公司U07 随机变量视角下的NPV估值 教材笔记
这个系列是对罗斯《公司理财》教材的笔记汇总，参考了CPA《财务成本管理》教材和茆诗松《概率论与数理统计》。备考金融硕士431专业课时写下公司理财和投资学的教材、习题共4个系列笔记，对教材疑难点运用数理知识逐个讲解，希望能帮到各位同学。
公司理财第二大部分是估值和资本预算，最难点有二：一是结合NPV理论和MM定理，对项目和公司估值；二是处理实物期权和估值问题。究其根本，是对数学的离散随机变量，以及经济学的收益、成本函数的深度运用。
其中第二部分，“实物期权”，包含三个单元：U7，是随机变量视角下的NPV估值；U22，是期权视角下的项目估值；U23，是期权视角下的公司估值。本文为U7正文笔记，习题笔记参考习题系列。
格式说明：黑色为正文，含答案和步骤。蓝色的是数学注释，橙色带双斜//的是专业课注释，学过C++的都非常熟悉。灰色带删除线的代表我自己一刷的时候的错误答案及错因解读，供参考。
一、敏感度分析：考虑多维随机变量分布下的NPV计算
每次控制一个变量，NPV的概率密度分布都会改变。方差不变，均值发生较大变动。
列表如下：
CPA教材比罗斯的书讲得更清楚。有两种应对多维随机变量的分析思路：
第一，压力测试，学名最小最大值法。是对IRR法的推广。
令NPV=0，解出项目不具有投资价值的营业现金流入、营业现金流出。
最终选择取决于能否在经营中实现S≥Smin且C≤Cmax。
数学上，需要营收、费用等随机变量的情形，如果各自的概率分布体现出较大风险，需要慎重考虑。
第二，反复运用连环替代法，就是CPA教材的敏感程度法。实质是找出对NPV估值影响最大的变量，比多元微积分简单。
和经济学的弹性一致，敏感系数=(△NPV/NPV)/(△控制变量/控制变量)。罗斯其实用的就是敏感系数法，所以才判断对太阳能飞机项目，营收比费用对NPV的影响更大。
需要注意的是，公司理财基本都是线性函数，所以上面的表格是多余的。随便选一个+10%，得出结论和其他几列完全一致。
二、盈亏平衡分析
这里罗斯的书讲的很乱，会计术语也和CPA不一致，全部用CPA教材内容替代。
（一）关于项目NPV的算法
1.现金流
CPA建表时，都按照建设期、经营期和寿命期末计算现金流量。在经营期，考虑税法规定，
直接法：营业现金毛流量 = 税前营业收入 - 税前付现营业费用 - 所得税
间接法：营业现金毛流量 = 税后经营净利润 + 折旧 = （营业收入 - 营业费用）*(1-tc) +折旧
//推导：付现营业费用 = 营业费用 - 折旧，因为折旧不是实际现金流出；费用记减号
营业现金毛流量 = 税前营业收入 - 税前营业费用 + 折旧 - 所得税 = 税前经营利润 - 所得税 + 折旧 = 税后经营利润 + 折旧
//提示：税前经营利润 = 息税前利润，分别对应管理和经典财报系统，都只考虑经营不考虑折旧
//在本量利模型下，营业现金毛流量 = EBIT * (1 - tc) + 折旧，这才是罗斯书上的版本。罗斯的问题是，没有区分经典利润表和管理用利润表。
所得税法：营业现金毛流量 = (营业收入 - 付现营业费用) * (1 - tc) + 折旧 * tc
//可以从间接法推导。理解的关键，是付现营业费用和营业费用不同。
//营业费用 = 付现营业费用 + 折旧，经营利润千万不要考虑折旧。
营业现金毛流量 = 税后经营净利润 + 折旧 = (税前营业收入 - 税前营业费用) *（1 - tc) + 折旧
= (税前营业收入 - 税前付现营业费用 - 折旧) *（1 - tc) + 折旧
2.折现率
一般用WACC直接折现。无论是从加权平均的定义，还是从含税MM定理来看，WACC都已经反映了公司的资本结构。算法有两种：
经营风险相同：用公司WACC
经营风险不同：用可比公司法算WACC。要先卸掉可比公司杠杆，再加上目标公司杠杆算出Rs，再加权算出WACC。
3.考虑项目和公司资本结构时的算法
//补充MM定理。特别是P大考过纯债务项目融资，实际上是把资本结构里面的S当成无穷小量处理，需要求极限。当然，现实世界不会有这种融资方式，仅仅是考题而已。
由定义，WACC=(B/V) * Rb * (1 - tc) + (S/V) * Rs
通常Rs用CAPM算，但也可以由含税MM定理第二命题，Rs = Ro + (B/S) * (R0 - Rb) * (1 - tc)
（二）关于平衡点的算法
//本量利Cost-Volume-Profit analysis，盈亏临界点Break-Even Point
基本公式是资本结构部分的本量利方程式：
EBIT = Q*(P-V)-F=Q*UCM-F=S*CMR-F
推导出：
保本量Qbe=F/(P-V)=F/UCM
保本额Sbe=F/CMR
可拓展出EBIT的安全边际定义式，充分说明只有安全边际的边际贡献才能为公司带来利润。
盈亏临界点作业率=Sbe/E(S)
预计销售量=保本量（盈亏临界点）+安全边际 //量或销售额等效
安全边际率=(预计销售量-保本量)/预计销售量 //量或销售额等效
EBIT=S*CMR-Sbe*CMR=(S-Sbe)*CMR=安全边际额*边际贡献率=安全边际量*单位边际贡献
//提高EBIT，必须提高安全边际率（降低盈亏临界点作业率），提高边际贡献率（降低变动成本率）
如果保利，公式也是在EBIT初始定义上演化。
EBIT = Q*(P-V)-F
则保利量为Q=(EBIT+F)/(P-V)
含税条件下，Q=[F+EBIT/(1-tc)]/(P-V)
保利额=保利量*单价
（三）如何看懂罗斯的教材
1.OCF与营业现金毛流量
OCF=营业现金毛流量，NI=税后经营净利润（考虑费用而非付现费用）
罗斯第六章的定义，是基于经典利润表推导的：
OCF=Sales-Cash costs-Taxes //自上而下，对应直接法，算出营业现金毛流量
=Net income + Depreciation=(Sales - Cash costs -Depreciation)*(1-tc) + Depreciation //自下而上，从税后经营净利润开始加回折旧
=(Sales - Cash costs)*(1-tc) + Depreciation*tc //与CPA第三种方法对应
2.需要区分：EBIT和NI
罗斯的公式是：
净利润 =收入-变动成本-固定成本-折旧-税收=营业收入-营业费用-税收=EBIT(1-tc)-折旧
对比：税前经营利润=息税前利润=收入-变动成本-固定成本
净利润+折旧=营业现金毛流量=OCF=EBIT*(1-tc)
举例：第三行：
先算商业数据：EBITDA=收入-变动成本-固定成本=1209 //三种理解：经济学收益函数，考虑营业费用的税前经营利润，经典利润表的息税前利润
再算经典财报：净利润=(EBITDA-折旧)-所得税=1209-300-309=600 //折旧当成成本
//书上的309是怎么来的？按经典利润表，(6000-3000-1791-300)*0.34=309.06
最后折算成管理财报：OCF=营业现金毛流量=净利润+折旧=300+300=600
=EBITDA - 所得税 =1209-309=600
//估值的时候把折旧加回来
//罗斯这里的算法，和一般考题不一样。所得税本身已经是关于折旧的函数，所以加减乘除很容易弄混。
3.盈亏平衡：F和折旧的包含关系
CPA的教材，因为是严格按照管理用财报系统推导的，所以在CVP分析的时候，已经把折旧放进F里面了。
按数三和微观经济学的说法，成本函数C(Q)=Q*V+F，对应的是营业费用而非付现营业费用。
罗斯的教材里，F不包含折旧，所以会计利润盈亏平衡点公式略有不同：
Qbe=(F+Dep)/(P-V)
后面的现值BEP更迷了，学过CPA的都知道，这个现实中真的很少用。
Qbe=[EAC+F*(1-Tc)-Dep*Tc]/[((P-V)*(1-tc)]
where EAC约当年均成本=初始投资额/(P/A, i, n)
三、蒙特卡洛模拟：反复建联合概率密度分布列
四、实物期权与决策树
//Jay Rasulo：我们不可能一开始就100%正确。每创建一座公园，我们都要增添新内容。
//鸡汤：柯达发明了数码相机，但不想放弃胶卷相机市场，而且公众有消费情感，所以按兵不动。索尼是因为柯达太强，被逼着在数码相机领域做技术攻关才闯出来的。不过，柯达也不是吃素的，后来进军医药界了。
实质是金融学二叉树、数学概率分布列。
公司金融重点不是期权定价的证明，而是用期权模型，在U22对项目估值，在U23对公司估值。
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