三道计算时间复杂度的题目

出处：算法第四版 Edition Sedgewick 著，问题 1.4.7

三道小题初看觉得很简单，但是仔细一分析，a、b小题里面的内循环操作次数是和外层的n、i值有关，并不是简单的操作N次，很久没有算过时间复杂度了，稍微感到有点棘手。

    public static void fa(int N) {int sum = 0;for (int n = N; n > 0; n /= 2) {for (int i = 0; i < n; i++) {sum++;}}System.out.println(sum);}public static void fb(int N) {int sum = 0;for (int i = 1; i < N; i *= 2) {for (int j = 0; j < i; j++) {sum++;}}System.out.println(sum);}public static void fc(int N) {int sum = 0;for (int i = 1; i < N; i *= 2) {for (int j = 0; j < N; j++) {sum++;}}System.out.println(sum);}

从直觉上来说a和b的操作次数是差不多的，但是实际代码运行两者差别很大

答案和做法

a小题

如果按照通常的方法，分析for有多少个，那么分析起来会很痛苦，外层循环是O(logN)O(logN)O(logN)的操作很容易看出来，但是第二个for，i和n是挂钩的，这个时候通常的方法就不起作用了。
换一种思路，先写一下sum++操作的运行次数
N N/2 N/4 ... 1 ，这实际上是一个等比为2的等比数列，我们把这个数列记为L，它的项数为n
注意到第n项等于1，而L的首项是N，那么1=N∗21−n1=N*2^{1-n}1=N∗21−n，得出n=log2(N)+1n=log_2(N)+1n=log2(N)+1

对L用等比公式求和，Sn=N∗1−(12)n1−12S_n=N*\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}Sn=N∗1−211−(21)n =N(2n−1)N(2^n-1)N(2n−1)，把n带入，化简即可得到2N−12N-12N−1

也就是说内循环的总操作次数是2N，那么它其实就是O(N)O(N)O(N)级别的算法

b小题

b小题其实和a小题很相似，只不过b的数列变为
1 2 4 … N，等比为2，同样是n项
n同样等于log2(N)+1log_2(N)+1log2(N)+1，因为2n−1=N2^{n-1}=N2n−1=N

而L的和 Sn=N∗1−2n1−2S_n=N*\frac{1-2^n}{1-2}Sn=N∗1−21−2n =N(2n−1)=2N−1N(2^n-1)=2N-1N(2n−1)=2N−1，
那么b也是O(N)O(N)O(N)级别的算法

c小题

c小题用常规的做法做即可，c是O(NlogN)O(NlogN)O(NlogN)级别的算法

解释一下a，b同为O(N)级别的算法，为什么它们实际操作次数却不一样，因为O(N)取的是近似值，剩余的较低次项都被忽略了，但是实际计算中低次项的次数同样很关键，因此a,b的执行次数会不一样

参考：
https://github.com/reneargento/algorithms-sedgewick-wayne/issues/9
https://math.stackexchange.com/questions/401937/how-is-nn-2n-4-1-equal-to-2n-1-using-the-formula-for-geometric-series
https://stackoverflow.com/questions/29966730/order-of-growth-of-as-function-of-n

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