【生存分析】参数模型 - 加速失效（AFT）模型

加速失效（AFT）模型

假设 T T T 为失效时间， x x x 为协变量，加速失效（accelerate failure time）模型的假设是，一个人的生存时间等于人群基准生存时间 * 这个人的加速因子，其数学形式如下：
T = t ∗ e θ ⋅ x , t = e μ + σ ∗ W T=t * e^{\theta \cdot x},\ t=e^{\mu + \sigma*W} T=t∗eθ⋅x, t=eμ+σ∗W
常见形式还包括：
S ( t ∣ x ) = S 0 ( t ∗ e θ ⋅ x ) S(t|x)=S_0(t*e^{\theta \cdot x}) S(t∣x)=S0(t∗eθ⋅x)
Y = l o g ( T ) = μ + γ ⋅ x + σ ∗ W Y=log(T)=\mu + \gamma \cdot x + \sigma * W Y=log(T)=μ+γ⋅x+σ∗W

其中人群的基准生存时间 t t t服从某个概率分布， W W W也是服从某个概率分布的随机变量。常见分布如下：

t t t	W W W
Weibull	极值分布
log-normal	正态
log-logistic	Logistic

从上面的数学形式可以看出，某个人的生存时间受基准生存时间和加速因子的影响的，而基准生存时间为研究中所有人共有，加速因子则与该人与研究目标相关的协变量相关。

所以，很显然，该模型需要估计的参数为与基准生存时间分布相关的参数 μ , σ \mu,\sigma μ,σ，以及和协变量相关的系数 θ \theta θ。

参数符号说明：

γ = − θ \gamma = -\theta γ=−θ
θ \theta θ 称作加速系数，而 γ \gamma γ 常常被称为回归系数

参数估计与推断

考虑只有右删失情况的数据 { ( T i , C i ) : i = 1 , 2 , . . . , n } \{ (T_i, C_i):i=1,2,...,n\} {(Ti,Ci):i=1,2,...,n}，其中 T i T_i Ti表示第 i i i个病人的存活时间， C i C_i Ci表示第 i i i个病人的生存状态。则由极大似然估计可得：
L = ∏ i = 1 n f i ( T i ) C i S i ( T i ) 1 − C i L=\prod_{i=1}^{n}{f_i(T_i)}^{C_i}{S_i(T_i)}^{1-C_i} L=i=1∏nfi(Ti)CiSi(Ti)1−Ci
其中， f i f_i fi函数表示第 i i i个病人死亡时间的概率密度函数， S i S_i Si函数表示第 i i i个病人生存函数，注意生存分析中 f ( t ) = − S ′ ( t ) f(t)=-S^{'}(t) f(t)=−S′(t)。

而基准生存时间 t t t的概率分布已知，且 T i = t ∗ e θ ⋅ x T_i=t*e^{\theta \cdot x} Ti=t∗eθ⋅x，所以我们很容易得到 f i f_i fi 与 S i S_i Si 的表达式，进而写出极大似然估计量 L L L。

然后通过优化算法估计参数，一般是最小化目标函数 − l o g ( L ) -log(L) −log(L)。

R中的用法

R中的survreg函数使用log转化拟合AFT模型：

survreg.fit = survreg(formula, data=, dist="weibull", ...)

其中

formula 是关于转化后的生存时间 I n ( T ) In(T) In(T)的表达式；
dist 是假设 T T T所服从的概率分类类型，包括”weibull”, ”exponential”, ”gaussian”, ”logistic”, ”lognormal” 和”loglogistic”.

拟合后的模型：

系数 μ , γ \mu,\gamma μ,γ：survreg.fit$coef；
方差矩阵：survreg.fit$var；
基准模型参数 μ , l o g σ \mu, log \sigma μ,logσ： survreg.fit$icoef；
模型诊断，残差分析：residuals(survreg.fit, type=)；

T服从Weibull分布

当死亡时间服从Weibull分布时，可以推导出如下内容：