题面

Description

给你一个城市下水道网络图，你需要选出一些管道，使得在只使用这些管道的情况下，令整个网络联通，并且花费最小。

网络图可以看做是无向连通图，有nnn个节点和mmm条边，每条边连接uiu_iui和viv_ivi，选择的花费是wiw_iwi。

不巧的是，由于某些原因，现在市政局要求选定某条特定的边管道，你的任务是求出对于某一条边，在选择这条管道的前提下的最小花费。

Input

第111行包含两个整数nnn，mmm，表示点数和边数。

第222~m+1m+1m+1行每行三个整数uiu_iui，viv_ivi，wiw_iwi，表示有一条管道连接uiu_iui和viv_ivi，费用为wiw_iwi。

Output

输出m行，每行一个整数，表示选择第i条管道的前提下的最小花费。

管道按输入的顺序编号为111~mmm。

Sample Input

Sample Output

Hint

对于20%20\%20%的数据，n<=1000n<=1000n<=1000，m<=2000m<=2000m<=2000

对于另外20%20\%20%的数据，m<=n+10m<=n+10m<=n+10

对于100%100\%100%的数据，2<=ui,vi<=n<=1000002<=u_i,v_i<=n<=1000002<=ui,vi<=n<=100000，1<=m<=2000001<=m<=2000001<=m<=200000，wi<=231w_i<=2^{31}wi<=231

保证初始图连通。

题解

题目就是求包含某条边的最小生成树。

先把原图的最小生成树求出来。

枚举图上的每一条边，考虑选择这条管道的前提下的最小花费：

如果这条边就在最小生成树上，显然，最小花费就是最小生成树的边权和。
如果这条边不在最小生成树上，如下图中的边(5,6)(5,6)(5,6)：

显然如果我们加入了边(5,6)(5,6)(5,6)，就会构成一个环，这个环的一部分就是(5,6)(5,6)(5,6)，另一部分是在树上的555到666的路径，即5⟶3⟶4⟶65\longrightarrow3\longrightarrow4\longrightarrow65⟶3⟶4⟶6。

这样如果我们去掉环上的任意一条边，所有点还是联通的，且边权和比没去时更小。

又因为我们不能去掉边(5,6)(5,6)(5,6)，所以我们只能去掉原图的最小生成树上的555到666的路径的任意一边。

且为了保证去掉这条边后边权和最小，我们要去掉这条路径上边权最大的边。

这样两种情况都讨论完了，至于第二种情况的路径上边权最大值怎么维护，可以用树剖或者倍增。

代码如下:

#include<bits/stdc++.h>#define N 1000010
#define M 2000010
#define int long long
#define ll long longusing namespace std;struct edge
{int u,v,w,id;
}e[M];int n,m,fa[N];
int f[N][20],maxn[N][20],d[N];
int cnt,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],w[N<<1];
ll ans,Ans[N];
bool flag[N];inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^'0');ch=getchar();}return x*f;
}int find(int x)
{if(x==fa[x])return x;return fa[x]=find(fa[x]);
}inline bool cmp(edge a,edge b)
{return a.w<b.w;
}inline void adde(int u,int v,int wi)
{to[++cnt]=v;w[cnt]=wi;nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}void dfs(int u)
{for(int i=1;i<=18;i++)//倍增数组{f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];maxn[u][i]=max(maxn[u][i-1],maxn[f[u][i-1]][i-1]);}for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){if(to[i]!=f[u][0]){f[to[i]][0]=u;maxn[to[i]][0]=w[i];d[to[i]]=d[u]+1;dfs(to[i]);}}
}inline int LCA(int a,int b)//a->lca->b
{int maxx=0;if(d[a]<d[b])swap(a,b);for(int i=18;i>=0;i--)if(d[f[a][i]]>=d[b])  maxx=max(maxx,maxn[a][i]),a=f[a][i];if(a==b)return maxx;for(int i=18;i>=0;i--){if(f[a][i]!=f[b][i]){maxx=max(maxx,max(maxn[a][i],maxn[b][i]));a=f[a][i],b=f[b][i];}}maxx=max(maxx,max(maxn[a][0],maxn[b][0]));return maxx;
}signed main()
{n=read(),m=read();for(register int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;for(register int i=1;i<=m;i++){e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].w=read();e[i].id=i;}sort(e+1,e+m+1,cmp);for(register int i=1,num=0;i<=m;i++)//最小生成树{if(num==n-1)break;int a=find(e[i].u),b=find(e[i].v);if(a!=b){fa[a]=b;adde(e[i].u,e[i].v,e[i].w);adde(e[i].v,e[i].u,e[i].w);ans+=e[i].w;flag[i]=true;num++;}}d[1]=1;dfs(1);for(register int i=1;i<=m;i++){if(flag[i])//这条边在最小生成树{Ans[e[i].id]=ans;continue;}int maxx=LCA(e[i].u,e[i].v);//不在就求u、v路径上的边权最大值Ans[e[i].id]=ans-maxx+e[i].w;}for(register int i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",Ans[i]);return 0;
}

另，相似题：XSY2485，以及题解。

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