向量空间、内积空间、欧式空间以及希尔伯特空间的关系
在数学中有许多空间表示,比如向量空间、内积空间、欧式空间以及希尔伯特空间等。
1、距离的定义
具体的距离:实际上距离除了我们经常用到的直线距离外,还有向量距离, 函数距离、 曲面距离、折线距离等等,这些具体的距离与距离之间的关系类似于苹果、香蕉等与水果的关系,前面是具体的事物,后面是抽象的概念。
距离就是一个抽象的概念,其定义为:
设X是任一非空集,对X中任意两点x,y,有一实数d(x,y)与之对应且满足:
1. d(x,y) ≥0,且d(x,y)=0当且仅当x=y;
2. d(x,y)=d(y,x);
3. d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y)。
称d(x,y)为X中的一个距离。
2、线性空间、向量空间
定义了距离后,我们再加上线性结构,如向量的加法、数乘,使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元;数乘的交换律、单位一;数乘与加法的结合律(两个)共八点要求,从而形成一个线性空间,这个线性空间就是向量空间。
3、范数
在向量空间中,我们定义了范数的概念,表示某点到空间零点的距离:
1. ||x|| ≥0;
2. ||ax||=|a|||x||;
3. ||x+y||≤||x||+||y||。
将范数与距离比较,可知,范数比距离多了一个条件2,数乘的运算,表明其是一个强化了的距离概念。范数与距离的关系可以类似理解为与红富士苹果与苹果的关系。
接下来对范数和距离进行扩展,形成如下:
范数的集合⟶ 赋范空间 +线性结构⟶线性赋范空间
距离的集合⟶ 度量空间 +线性结构⟶线性度量空间
4、内积空间、欧氏空间
下面在已经构成的线性赋范空间上继续扩展,添加内积运算,使空间中有角的概念,形成如下:
线性赋范空间+内积运算⟶ 内积空间;
这时的内积空间已经有了距离、长度、角度等,有限维的内积空间也就是我们熟悉的欧氏空间。
5、希尔伯特空间
继续在内积空间上扩展,使得内积空间满足完备性,形成希尔伯特空间如下:
内积空间+完备性⟶ 希尔伯特空间
其中完备性的意思就是空间中的极限运算不能跑出该空间,如有理数空间中的2–√2\sqrt{2}的小数表示,其极限随着小数位数的增加收敛到2–√2\sqrt{2},但2–√2\sqrt{2}属于无理数,并不在有理数空间,故不满足完备性。一个通俗的理解是把学校理解为一个空间,你从学校内的宿舍中开始一直往外走,当走不动停下来时(极限收敛),发现已经走出学校了(超出空间),不在学校范围内了(不完备了)。希尔伯特就相当于地球,无论你怎么走,都还在地球内(飞出太空除外)。
6、巴拿赫空间
此外,前面提到的赋范空间,使其满足完备性,扩展形成巴拿赫空间如下:
赋范空间+完备性⟶ 巴拿赫空间
以上均是在距离的概念上进行添加约束形成的,递增关系如下:
距离⟶范数⟶内积
向量空间+范数⟶ 赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间+内积运算⟶内积空间+完备性⟶希尔伯特空间
内积空间+有限维⟶欧几里德空间
赋范空间+完备性⟶巴拿赫空间
顺便提以下,对距离进行弱化,保留距离的极限和连续概念,就形成拓扑的概念。
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