一、子空间的概念

（需要说明的是并非原创，只是看到某博主记录的相关内容对我来说比较有意义所以就总结整理了一下，第一次发，也不知道这样的格式对不对，希望以后自己可以把学习到的以及自己领悟到的都记在这里。）

矩阵的四个基本子空间

1、零空间

矩阵A的零空间就Ax=0的解的集合。假设矩阵的秩为r，矩阵为m*n的矩阵，则零空间的维数为n-r。因为秩为r，则自由变量的个数为n-r，有几个自由变量，零空间就可以表示层几个特解的线性组合，也即是零空间的维数为自由变量的个数。

2、列空间

矩阵A的列空间就是矩阵A中各列的线性组合。假设矩阵的秩为r，矩阵为m*n的矩阵，则列空间可以表示为r个主元的线性组合，即零空间的维数为r。

3、行空间

在线性代数中，我们一般习惯将矩阵看出是一组列向量的组合，matlab中矩阵的存储是按列存储的(c中不是)。因此，我们可以将矩阵A进行转置后来讨论行空间和左零空间。假设转置后的矩阵为AT，则A的行空间就是AT的列空间，A的左零空间为AT的零空间。注意这里AT为n*m的矩阵。则此时行空间的维数为r。

4、左零空间

左零空间是ATx=0的解的集合。由于秩为r，则自由变量的个数为m-r，即左零空间的维数为m-r。

二、正交子空间

定义：两个子空间正交即两个子空间的任意两个向量正交
其中行空间与零空间正交，列空间与左零空间正交。

三、空间投影

1、二维投影

上图表示的是，向量b在向量a上的投影。显然有如下表达式：

其中，P为投影矩阵，由P的表达式可以看出，它具有如下性质：

投影矩阵性质说明（1）PT=P说明投影矩阵是一个对称阵。（2）P2=P即进行第二次投影时，还是回投影在第一次投影的地方。

2、三维投影

三维投影，就是将一个向量投影到一个平面上。同上面一样，假设是将b向量投影到平面上的p向量，则有表达式：

e是垂直与平面的向量。由于p向量在平面上，则p向量可以由该平面的2个线性无关向量(正如，在xy平面的任何向量都可以由x轴，y轴表示)表示：

由于e垂直平面，则e向量垂直与平面中的任意向量，则有：

将上式化简求得x：

又因为p=Ax，Pb=p，则得到投影矩阵为：
P=A(ATA)-1)AT
由P的表达式可以看出，它具有如下性质：

上面的投影矩阵是通式，当投影在一维情况时，A即为直线上的任意一个向量a,投影矩阵为：

与二维投影中得到的结论是一致的。
后续会把这个知识点应用到高光谱图像上，应用后会继续记录~

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