参数化

参数化方法可大致分为四族：

Single patch, fixed boundary. parametrize a disk-like part of the surface given fixed 2D positions for its boundary. 简单，高校，但是参数化后的map有很大distortion
Single patch, free boundary. 减少了map distortion，但是可能出现self-intersection
Global parametrization. 对任意亏格的网格均适用。初始的时候把网格切为多个patches，然后分别参数化。生成的maps在切边是不连续的（切边也称为seams，缝）
Global seamless parametrization. 使得参数化结果”continuous“

Harmonic Parametrization

调和参数化是一种single patch，fixed boundary的算法。

算法步骤如下：

检测boundary vertices
把boundary vertices映射到一个圆上
计算两个harmonic functions（uv坐标）。调和函数使用固定在圆上的顶点作为边界约束

libigl实现

Eigen::VectorXi bnd;
igl::boundary_loop(V, F, bnd);Eigen::MatrixXd bnd_uv;
igl::map_vertices_to_circal(V, bnd, bnd_uv);igl::harmonic(V, F, bnd, bnd_uv, 1, V_uv);

bnd是边界顶点的序列号，bnd_uv是他们在UV平面上的位置，1表示我们使用harmonic function计算（2表示biharmonic，3表示triharmonic等等）

UV参数化结果可以展示为：

viewer.data().set_uv(V_uv);

LSCM (Least Squares Conformal Maps)

LSCM参数化是最小化conformal (angular) 失真，LSCM不需要固定边界。

LSCM最小化如下能量：
$ELSCM(u,v)=∫X12∣∇u⊥−∇v∣2dAE_{LSCM}(u,v)=\int_{X}\frac{1}{2}|\nabla u^{\perp }-\nabla v|^2dA$
写成矩阵形式：
$ELSCM(u,v)=12[u,v]t(Lc−2A)[u,v]E_{LSCM}(u,v)=\frac{1}{2}[u,v]^t(L_{c}-2A)[u,v]$
这里 $L_c$ 是余切Laplacian矩阵；A是面积变换矩阵， $u,v]^tA[u,v]$ 和网格的vector area相等。

libigl首先使用igl::cotmatrix计算余切矩阵

SparseMatrix<double> L;
igl::cotmatrix(V, F, L);

因为我们想同时对u和v坐标使用Laplacian matrix，把它扩展一下：

SparseMatrix<double> L_flat;
igl::repdiag(L, 2, L_flat);

面积矩阵A计算如下：

SparseMatrix<double> A;
igl::vector_area_matrix(F, A);

最终能量矩阵是 $L_{flat}-2A$

ARAP (As-rigid-as-possible)

ARAP是single patch，free boundary方法。尽可能保留距离。每个三角形在映射到平面上时尽可能保留它的原始外形，顶多发生rigid rotation

首先，利用harmonic参数化计算ARAP的初始解

Eigen::VectorXi bnd;
igl::boundary_loop(F, bnd);
Eigen::MatrixXd bnd_uv;
igl::map_vertices_to_circle(V, bnd, bnd_uv);igl::harmonic(V, F, bnd, bnd_uv, 1, initial_guess);

然后，初始化ARAP

igl::ARAPData arap_data;
arap_data.with_dynamics = true;
Eigen::VectorXi b = Eigen::VectorXi::Zero(0);
Eigen::MatrixXd bc = Eigen::MatrixXd::Zero(0, 0);arap_data.max_iter = 100;
arap_precomputation(V, F, 2, b, arap_data);

接着，求解优化

V_uv = initial_guess;
arap_solve(bc, arap_data, V_uv);

N-rotationally Symmetric Tangent Fields

Tangent fields 这个东西是用来design guidance fields，为uniform quadrilateral 和 hexahedral remeshing服务的。Libigl提供了一些N-RoSy fields 的算法，

在libigl里，tangent unit-length vector fields 是piece-wise constant的，对三角网格的每个面片而言。每个面片上用一个或多个vectors描述。

函数igl::nrosy(V,F,b,bc,b_soft,b_soft_weight,bc_soft,N,0.5,output_field,output_singularities)创建了一个光滑的单位长度向量场（N=1)，从一个sparse set of constrained faces开始，faces的indices是b，它们的约束值定义在bc里。函数支持软约束，返回插值的场，还有场的奇异值。

所谓奇异值，是指场vanished的顶点。igl::nrosy还能生成N-RoSy场，这是向量场的一种泛化，对每个面，向量取决去一个旋转常量 $2π/N2\pi/N$ 。不同的N值，奇异值的样式和位置都不一样。

Global, Semless Integer-grid Parametrization

全局的，无缝的参数化，目标是把一个复杂形状参数化，使其和一个给定的set of directions对齐。目的是做surface remeshing。

Libigl提供了mixed integer quadrangulation paper的求解过程：

设计一个4-RoSy场（也叫cross field），描述了remeshing所需要对齐的边。这个场的约束通常是人工设置或者通过主曲率方向提取的。
Combing and cutting。给定cross field后，需要把表面剪开，使其与圆盘拓扑同胚。这个可以直接在cross-field上做，也可以在它的bisector field（把cross-field旋转45度）上做。因为在后者上做更加stable和generic。因此我们首先旋转cross field，然后通过给每个面指定u和v方向，移除掉歧义的rotation。这个指定使用广度优先搜索，从任意一个face开始。这个过程类似梳毛，在某些点，无法一致性地区把整个表面捋顺，这些不连续边就定义了cut graph。最后，我们把combed filed旋转45度，恢复初始的角度。combed cross field可以认为是一个理想的Jacobian。
Poisson参数化。网格沿着上述找到的缝切开，参数化通过计算试图找到两个标量函数，使其梯度和combed cross field匹配。 $E(u,v)=∣∇u−Xu∣2+∣∇v−Xv∣2E(u,v)=|\nabla u-X_u|^2+|\nabla v-X_v|^2$ 。通过求解这个能量最小化问题，得到一个参数化表示，其中u和v等值线和输入的cross field是对齐的。我们通过增加interger constraints来对齐缝的两边。

这种参数化方法只能用于remeshing，因为它包含了很多overlaps

Anisotropic Remeshing

各项异的remeshing和非统一的quad remeshing对于concentrate the elements in the regions with more details十分重要。可以通过扩展MIQ quad meshing framework，使用一个mesh deformation方法来生成各项异的quad meshed。

输入是一个sparse set of constraints，定义了shape和所需的quads的scale。这个可以被编码成一个frame field（一对non-orthogonal和non-unit length vectors）。这个frame field可以通过分解成一个4-RoSy场和一个unique affine transformation来插值。这两部分可以分别插值。对cross field，使用igl::nrosy，对affine part使用harmonic interpolant。

插值后，表面被warp，each frame被变形为一个正交的和单位长度的cross（移除了尺度和skewness from the frame）。这个变形定义了一个新的表面嵌入（embedding，同时一个新的metric）。

变形后的表面可以使用MIQ算法做各项异的remeshing。变形后的表面的uv坐标可以用来把参数化传递到原始表面。

Planarizatoin

一个quad mesh可以变形到一个平面quad mesh，使用Shape-Up方法。这是一种local/global方法，global step确保surface continuity，local step确保planarity。

igl::planarize

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