离散Laplace-Beltrami 算子

1、Laplace算子 $\Delta f$ 概念及在图像处理中的应用：

$\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x1^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial x2^2}+...+\frac{\partial^2 f}{\partial xn^2}$

$=\begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x1} \\ \frac{\partial }{\partial x2} \\ ... \\ \frac{\partial }{\partial xn} \end{bmatrix}$ $\cdot \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x1} \\\frac{\partial f}{\partial x2} \\ ... \\\frac{\partial f}{\partial xn} \end{bmatrix}=0$

在微分几何中，曲面被描述为场，而网格又是离散化的曲面，可以看成是包含了有限个点的离散场，网格上的每个点对其周围的邻居点都是有影响。拉普拉斯方程式 $\Delta f$ 是一个二阶偏微分方程，曲面的二阶微分描述了曲面的曲率，上述公式相当于寻找曲线的拐点（也就是连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。

拉普拉斯算子定义为梯度的散度。梯度衡量的是函数变化的趋势、方向，在三维空间中，每点都有指向不同方向的梯度向量，在极大值点处，该点的所有方向都是向内的；散度是标量，定义为某一点处的函数值与领域相比的大小关系（极值点的凹凸特征），描述沿区域内向量显示的聚/散表征，可以看做在此点处向内的箭头比较多还是向外的箭头比较多。

在灰度图像中，拉普拉斯算子就是x, y两个方向的二阶偏导数求和 (即 $\Delta f$ 有二维解)。左图为图像灰度的变化曲线，可以理解为灰度变化越陡的地方，就是图像边缘。对变化进行二次求导，在某点处一阶导为0，两端的二阶导相反，可以理解为变化最为陡峭的地方。

2、Laplace-Beltrami 算子(LBO,Laplace-Beltrami operator)是定义在黎曼流形上的微分算子，是Laplace算子在流形区域的推广，其在网格曲面上的离散形式在三维模型分析等应用中具有重要作用，本质上描述了空间中某点函数值与其邻域均值差异这一特征。这里以三角网格为例说明该算子。

流形是局部具有欧几里得空间性质的空间，是高维空间中曲线、曲面概念的拓广。我们可以在低维上直观理解这个概念，比如说三维空间中的一个曲面是一个二维流形，因为它的本质维度只有2，一个点在这个二维流形上移动只有两个方向的自由度。同理，三维空间或者二维空间中的曲线都是一维流形。

对一个流形M，如果给这个流形赋予合适的黎曼测度，即其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变，那么这个流形M就成为一个黎曼流形。

$\Delta fi=\sum_{j=1}^{n}\omega ij(fi-fj)$

也就是说，作用于函数݂上的离散 LBO 算子 $\Delta fi$ 由在vi处的取值由该顶点函数值݂fi与其他顶点函数值݂fj之差的线性组合表示，vj一般是vi的邻接点。

理想的 LBO 算子应当满足 4 个条件：

对称性—— $\omega ij=\omega ji$
局部性——当且仅当 vi 与 vj 相邻时 $\omega ij\neq 0$
线性——对平面上的线性函数有L(vi)=0
正权值——当 i≠j 时 $\omega ij>0$

实际上, 对于一个任意网格均满足上述4个条件的离散方法是不存在的。因此需要根据应用的需求进行取舍, 例如提出网格需要满足的限制条件, 或者有选择的不考虑其中某项性质。

2.1 Uniform Laplacian 均值拉普拉斯算子

$\omega ij$ 的取值为1或者是顶点vi的度的倒数

$\Delta fi=\sum_{j=1} (fi-fj)=\frac{1}{Ni}\sum_{j=1} (fi-fj)=0$

但是，均值拉普拉斯不满足线性条件，对连续拉普拉斯的逼近程度不是很好，因为它没有考虑曲面的几何性质，仅仅考虑了顶点之间的连接关系，它只适用于各三角形网格尺寸较接近的网格，过大或过小的三角形面片会使该算子对连续拉普拉斯的逼近误差扩大。

2.2 Cotangent Formula 余切拉普拉斯算子

$\int_{Ai}^{}\Delta fidA=\frac{1}{2}\sum_{j\varepsilon N(i)}^{}(cot \alpha ij+cot \beta ij)(fi-fj)$

$\Rightarrow \Delta fi=\frac{1}{2Ai}\sum_{j\varepsilon N(i)}^{}(cot \alpha ij+cot \beta ij)(fi-fj)$

在介绍这个公式的由来前，先介绍一下平均局部领域(Local Averaging Area)：

它被用来计算一个点的邻域（蓝色区域）的积分量，与离散算子的精度和稳定性密切相关，通常有Barycentric cell、Voronoi cell 及 MixedVoronoi cell三种计算方式，如下图所示

Barycentric cell：三角形的重心和三角形边的中点相连
Voronoi cell：三角形的外心和三角形的中点相连（对于钝角三角形可能会出现外心在外部）
Mixed Voronoi cell：在Voronoi cell的基础上，将钝角三角形的外心替换成钝角对边的中点

下面是余切拉普拉斯算子的推理：

由格林公式可知，某封闭曲面D的二重积分的值，等于围成该曲面的边界曲线L的积分的值，即

$\int_{Ai}^{}\Delta fidA=\int_{\partial Ai}^{}\triangledown fi\cdot nds$

即面积的积分转化为了对边界长度的积分，此时梯度在连续平面内为常量，与积分无关。

$\int_{\partial Ai}^{}\triangledown fi\cdot nds=\triangledown fi\int_{\partial Ai}^{} nds$

$\int_{\partial Ai}^{} nds$ 为平均局部领域每条边界的长度乘以他们的法向的和，该结果为向量ba在平面逆时针旋转90度（因为ab和另两条边界组成了三角形，每条边相当于绕平面旋转90度，那么长度是不会变的）。由于ab为 $\vec{XiXj}$ 和 $\vec{XiXk}$ 的中点，故向量ba为向量( $\vec{XiXj}$ - $\vec{XiXk}$ )/2，即 $\vec{Xj}-\vec{Xk}$

$\int_{\partial Ai}^{} nds=(a-b)^{\perp }=(\vec{Xj}-\vec{Xk})/2$

由重心坐标公式可以得出:

$\triangledown fi=(fj-fi)\frac{(Xi-Xk)^{\perp } }{2A_{i}}+(fk-fi)\frac{(Xj-Xi)^{\perp } }{2A_{i}}$

$\int_{\partial Ai}^{}\triangledown fi\cdot nds=(fj-fi)\frac{(Xi-Xk)^{\perp }*(Xj-Xk)^{\perp } }{4A_{i}}+(fk-fi)\frac{(Xj-Xi)^{\perp }*(Xj-Xk)^{\perp } }{4A_{i}}$

$(Xi-Xk)^{\perp }*(Xj-Xk)^{\perp }$ 等于两向量的模乘以 $cos\eta 2$ ，并且有以下结论：

$(Xi-Xk)^{\perp }*(Xj-Xk)^{\perp }=|Xi-Xk|*|Xj-Xk|*cos\eta 2$

$(Xj-Xi)^{\perp }*(Xj-Xk)^{\perp }=|Xj-Xi|*|Xj-Xk|*cos\eta 1$

$A_{i}=(sin\eta 1*|Xj-Xi|*|Xj-Xk|)/2=(sin\eta 2*|Xi-Xk|*|Xj-Xk|)/2$

由以上带入，推理得：

$\int_{\partial Ai}^{}\triangledown fi\cdot nds=\frac{1}{2}\sum_{j\varepsilon N(i)}^{}(cot \alpha ij+cot \beta ij)(fi-fj)$

又因为 $\Delta f$ 与A无关(A为点vi1-领域组成的平均局部领域)，可以提出：

$\int_{Ai}^{}\Delta fidA=\Delta fi\int_{Ai}^{} dA=\Delta fi*A$

故

$\Delta fi=\frac{1}{2A}\sum_{j\varepsilon N(i)}^{}(cot \alpha ij+cot \beta ij)(fi-fj)$

推理结束。

通过余切拉普拉斯算子得到平均曲率：余切拉普拉斯定义的微分坐标是一个位于顶点处的向量，其法向与顶点法向朝向一致，大小与顶点的平均曲率一致。也就是说，将余切拉普拉斯算子中的函数fi定义为vi的顶点坐标时，可得

$\Delta fi=\Delta f(v_{i}(x,y,z)))=-2H\cdot n$

因为平均曲率是正数，需要对上式取绝对值，则vi的离散平均曲率为：

$Hi=\frac{1}{4A}\sum_{j\varepsilon N(i)}^{}(cot \alpha ij+cot \beta ij)(fi-fj)\cdot n$

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