如何理解复连通区域的格林公式

上面那个网图，我借用说明下。

首先声明一点：格林公式只对单连通区域生效。

但是如何求复连通区域的∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\iint_D(\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y})dxdy∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy ?

切割成两个单连通区域，然后对两个单连通区域分别使用格林公式。

∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∬D1(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy+∬D2(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮C1+C2Pdx+Qdy\iint_{D} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy= \iint_{D_1} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy +\iint_{D_2} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy = \oint_{C_1+C_2}Pdx+Qdy ∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∬D1(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy+∬D2(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮C1+C2Pdx+Qdy

因为红色部分抵消。加入只剩下内部的顺时针线l和外部的逆时针线L.

则复连通区域下格林公式为：
∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮L(Pdx+Qdy)−∮l(Pdx+Qdy)\iint_{D} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy= \oint_L(Pdx+Qdy) - \oint_l (Pdx+Qdy) ∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮L(Pdx+Qdy)−∮l(Pdx+Qdy)
其中L,lL,lL,l都是逆时针线。

那么如果理解同济七版p208的例题4.

那个题首先：

∂Q∂x=∂P∂y→∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=0\frac {\partial Q} {\partial x} = \frac {\partial P} {\partial y} \to \iint_{D} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy =0 ∂x∂Q=∂y∂P→∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=0

进而推出：

∮L(Pdx+Qdy)−∮l(Pdx+Qdy)=0→∮L(Pdx+Qdy)=∮l(Pdx+Qdy)\oint_L(Pdx+Qdy) - \oint_l (Pdx+Qdy) =0 \to \oint_L(Pdx+Qdy) = \oint_l (Pdx+Qdy) ∮L(Pdx+Qdy)−∮l(Pdx+Qdy)=0→∮L(Pdx+Qdy)=∮l(Pdx+Qdy)

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