排列组合中的八种球盒模型

一般的排列组合场景都可以抽象为「把球放入盒子」的问题。根据场景不同，球或盒子有以下性质：

球和球之间是否相同。
盒与盒之间是否相同。
放完之后，是否允许有空盒子。

组合以上性质，共有八种场景。

是否相同可以理解为是否考虑排列。比如，把六个球放入两个盒子里面，每个盒子各三个。

当球相同，盒相同时，显然只有一种方法(限制了每个盒子放三个)。

当球不同，盒相同时，显然有多种方法，比如：

当球不同，盒不同时，显然也有多种方法，比如：

当球相同，盒不同时，显然也只有一种方法(限制了每个盒子放三个)：

但是当一个盒子放四个，另一个盒子放两个时，有两种方案：

为了描述方便，我们设球的数量为 n ( n ≥ 1 n \ge 1 n≥1)，盒子的数量为 m ( m ≥ 1 m \ge 1 m≥1)。

情形一：球相同，盒相同，允许有空盒。

f ( n , m ) = { 1 , n ≤ 1 o r m = 1 f ( n , n ) ， n < m f ( n , m − 1 ) + f ( n − m , m ) , n ≥ m f(n,m) = \left\{ \begin{array}{l} 1&, n \le 1\ or\ m = 1 \\ f(n, n)&，n \lt m \\ f(n, m-1) + f(n-m,m)&, n \ge m \\ \end{array}\right. f(n,m)=⎩⎨⎧1f(n,n)f(n,m−1)+f(n−m,m),n≤1 or m=1，n<m,n≥m

当 n ≤ 1 o r m = 1 n \le 1\ or\ m = 1 n≤1 or m=1 时，这是递归的边界：「仅有一个球或没有球」或者「仅有一个盒子」，显然只有一种方法。

当 n < m n \lt m n<m 时，至少有 m − n m-n m−n 个盒子是空的，那就先把这些盒子丢弃吧。

当 n ≥ m n \ge m n≥m 时，有两种策略：

丢掉一个盒子(注意，这个盒子可能在之前的步骤放过球了)。
每个盒子放一个球。

情形二：球相同，盒相同，无空盒。

可以基于「情形一」推演出来。先向每个盒子放一个球，保证无空盒，然后就变成了情形一。因此有：
f ( n , m ) = { 0 , n < m f 情形一 ( n − m , m ) ， n ≥ m f(n,m) = \left\{ \begin{array}{l} 0&, n < m \\ f_{情形一}(n-m, m)&，n \ge m \\ \end{array}\right. f(n,m)={0f情形一(n−m,m),n<m，n≥m

情形三：球相同，盒不同，无空盒。

插板法： n n n 个球依次排成一行，有 n − 1 n-1 n−1 个缝隙。有 m − 1 m-1 m−1 个隔板，将球分成 m m m 份。相当于从 n − 1 n-1 n−1 个缝隙中挑选出 m − 1 m-1 m−1 个放置隔板。因此：
f ( n , m ) = C n − 1 m − 1 f(n,m) = C_{n-1}^{m-1} f(n,m)=Cn−1m−1

情形四：球相同，盒不同，允许有空盒。

等价于 n + m n+m n+m 个球放入 m m m 个盒子，不允许空。可以理解为：预先向 m m m 个盒子各放入了一个球。因此有：
f ( n , m ) = C n + m − 1 m − 1 f(n,m) = C_{n+m-1}^{m-1} f(n,m)=Cn+m−1m−1

情形五：球不同，盒相同，无空盒。

f ( n , m ) = { 0 , n < m 1 , n = m m ∗ f ( n − 1 , m ) + f ( n − 1 , m − 1 ) , n > m f(n,m) = \left\{ \begin{array}{l} 0&,n \lt m \\ 1&,n = m \\ m*f(n-1,m) + f(n-1, m-1)&, n \gt m \end{array}\right. f(n,m)=⎩⎨⎧01m∗f(n−1,m)+f(n−1,m−1),n<m,n=m,n>m

解释一下：

当 n < m n\lt m n<m 时，必然会有空盒子，因此为 0 0 0。
当 n = m n = m n=m 时，每个盒子只能放一个，且盒子相同，所以只有 1 1 1 中。
当 n > m n \gt m n>m 时：
- 如果前 n − 1 n-1 n−1 个球放入了 m m m 个盒子，则第 n n n 个球，有 m m m 种放法；
- 如果前 n − 1 n-1 n−1 个球放入了 m − 1 m-1 m−1 个盒子，则第 n n n 个球只能放入剩余的空盒，因此只有 1 1 1 种。
- 如果前 n − 1 n-1 n−1 个球放入了 m − 2 m-2 m−2 或更少的盒子，则第 n n n 个球无论咋放都会有空盒，因此为 0 0 0 种。

情形六：球不同，盒相同，允许有空盒。

将该问题拆分为 m m m 个子问题，每个子问题都变为了情形五。
f ( n , m ) = ∑ i = 1 m f 情形五 ( n , i ) f(n,m) = \sum_{i=1}^{m}{f_{情形五}(n,i)} f(n,m)=i=1∑mf情形五(n,i)

情形七：球不同，盒不同，允许有空盒。

一共 n n n 个球，每个球都有 m m m 种放法，总共有 n m n^m nm。

情形八：球不同，盒不同，无空盒。

基于情形五计算。情形五中盒子是相同的，因此只需再乘上盒子的排列即可。答案为：
f ( n , m ) = f 情形五 ( n , m ) ∗ m ! f(n,m) = f_{情形五}{(n,m)}*m! f(n,m)=f情形五(n,m)∗m!

参考文章

https://blog.csdn.net/qwb492859377/article/details/50654627