算法：欧几里得辗转相除法的原理

辗转相除法的原理

辗转相除法具体是谁提出的也难以考证，但是这个算法最早出现在古希腊数学家欧几里得的著作-----《几何原本》中，所以也都叫做欧几里得算法

辗转相除法：用a除以b（这里是a>b,当然，在程序编程中，求两个数的最大公约数，可以不限a和b的大小，a<b也就是多一次循环）得到结果q和余数r，再用除数b除以余数r 再得到一个余数，再用除数除以余数，…如此循环，直到余数为0，那么此时的除数就是最大公因数

例如：
求（较大数，较小数）的最大公因数

  大数➗小数 =  ... 余数 r1小数➗r1 = ...余数r2r1➗r2 = ...余数r3... ...直到  X➗Y = ...余数0此时Y就是最大公约数

辗转相除法能够成立基于以下定理：
Theorem1：gcd（m,n）= gcd（n,r）
也就是m（被除数），n（除数）的最大公约数，等于除数n和余数r的最大公约数。

当定理不好证明或者不是那么显而易见的话，就引入一些引理：

Lemma1：若整数i是m，n的公约数，那么i也是n和r的公约数。
Lemma2：若整数i是n，r的公约数，那么i也是m和n的公约数。

这两个引理很好想，看下面的式子

                 m ÷ n = q......r则              m = nq + r                    可得到引理2则             r = m - nq                  可得到引理1看到这里，就知道如果一个整数i能被m和n整除，那么这个整数i肯定能被r整除，（这句话也是更相减损术的原理），从而m和n的公约数集合就等于n和r 的公约数集合

但当时我还想到一个问题，就是为什么除下去，最后可以得到余数为0的情况呢，其实有了上述定理，再分析一下就知道：

  如此循环下去，因为每次的余数r肯定小于除数n那么相当于每次的被除数（变为上次的除数）变小，除数（变为上次的余数）也变小，而公因数的集合一直不变也就是被除数和除数越来越小，而二者所包含的公共公因数集合又不变，这样下去，除数总有一次会变为最大的公因数。

所以直到越来越小时，
当除数就等于最大公约数的时候，余数就变为0了

更相减损术（辗转相减法）

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它也适用于任何求最大公约数的场合。
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，原文是：

可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，
求其等也。以等数约之。

翻译就是：
（如果需要对分数进行约分，那么）可以折半的话，就折半（也就是用2来约分）。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。

更相减损术在课本中是：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。

而在算法中可以改进，不用进行约分2
也就是
求m，n的最大公因数
先比较m，n的大小
若m=n，则最大公因数就是m或者n

若m>n，则m-n=c，
再比较n和c的大小，再用大的数减去小的数，一直下去，直到结果为0，
也就是被减数和减数相等，则此时被减数或者减数就是最大公因数

若m<n，则n-m=c，
在比较m和c的大小，和上面一样。

原理
原理很简单：m和n的公因数也必定是，n和c或者m和c的公因数，和辗转相除法一样，被减数或者减数会一直减小，当两者相等的时候，此时就是最大公因数
与辗转相除法不同的是，辗转相除法是直到除数变为最大公因数，而更项相减术是被减数和减数都变为最大公因数，所以按道理，辗转相除法的效率更高。

算法实现

辗转相除法：

int gcd(int x, int y)    //x,y不论谁大谁小，但是需要是正数
{   int z = y;while(x%y!=0){z = x%y;x = y;y = z;   }return z;
}

这里如果x比y小，一边循环下来，x变成了y，y变成了x，所以不用要求x>y

更相减损术

int gcd(int a,int b)
{       while(a != b){if(a>b){a = a - b;}else {b = b - a;}}return a;
}

求最大公因数还有一些算法，但是效率很低
有一种是穷举法，还有一种是通过分解因子来求解，这一种效率更低

穷举法

int gcd(int x,int y)
{int i = 0;if(x>y)i=x;elsei=y;while(i){if(x%i == 0 && y%i==0) break; }return i;
}

求最小公倍数

公式

         m * n = 最大公因数 * 最小公倍数

很容易理解，

         （m   / 最大公因数） *  n =  最小公倍数
或者        m  * （n / 最大公因数）=  最小公倍数