,{'ysp','d'},'y');

比较：

step(T,'b',Tpi,'r--')
grid on
legend('Smith Predictor','PI Controller')

可以看出，Smith预估器没有超调、响应极快（当然，前提是估计的内模是完全准确的）。

对应的Bode图也印证了这一点，看下图中的带宽和相位裕度：

----------------------------------------------------Simulink分割线-----------------------------------------------------

上面的例子是用脚本写的。而在Simulink中，已经有了现成的Smith Predictor Controller模块，可以直接用。如果想用这个模块复现"Control of Processes with Long Dead Time: The Smith Predictor"的例子，需要注意：Smith Predictor Controller是离散的，因此在写传函时不能和连续的传函形式一样，而应该用Matlab的c2d函数先将例子中的TF进行转换：

>> h = tf(5.6,[40.2 1]);
>> hd = c2d(h,0.1)hd =0.01391----------z - 0.9975Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.

再设置Smith Predictor Controller中的Numerator和Denominator：

框图如下：

仿真结果如下（红色的y为Smith预估器的仿真输出，其他的y为PI控制器的仿真输出）：

可以看出，在模型无误差的情况下，Smith预估器可以允许有更大的Kp、响应快速、且没有超调。

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