运输问题的单纯形解法

2024-04-21 18:57:02

文章目录

运输问题的单纯形解法
- 问题的抽象
- 问题求解
- - 1 寻找基础可行解
  - 2 计算单纯形乘子
  - 3 计算相对成本系数
  - 4 判断是否最优
  - 5 调整回路

运输问题的单纯形解法

问题:用一辆车运50批货，有3个仓库，各存有18，12，20，运到4个地方，他们各需要12，8，16，14，时间分别为：
50 30 90 50
60 80 40 10
90 70 100 20
做运输方案。

问题的抽象

设三个仓库分别为MiM_iMi，i=1,2,3i=1,2,3i=1,2,3
四个目的地分别为AjA_jAj，j=1,2,3,4j=1,2,3,4j=1,2,3,4
从仓库MiM_iMi运送到目的地AjA_jAj的单位成本（花费时间）为cijc_{ij}cij
则有：
∑i=13Mi=∑j=14Aj=50\sum_{i=1}^3 M_i=\sum_{j=1}^4 A_j=50i=1∑3Mi=j=1∑4Aj=50
需要求解的运输方案即：从仓库MiM_iMi运送到目的地AjA_jAj的货物数目，记它为xijx_{ij}xij
则问题等价于求解线性规划问题：
min∑i=13∑j=14cijxijs.t.∑i=13xij=Aj∑j=14xij=Mimin \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij} \\ s.t. ~~\sum_{i=1}^3 x_{ij}=A_j \\ \sum_{j=1}^4 x_{ij}=M_imini=1∑3j=1∑4cijxijs.t. i=1∑3xij=Ajj=1∑4xij=Mi

用表格表示如下：

	A1A_1A1	A2A_2A2	A3A_3A3	A4A_4A4
M1M_1M1	x11x_{11}x11	x12x_{12}x12	x13x_{13}x13	x14x_{14}x14
M2M_2M2	x21x_{21}x21	x22x_{22}x22	x23x_{23}x23	x24x_{24}x24
M3M_3M3	x31x_{31}x31	x32x_{32}x32	x33x_{33}x33	x34x_{34}x34

问题求解

寻找基础可行解
计算单纯形乘子
计算相对成本系数
若相对成本系数都非负，stop，得到最优解。否则，进行第5步
选择相对成本系数为负的非基变量进入基变量（通常挑选最小的相对成本系数对应的变量），计算调整回路，得到新解，返回第2步。

1 寻找基础可行解

方法：西北角法则。

从左上角开始
在不超过行和 或者 列和 的前提下，给这个单元格指定一个最大的数值。
如果这一行仍然有任意的剩余需求，考虑该单元格右边的单元格，否则就考虑这个单元格下方的单元格，如果此行此列都得到了满足，stop。否则回到第2步。

例

首先填写左上角x11x_{11}x11，行和为18，列和为12，则x11x_{11}x11最大为12

	12	8	16	14
18	12
12
20

第一列 列和 已经得到满足，第一行还没有，则考虑x11x_{11}x11右边单元格x12x_{12}x12，最大为6

	12	8	16	14
18	12	6
12
20

第一行 行和 已经得到满足，考虑第二列，考虑x12x_{12}x12下方单元格x22x_{22}x22，最大为2

	12	8	16	14
18	12	6
12		2
20

同上步骤

得到最终的基础可行解为：

	12	8	16	14
18	12	6
12		2	10
20			6	14

注：此表代表：x11=12,x12=6,x13=0,⋯x_{11}=12,x_{12}=6,x_{13}=0,\cdotsx11=12,x12=6,x13=0,⋯

2 计算单纯形乘子

首先写出成本矩阵：
C=[5030905060804010907010020]C= \left[ \begin{matrix} 50 & 30 & 90 & 50 \\ 60 & 80 & 40 &10 \\ 90 & 70&100 & 20\\ \end{matrix} \right] C=⎣⎡5060903080709040100501020⎦⎤
将基础可行解对应的数值圈出：

3 计算相对成本系数

4 判断是否最优

5 调整回路

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