1.前言

最近在做轨迹规划控制，没错，是控制，导师让新加到毕设上的。搞了一周，今天总算是出来了，这里写一下总结一下雅可比矩阵的求解和控制的思路（控制算法不再赘述，太基础了）。

本文以末端关节坐标系为工具坐标系，即工具大小为0，如果有工具大小要求，则直接修改即可，不再赘述

2.基于向量积法的雅可比矩阵求解

这个方法网上资料、文献已经讲烂了，对于六关节机械臂，其雅可比矩阵的第n列可表示为

$J_n=\begin{matrix} Z_n\times ^nP^0_6\\ Z_n \end{matrix}$

其中， $Z_n$ 表示第n个（n=1,2,...,6，后文同）关节坐标系的Z轴旋转分量，也就是第n个坐标系相对于基坐标的旋转矩阵R的第3列，或者是第n个坐标系相对于基座标系的齐次变换矩阵（4X4）的第3列，前3行。

$^nP_6^0$ 为末端关节（工具）坐标系的原点相对于第n个关节坐标系的位置向量，将其通过旋转矩阵转为在基座标系0中表示，即

$^nP_6^0=^0R_n\cdot ^nP_6$ ，其中， $^nP_6$ 为从第6坐标系原点到n坐标系原点的位置向量在n坐标系中的表示，即从n坐标系到6坐标系的齐次变换矩阵的第四列，前3行。

至此，便可将雅可比矩阵每一列求出，最后组合在一起即可。

3.在轨迹规划控制中的应用

本小节只写思路，如果需要代码，可以私信联系我。

$\dot{x}=J\dot{\theta}$

将 $\dot{\theta}$ 看作控制量u，即可按照一般的非线性系统的控制器设计方法进行控制器设计，使末端速度 $\dot{x}$ 或者积分后求得的位移x能够跟踪上给定的信号。注意， $\dot{x}$ 为行数为6的列向量，即分为：x方向线速度、y方向线速度、z方向线速度、x轴角速度、y轴角速度、z轴角速度。

给定信号也就是机械臂末端执行器在笛卡尔空间中的速度轨迹、位置轨迹……可以通过梯形速度规划、S型速度规划等笛卡尔空间轨迹规划方法得到末端执行器的速度轨迹，求出其x.y.z方向分量即可作为控制的参考轨迹。

因为雅可比J也是一个关于角度θ的函数，所以每当我们求出一个 $\dot{\theta}$ 值后，需要将其迭代到角度上，注意采样时间间隔，我之前就是没注意这个，一直调不出来。

$\theta_{n+1}=\theta _n+\dot{\theta}\cdot \delta T$

4.Matlab代码

因为还在做毕业设计期间，代码就不贴出来了，可以CSDN上私信我。

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