灰色关联度分析法(GRA)

灰色系统理论及其应用系列博文：
一、灰色关联度分析法(GRA)_python
二、灰色预测模型GM(1,1)
三、灰色预测模型GM(1,n)
四、灰色预测算法改进1—背景值Z
五、灰色预测改进2—三角残差拟合

文章目录

定义
算法
标准
结论
例子

参考博客： GRA

定义

“灰色系统理论是由著名学者邓聚龙教授首创的一种系统科学理论(Grey Theory)，其中的灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度,来判断因素之间关联程度的方法。此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近,与参考数列的关系越紧密。

灰色关联度分析，是一种多因素统计分析的方法。简单来讲，就是在一个灰色系统中，我们想要了解其中某个我们所关注的某个项目受其他的因素影响的相对强弱，再直白一点，就是说：我们假设以及知道某一个指标可能是与其他的某几个因素相关的，那么我们想知道这个指标与其他哪个因素相对来说更有关系，而哪个因素相对关系弱一点，依次类推，把这些因素排个序，得到一个分析结果，我们就可以知道我们关注的这个指标，与因素中的哪些更相关。

算法

灰色关联度分析属于灰色系统的应用范畴分支，相比于常用的相关性分析法，其优势在于对分析样本的规律性与数量要求不高，适应性更为广泛。其思想是根据灰色关联度的大小来判断各影响因素与电力负荷特性的密切程度，从而确定哪些属于主要影响因素，哪些属于次要影响因素，避免预测时过多考虑次要影响因素而降低预测效率。总体分析流程如下：

（1）选择历史数据作为原始数据序列 X ，代表分析指标体系，如公式（2-1）所示，其中m为电力负荷特性及其影响因素的特征数量， n 为样本数量。

（2）为消除原始数据因单位不同而可能造成的干扰与误差，对原始数据序列根据公式（2-2）进行无量纲化处理，计算初值象序列 XIXIXI 如式（2-3）所示，其中XIij(i=1,2,..,n;j=1,2,...,m)XI_{ij}(i=1,2,..,n;j=1,2,...,m)XIij(i=1,2,..,n;j=1,2,...,m)为第 j 个指标的第i 个初值象。

注意：经过实验发现不同的归一化方式会造成不同的结果，现在主流一般为均值归一化和除首行归一化。
但最近我遇到的一组数据分布比较离散（方差大），用均值归一化和除首行归一化后，数据量纲依然会比较大，因此采用min-MAX归一化。

(3）根据公式（2-4）求差值序列∆，计算差值序列如式（2-5）所示，并求得最大差 M∆M_{∆}M∆与最小差 m∆m_{∆}m∆分别如式（2-6）、（2-7）所示。

（4）根据公式（2-8）计算关联度系数序列ξ\xiξ ，其中ρ∈(0,1)\rho \in(0,1)ρ∈(0,1)，此处取为0.5。

（5）利用关联度系数根据公式（2-9）计算关联度γ\gammaγ，其中γ>0\gamma>0γ>0。

（6）根据关联度大小排列顺序，判断主要影响因素与次要影响因素。
（7）影响因素分析效果检验，包括确定指标体系时的数据检验、计算过程中公式及数据的检验、最终分析结果的检验。

标准

H为关联度

结论

GRA算法本质上来讲就是提供了一种度量两个向量之间距离的方法，以数学角度要言之，该算法即度量已归一化的子向量与母向量的每一维度的l1-norm距离的倒数之和，并将其映射到0～1区间内，作为子母向量的关联性之度量的一种策略。

例子

本节采用江苏省无锡市锡北镇的实际数据[59]，以年最大负荷x0x_0x0为要预测的电力负荷特性，以常住人口x1x_1x1 、人均收入x2x_2x2 、GDPx3x_3x3 、农业总产值x4x_4x4、工业总产值x5x_5x5 、第三产业产值x6x_6x6、年平均温度x7x_7x7 、年降水量x8x_8x8、年售电量x9x_9x9为影响因素，用GRA分析各影响因素对负荷的影响程度。

注：母序列为最大负荷放在第一列，特征放在后面几列

 最大负荷,常住人口,人均收入,GDP,农业总值,工业总值,第三产业产值,年平均温度,年降水,年售电量21.2,6.8,3752,2.21,2.4,11.5,21,15.9,998.5,0.922.7,7,3897,2.78,2.43,11.8,22,15.6,995.2,0.9824.36,7.15,4058,3.05,2.67,12.14,22.7,16.4,1002.6,1.126.22,7.28,4237,3.82,1.85,12.2,23,17.1,1237,1.2328.18,7.42,4552,4.34,2.36,13,24.4,16.1,1170,1.3630.16,7.55,4998,5.86,2.88,13.6,25.4,16.6,1001.3,1.4986.6,10.23,22760,84.94,31,72,73,16.2,1232.5,5.41

代码

import pandas as pddata = pd.read_csv("data.csv")# 原始数据序列
X = data.values# 无量纲化处理
X = X / X[0, :]# 求差值序列
X = abs((X - X[:, 0].reshape(len(X), 1))[:, 1:])M_delata = X.max()
m_delta = X.min()rho = 0.5# 求关联系数xiXi = (m_delta + rho * M_delata) / (X + rho * M_delata)
gamma = Xi.mean(axis=0)

无量纲化

极差
关联系数矩阵ξ\xiξ
最终关联系数γ\gammaγ

灰色关联度排序，x6>x2>x9>...>x3x_6>x_2>x_9>...>x_3x6>x2>x9>...>x3，根据该值大小，可以看出x6x_6x6和负荷关联度最大，x3x_3x3关联最小。

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