递归分治-大整数乘法

最近在学算法，想着不能只是学，要深刻领悟，需要记录，需要写代码，需要分析……所以就诞生了这篇博客。

问题描述：

设X和Y都是n位整数，计算它们的乘积XY。可以使用传统的数学计算方法，但是这样做计算步骤太多，效率较低。如果将每个一位数的乘法或加法看做一步运算，则这种方法需要进行O（n^2）步运算才能求出乘积XY。

方法一

基本计算步骤如下，如：56*78
第一步：6*8；
第二步：5*8；
第三步：6*7；
第四步：5*7；
第五步：以上4步的和加起来，得到最后的结果。
将以上的例子进行抽象，即可以这样表示：
将n位十进制（还包括其他进制，如二进制、八进制、十六进制等）整数X和Y都分为2段，每段的长为n/2位。即：
X=A∗10n2+BX={A*{10^{n\over2}}+B}
Y=C∗10n2+DY={C*{10^{n\over2}}+D}
这样XY的乘积就是
XY=(A∗10n2+B)∗（C∗10n2+D）=AC∗10n+（AD+BC）∗10n2+BDXY={(A*{10^{n\over2}}+B)}*{（C*{10^{n\over2}}+D）}=AC*10^n+（AD+BC）*{10^{n\over2}}+BD
由以上的等式我们可以看出，需要4次乘法，分别是：AC,AD,BC,BD,以及3次加法，还有3次移位操作。所有这些加法和移位公用O(n)步运算。设T（n）是2个n位整数相乘所需的运算总数，则有：

T(n) =

{O(1),4T(n2)+O(n),n =1 n>1

\begin{cases} O(1), & \text{$n$ =1} \\ 4T({n\over2})+O(n), & \text{ $n$>1} \end{cases}
然后，我们进行计算，得到该算法的时间复杂度为O(n^2),具体过程如下：

实现代码如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define MAX_LENGTH 10
void sqperateNum(int num, int seArray_num[]); //数据存储到数组中
int main()
{int i=0, j=0;int num1, num2;int sum = 0;int seArray_num1[MAX_LENGTH] = { -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1 }; //初始化数组int seArray_num2[MAX_LENGTH] = { -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1 }; printf("Please input two numbers:\n");scanf("%d%d", &num1, &num2);sqperateNum(num1, seArray_num1);sqperateNum(num2, seArray_num2);while (seArray_num1[i]!=-1){while (seArray_num2[j] != -1){sum += seArray_num1[i] * seArray_num2[j] * pow(10.0, (i + j));j++;}i++;j = 0;}printf("%d*%d=%d\n", num1, num2, sum);return 0;
}
//数据存储到数组中
void sqperateNum(int num, int seArray_num[])
{int k = 0;do{seArray_num[k] = num % 10;   num /= 10;    k++;} while (num%10!=0 ||(num/10 !=0));
}

方法二

然后我们对于该问题进行优化，要想改进该算法的复杂性，必须减少乘法的次数。我们对以上的表达式进行一个优化，得到如下的表达式：
XY=（A∗10n2+B）（C∗10n2+D）=AC∗10n+（AD+BC）∗10n2+BD=AC∗10n+((A−B)(D−C)+AC+BD)∗10n2+BDXY=（{A*{10^{n\over2}}+B}）（{C*{10^{n\over2}}+D}）=AC*{10^{n}}+（AD+BC）*{10^{n\over2}}+BD = AC*{10^{n}}+((A-B)(D-C)+AC+BD)*{10^{n\over2}}+BD
通过以上表达式变形，我们只需进行3次n/2位整数的乘法，6次加减法操作和2次移位。由此可得如下的表达式：
T(n) =

{O(1),3T(n2)+O(n),n =1 n>1

\begin{cases} O(1), & \text{$n$ =1} \\ 3T({n\over2})+O(n), & \text{ $n$>1} \end{cases}
再次进行计算，得到该算法的时间复杂度为O (nlog3)({n^{log3}}),相比于O (n2)({n^{2}})来说，这是一个很大的改进。

代码如下，这个代码是在别人的基础上改了一下，具体如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
int IntegerMultiply(int X, int Y, int N)
{int x = X;int y = Y;if ((0 == x) || (0 == y))return 0;if (1 == N){return x*y;}else{int XL = x / (int)pow(10., (int)N / 2);int XR = x - XL * (int)pow(10., N / 2);int YL = y / (int)pow(10., (int)N / 2);int YR = y - YL * (int)pow(10., N / 2);int XLYL = IntegerMultiply(XL, YL, N / 2);int XRYR = IntegerMultiply(XR, YR, N / 2);int XLYRXRYL = IntegerMultiply(XL - XR, YR - YL, N / 2) + XLYL + XRYR;return (XLYL * (int)pow(10., N) + XLYRXRYL * (int)pow(10., N / 2) + XRYR);}
}
int main()
{int x = 1234, y = 9876; int value = 0;value = IntegerMultiply(x, y, 4);printf("%ld*%ld=%ld", x,y,value);return 0;
}

综上所述，主要是掌握对算法复杂度的推导，以及实现相应的算法。在这里，不得不感叹数学家的厉害，只是一个小小的公式变换，就将复杂度大大降低了。请大数学家们收下我的膝盖，哈哈~

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