前言

前面对下面各种类型题目一步步分析，带读者进行计算和分析。在总结部分给出判断使用的方法。

给出下面系统响应和激励的关系，判断系统是否为线性的、时不变的、因果的？（给出的题目来自《信号与系统引论》郑君里 应启衍 杨为理 第一章课后习题1-20）

1. r(t)=de(t)dtr(t)=\frac{\mathrm{d} e(t)}{\mathrm{d} t} r(t)=dtde(t)​
2. r(t)=e(t)u(t)r(t)=e(t)u(t)r(t)=e(t)u(t)
3. r(t)=e(1−t)r(t)=e(1-t)r(t)=e(1−t)
4. r(t)=e(2t)r(t)=e(2t)r(t)=e(2t)
5. r(t)=e2(t)r(t)=e^2(t)r(t)=e2(t)
6. r(t)=∫−∞te(τ)dτr(t)=\int_{-\infty }^{t} e(\tau )d\taur(t)=∫−∞t​e(τ)dτ
7. r(t)=∫−∞5te(τ)dτr(t)=\int_{-\infty }^{5t} e(\tau )d\taur(t)=∫−∞5t​e(τ)dτ

系统线性判断

1. e1(t)⟶de1(t)dt=r1(t)e_1(t)\longrightarrow \frac{\mathrm{d} e_1(t)}{\mathrm{d} t} =r_1(t)e1​(t)⟶dtde1​(t)​=r1​(t)
   e2(t)⟶de2(t)dt=r2(t)e_2(t)\longrightarrow \frac{\mathrm{d} e_2(t)}{\mathrm{d} t} =r_2(t)e2​(t)⟶dtde2​(t)​=r2​(t)
   ae1(t)+be2(t)⟶ade1(t)dt+bde2(t)dt=ar1(t)+br2(t)ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow a \frac{\mathrm{d} e_1(t)}{\mathrm{d} t}+b\frac{\mathrm{d} e_2(t)}{\mathrm{d} t}=ar_1(t)+br_2(t)ae1​(t)+be2​(t)⟶adtde1​(t)​+bdtde2​(t)​=ar1​(t)+br2​(t)
   判断系统为线性的
2. e1(t)⟶e1(t)u(t)=r1(t)e_1(t)\longrightarrow e_1(t)u(t)=r_1(t)e1​(t)⟶e1​(t)u(t)=r1​(t)
   e2(t)⟶e2(t)u(t)=r2(t)e_2(t)\longrightarrow e_2(t)u(t)=r_2(t)e2​(t)⟶e2​(t)u(t)=r2​(t)
   ae1(t)+be2(t)⟶ae1(t)u(t)+be2(t)u(t)=ar1(t)+br2(t)ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow ae_1(t)u(t)+be_2(t)u(t)=ar_1(t)+br_2(t)ae1​(t)+be2​(t)⟶ae1​(t)u(t)+be2​(t)u(t)=ar1​(t)+br2​(t)
   判断系统为线性的
3. e1(t)⟶e1(1−t)=r1(t)e_1(t)\longrightarrow e_1(1-t)=r_1(t)e1​(t)⟶e1​(1−t)=r1​(t)
   e2(t)⟶e2(1−t)=r2(t)e_2(t)\longrightarrow e_2(1-t)=r_2(t)e2​(t)⟶e2​(1−t)=r2​(t)
   ae1(t)+be2(t)⟶ae1(1−t)+be1(1−t)=r1(t)+r2(t)ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow ae_1(1-t)+be_1(1-t)=r_1(t)+r_2(t)ae1​(t)+be2​(t)⟶ae1​(1−t)+be1​(1−t)=r1​(t)+r2​(t)
   判断系统为线性
4. e1(t)⟶e1(2t)=r1(t)e_1(t)\longrightarrow e_1(2t)=r_1(t)e1​(t)⟶e1​(2t)=r1​(t)
   e2(t)⟶e2(2t)=r2(t)e_2(t)\longrightarrow e_2(2t)=r_2(t)e2​(t)⟶e2​(2t)=r2​(t)
   ae1(t)+be2(t)⟶ae1(2t)+be1(2t)=ar1(t)+br2(t)ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow ae_1(2t)+be_1(2t)=ar_1(t)+br_2(t)ae1​(t)+be2​(t)⟶ae1​(2t)+be1​(2t)=ar1​(t)+br2​(t)
   判断系统为线性

e1(t)⟶e12(t)=r1(t)e_1(t)\longrightarrow e_1^2(t)=r_1(t)e1​(t)⟶e12​(t)=r1​(t)
e2(t)⟶e22(t)=r2(t)e_2(t)\longrightarrow e_2^2(t)=r_2(t)e2​(t)⟶e22​(t)=r2​(t)
ae1(t)+be2(t)⟶(ae1(t)+be2(t)2≠ar1(t)+br2(t)ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow (ae_1(t)+be_2(t)^2\neq ar_1(t)+br_2(t)ae1​(t)+be2​(t)⟶(ae1​(t)+be2​(t)2​=ar1​(t)+br2​(t)
判断系统为非线性
6. e1(t)⟶∫−∞te1(τ)dτ=r1(t)e_1(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{t} e_1(\tau )d\tau=r_1(t)e1​(t)⟶∫−∞t​e1​(τ)dτ=r1​(t)
e2(t)⟶∫−∞te2(τ)dτ=r1(t)e_2(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{t} e_2(\tau )d\tau=r_1(t)e2​(t)⟶∫−∞t​e2​(τ)dτ=r1​(t)
ae1(t)+be2(t)⟶a∫−∞te1(τ)dτ+b∫−∞te2(τ)dτ=ar1(t)+br2(t)ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow a\int_{-\infty }^{t} e_1(\tau )d\tau+b \int_{-\infty }^{t} e_2(\tau )d\tau=ar_1(t)+br_2(t)ae1​(t)+be2​(t)⟶a∫−∞t​e1​(τ)dτ+b∫−∞t​e2​(τ)dτ=ar1​(t)+br2​(t)
判断系统为线性
7. e1(t)⟶∫−∞5te1(τ)dτ=r1(t)e_1(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{5t} e_1(\tau )d\tau=r_1(t)e1​(t)⟶∫−∞5t​e1​(τ)dτ=r1​(t)
e2(t)⟶∫−∞5te2(τ)dτ=r1(t)e_2(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{5t} e_2(\tau )d\tau=r_1(t)e2​(t)⟶∫−∞5t​e2​(τ)dτ=r1​(t)
ae1(t)+be2(t)⟶∫−∞5t[ae1(τ)+be2(τ)]dτ=a∫−∞5te1(τ)dτ+b∫−∞5te2(τ)dτ=ar1(t)+br2(t)ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{5t} [ae_1(\tau )+be_2(\tau )]d\tau=a\int_{-\infty }^{5t} e_1(\tau )d\tau+b \int_{-\infty }^{5t} e_2(\tau )d\tau=ar_1(t)+br_2(t)ae1​(t)+be2​(t)⟶∫−∞5t​[ae1​(τ)+be2​(τ)]dτ=a∫−∞5t​e1​(τ)dτ+b∫−∞5t​e2​(τ)dτ=ar1​(t)+br2​(t)
判断系统为线性

系统时不变判断

1.e1(t)⟶de1(t)dt=r1(t)e_1(t)\longrightarrow \frac{\mathrm{d} e_1(t)}{\mathrm{d} t} =r_1(t)e1​(t)⟶dtde1​(t)​=r1​(t)
e2(t)=e1(t−t0)⟶de1(t−t0)dt=r1(t−t0)e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow \frac{\mathrm{d} e_1(t-t_0)}{\mathrm{d} t} =r_1(t-t_0)e2​(t)=e1​(t−t0​)⟶dtde1​(t−t0​)​=r1​(t−t0​)
判断系统时不变
2. e1(t)⟶e1(t)u(t)=r1(t)e_1(t)\longrightarrow e_1(t)u(t)=r_1(t)e1​(t)⟶e1​(t)u(t)=r1​(t)
e2(t)=e1(t−t0)⟶e1(t−t0)u(t)=r2(t)e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow e_1(t-t_0)u(t)=r_2(t)e2​(t)=e1​(t−t0​)⟶e1​(t−t0​)u(t)=r2​(t)
而r1(t−t0)=e1(t−t0)u(t−t0)≠r2(t)r_1(t-t_0)=e_1(t-t_0)u(t-t_0)\neq r_2(t)r1​(t−t0​)=e1​(t−t0​)u(t−t0​)​=r2​(t)，故系统为时变的

1. e1(t)⟶e1(1−t)=r1(t)e_1(t)\longrightarrow e_1(1-t)=r_1(t)e1​(t)⟶e1​(1−t)=r1​(t)
   e2(t)=e1(t−t0)⟶e1[1−(t−t0)]=e1(1+t0−t)=r2(t)e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow e_1[1-(t-t_0)]=e_1(1+t_0-t)=r_2(t)e2​(t)=e1​(t−t0​)⟶e1​[1−(t−t0​)]=e1​(1+t0​−t)=r2​(t)
   而r1(t−t0)=e1[(1−t)−t0]≠r2(t)r_1(t-t_0)=e_1[(1-t)-t_0] \neq r2(t) r1​(t−t0​)=e1​[(1−t)−t0​]​=r2(t)
   故系统为时变的
2. e1(t)⟶e1(2t)=r1(t)e_1(t)\longrightarrow e_1(2t)=r_1(t)e1​(t)⟶e1​(2t)=r1​(t)
   e2(t)=e1(t−t0)⟶e1[2(t−t0)]=r2(t)e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow e_1[2(t-t_0)]=r_2(t)e2​(t)=e1​(t−t0​)⟶e1​[2(t−t0​)]=r2​(t)
   而r1(t−t0)=e1[(2t)−t0]≠r2(t)r_1(t-t_0)=e_1[(2t)-t_0] \neq r_2(t)r1​(t−t0​)=e1​[(2t)−t0​]​=r2​(t)
   故系统为时变的
3. e1(t)⟶e12(t)=r1(t)e_1(t)\longrightarrow e_1^2(t)=r_1(t)e1​(t)⟶e12​(t)=r1​(t)
   e2(t)=e1(t−t0)⟶e12(t−t0)=r2(t)=r1(t−t0)e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow e_1^2(t-t_0)=r_2(t)=r_1(t-t_0)e2​(t)=e1​(t−t0​)⟶e12​(t−t0​)=r2​(t)=r1​(t−t0​)
   故系统为时不变的
4. e1(t)⟶∫−∞te1(τ)dτ=r1(t)e_1(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{t} e_1(\tau )d\tau=r_1(t)e1​(t)⟶∫−∞t​e1​(τ)dτ=r1​(t)
   e2(t)=e1(t−t0)⟶∫−∞t−t0e1(τ)dτ=r2(t)=r1(t−t0)e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow \int_{-\infty }^{t-t_0} e_1(\tau )d\tau=r_2(t)=r_1(t-t_0)e2​(t)=e1​(t−t0​)⟶∫−∞t−t0​​e1​(τ)dτ=r2​(t)=r1​(t−t0​)
   故系统为时不变的
5. e1(t)⟶∫−∞5te1(τ)dτ=r1(t)e_1(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{5t} e_1(\tau )d\tau=r_1(t)e1​(t)⟶∫−∞5t​e1​(τ)dτ=r1​(t)
   e2(t)=e1(t−t0)⟶∫−∞5(t−t0)e1(τ)dτ=r2(t)e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow \int_{-\infty }^{5(t-t_0)} e_1(\tau )d\tau=r_2(t)e2​(t)=e1​(t−t0​)⟶∫−∞5(t−t0​)​e1​(τ)dτ=r2​(t)
   而r1(t−t0)=∫−∞(5t)−t0e1(τ)dτ≠r2(t)r_1(t-t_0)=\int_{-\infty }^{(5t)-t_0} e_1(\tau )d\tau \neq r_2(t)r1​(t−t0​)=∫−∞(5t)−t0​​e1​(τ)dτ​=r2​(t)
   故系统为时变的

系统因果判断

1. 计算响应时，为用到未来的信号，为因果的
2. 计算响应时，为用到未来的信号，为因果的
3. 当t<12t<\frac{1}{2}t<21​时，t<1−tt<1-tt<1−t,用到未来信号，为非因果的
4. 当t>0t>0t>0时，t<2tt<2tt<2t,用到未来信号，非因果的
5. 计算响应时，为用到未来的信号，为因果的
6. 计算响应时，为用到未来的信号，为因果的
7. 当t>0t>0t>0时，t<5tt<5tt<5t，用到未来信号，为非因果的

总结

1. 判断系统线性时，分别求出激励为e1(t)e_1(t)e1​(t)和e2(t)e_2(t)e2​(t)对应的响应r1(t)r_1(t)r1​(t)和r2(t)r_2(t)r2​(t)，将激励为ae1(t)+be2(t)ae_1(t)+be_2(t)ae1​(t)+be2​(t)时对应的响应与ar1(t)+br2(t)ar_1(t)+br_2(t)ar1​(t)+br2​(t)进行比较，两者相等时系统为线性的，否则为非线性的。
2. 判断系统是否为时变的，分别求出激励为e1(t)e_1(t)e1​(t)和e2(t)=e1(t−t0)e_2(t)=e_1(t-t_0)e2​(t)=e1​(t−t0​)对应的响应r1(t)r_1(t)r1​(t)和r2(t)r_2(t)r2​(t)，将r2(t)r_2(t)r2​(t)与r1(t−t0)r_1(t-t_0)r1​(t−t0​)进行比较，当两者相等时系统为非时变的，否则为时变的。
   tip:在对激励进行延时计算r1(t−t0)r_1(t-t_0)r1​(t−t0​)时，需要将里面的全部参数看作t，在此基础上进行位移变化。
3. 判断系统是否为因果的，只需要看计算响应时是否由用到未来的激励信号，响应阶次大于激励阶次时为因果的，否则为非因果的。

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