1 前言

1.1 什么是arrangement

给定一组平面曲线C,arrangement 将平面细分成零维,一维,二维单元,称为顶点,边和面, Arrangements 在计算几何中无处不在并有广泛的应用。

C中的曲线可以彼此相交(一条曲线也可以是自相交的，也可以是由几个不相连的分支组成的)，而且不一定是x单调的*1。我们用如下两步构造一个C”集合，它是由内部成对不相交的x-单调子曲线组成的。首先，我们将C中的每条曲线分解为极大的x-单调子曲线(以及可能孤立的点)，得到集合C '，注意x-单调曲线不能是自交的。然后，我们将C '中的每条曲线分解为C '中不与任何其他曲线(或点)相交的最大连通子曲线。如果C的曲线包含孤立点，。集合C”也可能包含孤立的点。集合C”产生的arrangement 可以方便地嵌入成一个平面图（planar graph），其顶点与曲线端点或孤立点相关联，其边与子曲线相关联。显而易见：。这个图（graph）可以用双连接边表数据结构(DCEL)来表示。

1.2 什么是半边数据结构（DCEL）

DCEL数据结的主要思想是使用一对有向半边来表示每条边,由于每个半边是有向的，我们说它有一个源顶点(source)和一个目标顶点(target)。半边缘用于分离面，连接顶点(孤立的顶点除外，它是不连接的)。

如果顶点v是半边e的目标(target)，我们说v和e是相互关联的。关联到顶点v的半边形成一个围绕这个顶点顺时针方向的循环链表。

每个半边e存储一个指向其关联面(ncident face)(位于其左侧的面)的指针。此外，每一个半边之后都有另一个共享同一关联面的半边，使得该半边的目标顶点与下一个半边的源顶点相同。因此，半边在循环链表链接，并形成链，使链的所有边都关联同一面并沿其边界缠绕。我们称这样的链为边界的连接组件(简称CCB)。

沿面的边界以逆时针方向环绕的半边称为面的外CCB。我们暂时只考虑有界曲线的排列（arrangement ），以便在每一排列中都恰好存在一个无界面。无边界面没有外部边界。面的边界上的任何其他连接部件称为孔(或inner CCB)，并且可以表示为沿顺时针方向绕着它的半边环绕。注意，一个孔不一定对应于一个单一的面，因为它可能没有面积，或者它可能由几个连通面的组成。每一个面的内部都可能有几个洞(或者根本没有洞)。此外，每个面在其内部可能包含孤立的顶点。

图1. 一种内部不相交线段的排列，用一些表示线段的DCEL记录来表示。无界面f0有一个单独的连接组件，在它里面形成一个孔，这个孔由几个面组成。半边e从源顶点v1指向目标顶点v2，这条边，连同它的孪生边e '对应于一条线段，连接与v1和v2相关的点，并将面f1和f2分离。e的前驱 $e_{prex}$ 和后继 $e_{next}$ 是构成面f2外边界的链的一部分。面f1有一个更复杂的结构，因为它包含两个洞在它的内部:一个孔由两个相邻的面f3和f4组成，另一个孔由两条边组成。f1的内部也包含两个孤立的顶点u1和u2。

arrangement 的x-单调曲线嵌入一个称为参数空间的矩形二维区域。参数空间定义为X×Y，其中X和Y是端点在紧实直线上的开、半开或闭区间。令 $b_l$ , $b_r$ , $b_b$ ,和 $b_t$ 定义为X和Y的端点，我们通常将这些值称为参数空间边界的左、右、下和上边界。例如，如果参数空间是整个紧致平面，这是包当前支持的唯一选项，

本章的其余部分组织如下:在 The Main Arrangement Class 一节中，我们详细回顾了 Arrangement_2 类模板的接口，它是Arrangement包中的中心组件。在“Issuing Queries on an Arrangement ”一节中，我们展示了如何发出Arrangement上的查询。在Arrangement包中的Free Functions in the Arrangement Package 一节中，我们回顾了一些重要的对Arrangement进行操作的自由(全局)函数，其中最重要的是自由插入函数。节 Traits Classes 包含了Arrangement包中包含的各种几何特征类的详细描述。利用这些特征类，可以构造不同曲线族的排列。在 The Notification Mechanism一节中，我们将回顾允许外部类跟踪Arrangement实例所经历的更改的通知机制。Extending the DCEL一节解释了如何扩展DCEL记录，如何用它们存储额外的数据，以及如何有效地更新这些数据。在 Overlaying Arrangements一节中，我们介绍叠加两种Arrangement的基本操作。节 Storing the Curve History 描述了Arrangement_with_history_2类模板，它通过在其曲线中存储额外的历史记录来扩展排列。最后，在“ Input/Output Streams”一节中，我们将回顾输入/输出函数的安排。

2. The Main Arrangement Class

类 Arrangement_2<Traits,Dcel>是Arrangement包中的主类。它用于表示平面Arrangement，并提供了构建它们、遍历它们和维护它们所需的接口。Arrangement由几何特征类和DCEL类定义，几何特征类决定形成Arrangement的平面曲线族，DCEL类表示平面细分的拓扑结构。它提供了最少的几何操作集(谓词和构造)，用于构造和维护Arrangement并对其进行操作。

arrangement包的设计是根据需要将arrangement的表示和对其进行操作的各种几何算法分离开来的，以及将平面细分的拓扑和几何方面分离开来的。这种分离由 Arrangement_2模板的两个模板参数表现出来:

Traits模板参数应该用一个 ArrangementBasicTraits_2概念的模型和其他可选的几何特征概念来实例化。ArrangementBasicTraits_2概念的模型定义了x-单调曲线和二维点的类型，分别是X_monotone_curve_2 和 Point_2，并支持它们的基本几何谓词。在本章的第一节中，我们总是使用Arr_segment_traits_2 作为我们的traits类，来构造线段的Arrangement。然而，Arrangement包包含其他几个特征类，可以处理其他类型的曲线，如折线(连续的分段线性曲线)、二次曲线和有理函数的曲线。我们在Section Traits Classes.中举例说明了这些trait类的用法。
Dcel模板参数应该用一个类实例化，这个类是ArrangementDcel概念的一个模型。默认值为Arr_default_dcel<Traits>。然而，在许多应用程序中，有必要扩展DCEL特性;请参阅扩展DCEL小节以获得更多的解释和示例。

2.1 A Simple Program

下面列出的简单程序构造了一个由三条线段组成的三角形的平面map。arrangement 的构造是用Arr_segment_traits_2 traits类实例化的，只处理段（segment）。所得到的arrangement 包括两个面，一个有界三角形面和一个无界三角形面。

#include <CGAL/Cartesian.h>
#include <CGAL/MP_Float.h>
#include <CGAL/Quotient.h>
#include <CGAL/Arr_segment_traits_2.h>
#include <CGAL/Arrangement_2.h>
typedef CGAL::Quotient<CGAL::MP_Float> Number_type;
typedef CGAL::Cartesian<Number_type> Kernel;
typedef CGAL::Arr_segment_traits_2<Kernel> Traits_2;
typedef Traits_2::Point_2 Point_2;
typedef Traits_2::X_monotone_curve_2 Segment_2;
typedef CGAL::Arrangement_2<Traits_2> Arrangement_2;
int main()
{Arrangement_2 arr;Segment_2 cv[3];Point_2 p1 (0, 0), p2 (0, 4), p3 (4, 0);cv[0] = Segment_2 (p1, p2);cv[1] = Segment_2 (p2, p3);cv[2] = Segment_2 (p3, p1);CGAL::insert (arr, &cv[0], &cv[3]);return (0);
}

2.2 Traversing the Arrangement

最简单和最基本的arrangement 操作是各种遍历方法，它允许用户系统地查看手边的arrangement 的相关特性。如上所述，这种arrangement 被表示为一个DCEL，它存储了三个容器：顶点、半边和面。因此，Arrangement_2类为这些容器提供了迭代器。例如，vertices_begin()和vertices_end()方法返回的对象是arrange顶点有效范围内的Arrangement_2::Vertex_iterator对象，该迭代器的取值类型是 Arrangement_2::Vertex，此外，顶点迭代器类型等效于Arrangement_2::Vertex_handle，它用作指向顶点的指针。所有与arrangement 特性相关的函数都接受句柄类型作为输入参数，并返回句柄类型作为输出。

除了用于arrangement 顶点、半边和面的迭代器外，arrangement类还提供了edges_begin()和edges_end()，它们返回用于遍历arrangement 边的Arrangement_2::Edge_iterator对象。注意，该迭代器的值类型为arrangement::Halfedge，表示表示边的两个半边中的一个。

2.3 Arrangement顶点的遍历方法

一个顶点总是与一个几何实体相关联，即与一个Point_2对象相关联，这个对象可以通过嵌套在Arrangement_2中的vertex类的point()方法获得。方法is_isolated()的作用是:确定一个顶点是否是孤立点。incident_halfedges()方法返回一个类型为Arrangement_2:: Halfedge_around_vertex_circulator 的循环器，它允许沿顺时针方向遍历这个循环列表。这个循环器的值类型是halffedge。下面的函数打印给定arrangement 顶点的所有邻居(假设可以使用<<操作符将Point_2类型插入到标准输出中)。arrangement 类型与上面的简单示例相同。

void print_neighboring_vertices (Arrangement_2::Vertex_const_handle v)
{if (v->is_isolated()) {std::cout << "The vertex (" << v->point() << ") is isolated" << std::endl;return;}Arrangement_2::Halfedge_around_vertex_const_circulator first, curr;first = curr = v->incident_halfedges();std::cout << "The neighbors of the vertex (" << v->point() << ") are:";do {// Note that the current halfedge is directed from u to v:Arrangement_2::Vertex_const_handle u = curr->source();std::cout << " (" << u->point() << ")";} while (++curr != first);std::cout << std::endl;
}

未完待续。。。。。

注释：*1 如果每一条垂直线与平面曲线C最多相交一次，那么连续的平面曲线C是x单调的。

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