求出3到50w范围内所有的素数。

这类问题在C语言题目中经常会遇见。同样，大素数的研究对于密码学也起到了重要的作用。那么对于C语言的初学者，该如何编写程序计算素数呢？

1.

首先从素数的定义来看，“一个大于1的自然数，如果除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数”。除了一和他自身外，没有其他因数，那么最粗暴的算法就出来了：

遍历所有所有大于一，小于他自身的整数，如果没有数能整除他，他就是素数。

#include

#include

int

main(){

int i,j,a,b;

a=clock();

for(i=3;i<500000;i++){

for(j=2;j

if(i%j==0){

goto table;

}

}

table:;

}

b=clock();

printf("%d\n",b-a);

return 0;

}

上述代码就是实现了这个算法，当出现因数，直接跳到下一个数字。

经过测试，执行该代码的时间是33449ms。

明显对于一个求素数的算法来说，时间太长了。如果范围扩大到5000000，甚至50000000，耗费时间更是无法想象。那么如何去改进呢？

2.

让我们再从定义去看。“因数”，我们要寻找的是除了自身与1没有因数的数字。而除了自身的平方根，因数都是成对存在的。而且这些因数对，一定是一大一小(除平方根)。那么我们只要保留上面的遍历，但将遍历的最大值设为所有因数对较小值中的最大值就可以了。只要这个值不存在，就说明该数字不存在因数对。那么自然也就是素数了。

#include

#include

#include

int main(){

int i,j,a,b;

a=clock();

for(i=3;i<500000;i++){

for(j=2;j<=sqrt(i);j++){

if(i%j==0){

goto table;

}

}

table:;

}

b=clock();

printf("%d\n",b-a);

return 0;

}

因数对中的较小值的最大值，自然就是其自身的平方根了。在这之后的因数都能对应一个在这之前的因数。所以如果在这之前没有因数，那么在这之后也同样没有因数。

这可以说是个相当大的改进了，大大减少了遍历次数，程序执行时间为234ms。

3.

除了2以外，所有的素数都是奇数。那么我们就可以先将偶数排除，再来判定质数

#include

#include

#include

int main(){

int i,j,a,b;

a=clock();

for(i=3;i<500000;i++){

if(i%2==0) goto table;

for(j=3;j<=sqrt(i);j+=2){

if(i%j==0){

goto table;

}

}

table:;

}

b=clock();

printf("%d\n",b-a);

return 0;

}

因为先一步排除了偶数， 所以寻找因数便不必再遍历偶数因数。因为奇数的因数一定是奇数。

进一步的优化，现在程序执行时间仅有109ms。

4.

我们做数学题时，都知道平方根并不好算。同样对于计算机来说，平方根计算也会消耗大量时间。所以我们可以先一步计算平方根，以使其不用在每次比较时都去计算。

#include

#include

#include

int main(){

int i,j,a,b;

double sq;

a=clock();

for(i=3;i<500000;i++){

if(i%2==0) goto table;

sq=sqrt(i);

for(j=3;j<=sq;j+=2){

if(i%j==0){

goto table;

}

}

table:;

}

b=clock();

printf("%d\n",b-a);

return 0;

}

这样程序的执行时间又缩短了一倍，现在只有46ms了。

5.

不要以为数论就是一堆没用的理论知识。算术基本定理，现在是用上它的时候了。

任何一个大于1的自然数

N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。

那么我们只需要遍历素数因数就好了嘛。

至于能成为因数的0素数有哪些呢？

不要忘了我们是从小到大寻找的素数，现在可以用到前面的结果了。#include

#include

#include

int ar[300000];

int main(){

int i,j,k=0,a,b;

double sq;

a=clock();

for(i=3;i<500000;i++){

if(~i&1) goto table;

sq=sqrt(i);

for(j=0;ar[j]<=sq&&j

if(i%ar[j]==0){

goto table;

}

}

ar[k]=i;

k++;

table:;

}

b=clock();

printf("%d\n",b-a);

return 0;

}

把前面每一个素数放入一个数组，以此来寻找素数因数。

现在整个程序的执行时间只需要15ms了！

从最开始的3万3千毫秒，到现在的15毫秒，整整缩短了2200多倍。可见算法对于一个程序是多么重要。

最后再贴上一段程序，思考一下这一段与上一段有什么区别，以及为什么要这么做

#include

#include

#include

int

ar[300000];

int

main(){

int i,j,k=0,a,b;

double sq;

ar[0]=2;

a=clock();

for(i=3;i<5000000;i++){

if(~i&1) goto table;

sq=sqrt(i);

for(j=0;ar[j]<=sq;j++){

if(i%ar[j]==0){

goto table;

}

}

ar[k]=i;

k++;

table:;

}

b=clock();

printf("%d\n",b-a);

return 0;

}