一、理论基础

1、花朵授粉算法

请参考这里。

2、改进的花朵授粉算法

（1）基于反向学习的种群初始化

本文采用反向学习策略初始化花粉种群，在原花粉位置 X i j = L b i j + ( U b i j − L b i j ) × r a n d ( 0 , 1 ) X_i^j=Lb_i^j+(Ub_i^j-Lb_i^j)\times rand(0,1) Xij=Lbij+(Ubij−Lbij)×rand(0,1)和其对立花粉位置 O X i j = L b i j + U b i j − X i j OX_i^j=Lb_i^j+Ub_i^j-X_i^j OXij=Lbij+Ubij−Xij的 2 n 2n 2n个个体中选取适应度值最优的 n n n个花粉个体作为算法的初始种群，充分提取搜索空间的有用信息，保留更多的优良个体，为算法迭代更新奠定较好的基础，增加找到更高质量解的机率。
为说明反向学习初始化对种群多样性和种群质量的影响，图1(a)和图1(b)分别给出了IFPA求解Sphere函数时反向学习前后种群个体分布情况。其中，绿色圆圈代表花粉位置，红色圆点代表全局最优点。问题维度为3维，变量搜索空间为 [ − 100 , 100 ] [-100,100] [−100,100]，种群数为5。

(a) 随机初始化分布
(b) 反向学习分布图1 花粉初始化分布图

图1清楚地显示，反向学习使花粉个体探索了更多的位置，增加了种群多样性，反向学习后有更多的花粉接近全局最优点，提高了初始种群质量，为算法奠定了更好的迭代基础。

（2）逐维随机扰动的局部开发

本文为打破维间干扰问题，提出局部开发的逐维随机扰动策略，借鉴萤火虫算法相对荧光亮度公式 I = I 0 × e − γ r i , j I=I_0\times e^{-\gamma r_{i,j}} I=I0×e−γri,j，设计逐维随机相对继承程度 m m m和逐维随机相对受扰动程度 2 − m 2-m 2−m， m m m的公式表达为： m = k × e − ∣ 2 π L ( j ) ∣ (1) m=k\times e^{-|2\pi L(j)|}\tag{1} m=k×e−∣2πL(j)∣(1)其中， k k k为花粉配子的最大继承程度，与原花朵授粉算法保持一致取值为1，表示对上代花粉位置完全继承； 2 π 2\pi 2π是花粉粒子继承系数； ∣ L ( j ) ∣ |L( j)| ∣L(j)∣是花粉粒子在第 j j j维上的Lévy飞行距离。
由于每一维的Lévy飞行距离不同，使得花粉个体的每一维不同程度地继承上代信息，受到不同程度的扰动，解决了维间干扰问题，增加了种群多样性，在当代最优位置的牵引作用下，最终提出的第 j j j维的更新公式为： x n e w i , j t + 1 = m × x i , j t + ( 2 − m ) × ε ( g ∗ , j − x i , j t ) (2) xnew_{i,j}^{t+1}=m\times x_{i,j}^t+(2-m)\times\varepsilon(g_{*,j}-x_{i,j}^t)\tag{2} xnewi,jt+1=m×xi,jt+(2−m)×ε(g∗,j−xi,jt)(2)该更新方式不仅解决了维间干扰问题，而且使得算法不会错失Lévy飞行的良好机制，如果较大跳跃配合全局搜索执行，自然可以提升算法全局寻优能力，如果较大跳跃配合局部开发执行，就可以使花粉个体受到更大的扰动影响(Lévy飞行距离越长， 2 − m 2-m 2−m的值越大）。在迭代初期种群差异较大时，花粉个体能受到更大的扰动影响，遍历更大的范围，因此不管进行全局搜索还是局部搜索，都能保证算法初期花粉个体的跳跃能力，提高算法初期的迭代质量和全局寻优能力，有效解决算法易陷入局部最优的问题。
被更新的花粉个体如果更优，就接受它并将它作为下代更新的基础，否则就舍弃该更新解，保持之
前的迭代基础。局部开发的逐维随机扰动策略具体如图2所示。

图2 逐维随机扰动策略

（3）IFPA算法流程

IFPA优化流程如图3所示。

图3 IFPA流程图

二、数值实验与分析

将IFPA与FPA、PSO和BA进行对比，以文献[1]中表1的f1、f2、f3、f6(单峰函数/100维)、f10、f11、f12、f13(多峰函数/100维)为例，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为1000，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F1
IFPA：最差值: 7.122e-124, 最优值: 3.2436e-126, 平均值: 7.9334e-125, 标准差: 1.3782e-124
FPA：最差值: 2406.6852, 最优值: 802.2952, 平均值: 1378.0983, 标准差: 365.2696
PSO：最差值: 4476.977, 最优值: 2116.2016, 平均值: 3168.3097, 标准差: 674.94
BA：最差值: 273598.0898, 最优值: 164320.1154, 平均值: 245162.0614, 标准差: 22426.762
函数：F2
IFPA：最差值: 6.4045e-53, 最优值: 3.829e-54, 平均值: 2.3284e-53, 标准差: 1.3519e-53
FPA：最差值: 32.1118, 最优值: 19.8908, 平均值: 26.1115, 标准差: 3.0715
PSO：最差值: 39.4614, 最优值: 28.0278, 平均值: 32.9453, 标准差: 3.0777
BA：最差值: 93.6034, 最优值: 81.0963, 平均值: 89.7498, 标准差: 2.9488
函数：F3
IFPA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
FPA：最差值: 2399, 最优值: 803, 平均值: 1540.4333, 标准差: 357.9382
PSO：最差值: 7821, 最优值: 3230, 平均值: 4655.4667, 标准差: 1115.9652
BA：最差值: 295527, 最优值: 136323, 平均值: 246268.9, 标准差: 40221.2873
函数：F6
IFPA：最差值: 2.7836e-64, 最优值: 3.9036e-65, 平均值: 1.0279e-64, 标准差: 5.5534e-65
FPA：最差值: 32.9231, 最优值: 21.6976, 平均值: 27.3862, 标准差: 2.9475
PSO：最差值: 158.5132, 最优值: 56.1433, 平均值: 71.5735, 标准差: 18.2229
BA：最差值: 3.539311621185401e+35, 最优值: 13327094426292.14, 平均值: 1.179991827054246e+34, 标准差: 6.461827617977305e+34
函数：F10
IFPA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
FPA：最差值: 16.0066, 最优值: 6.0153, 平均值: 12.112, 标准差: 2.2884
PSO：最差值: 46.7969, 最优值: 20.2491, 平均值: 30.954, 标准差: 6.6282
BA：最差值: 2627.7552, 最优值: 1581.8446, 平均值: 2367.6073, 标准差: 183.4229
函数：F11
IFPA：最差值: 2.931e-14, 最优值: 2.2204e-14, 平均值: 2.3152e-14, 标准差: 2.4567e-15
FPA：最差值: 19.3268, 最优值: 11.7422, 平均值: 15.5977, 标准差: 2.2718
PSO：最差值: 13.4702, 最优值: 9.9699, 平均值: 11.3497, 标准差: 0.87818
BA：最差值: 19.9668, 最优值: 19.9648, 平均值: 19.9658, 标准差: 0.00049952
函数：F12
IFPA：最差值: 3.1306e-65, 最优值: 3.8976e-66, 平均值: 1.5012e-65, 标准差: 6.2511e-66
FPA：最差值: 58.362, 最优值: 30.7001, 平均值: 42.9229, 标准差: 7.8601
PSO：最差值: 61.0827, 最优值: 38.97, 平均值: 47.5868, 标准差: 5.604
BA：最差值: 97.8901, 最优值: 45.0267, 平均值: 72.8083, 标准差: 11.0739
函数：F13
IFPA：最差值: 1.1369e-13, 最优值: 0, 平均值: 1.5158e-14, 标准差: 3.9307e-14
FPA：最差值: 705.8955, 最优值: 616.5702, 平均值: 652.7033, 标准差: 22.1828
PSO：最差值: 553.7418, 最优值: 387.9361, 平均值: 458.1253, 标准差: 39.8597
BA：最差值: 856.654, 最优值: 510.4119, 平均值: 724.4586, 标准差: 85.3306

实验结果表明：IFPA的求解精度、收敛速度、鲁棒性、对不同类型测试函数的适应性等都明显优于FPA、PSO和BA。

三、参考文献

[1] 李煜, 郑娟, 刘景森. 大规模优化问题的改进花朵授粉算法[J]. 计算机科学与探索, 2020, 14(8): 1427-1440.

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