高级宏观经济学——高教版

单期
- 静态模型
- - 消费者最优化行为
  - 厂商最优化行为
  - 竞争均衡
  - 帕累托最优
  - 比较静态分析
- 政府行为
- - 消费者与厂商最优化行为
  - 竞争均衡与比较静态分析
两期
- 纯两期
- - 消费者最优化行为
  - 市场均衡
- 考虑资本
- - 消费者最优化行为
  - 厂商最优化行为
  - 市场均衡
  - 计划最优
- 考虑资本和劳动
- - 消费者最优化行为
  - 厂商最优化行为
  - 市场均衡
  - 计划最优
三期
- 计划最优
- - 第三期
  - 第二期
  - 第一期
无限期
- 动态规划
- - 竞争均衡
  - 计划最优
  - 贝尔曼方程
- 计划经济下的最优
- - 贝尔曼方程推导欧拉方程
  - 动态模型学
  - - c的动态学
    - k的动态学
  - 稳定均衡解
  - 拉格朗日方法推导欧拉方程
- 分散经济下的最优
- - 消费者
  - 厂商
  - 竞争均衡
索洛增长模型
- 离散时间
- - 人均分析
  - 总量分析
- 连续时间
- - 动态学
  - 比较静态分析
  - - 对产出
    - 对消费
  - 对产出影响的定量分析
  - 对产量影响的速度分析
- 经验应用
- - 趋同性
待更新

单期

静态模型

偏好： 稻田条件

技术： 一次齐次

消费者最优化行为

max⁡c,lu(c,l)s.t.c=w(h−l)+(1+r)k0+π，0≤l≤hu2u1=w\max\limits_{c,l}\quad u(c,l)\\ {s.t.}\quad c=w(h-l)+(1+r)k_0+\pi，0\leq l \leq h\\ \frac{u_2}{u_1}=w c,lmaxu(c,l)s.t.c=w(h−l)+(1+r)k0+π，0≤l≤hu1u2=w

消费与闲暇的边际替代率等于工资率

厂商最优化行为

π=zf(kd,nd)−(1+r)kd+(1−δ)kd−wnd，δ=1max⁡kd,nd[zf(kd,nd)−(1+r)kd−wnd]zf1=1+rzf2=w\pi = zf(k_d,n_d)-(1+r)k_d+(1-\delta)k_d-wn_d，\delta = 1\\ \max\limits_{k_d,n_d}\quad [zf(k_d,n_d)-(1+r)k_d-wn_d]\\ zf_1=1+r\\ zf_2=w π=zf(kd,nd)−(1+r)kd+(1−δ)kd−wnd，δ=1kd,ndmax[zf(kd,nd)−(1+r)kd−wnd]zf1=1+rzf2=w

当生产函数为一次齐次时，欧拉定律：

zf(k,n)=zf1k+zf2nzf(k,n)=zf_1k+zf_2n zf(k,n)=zf1k+zf2n
规模报酬不变时，最大化利润为零：
zf(k,n)−(1+r)k−wn=0zf(k,n)-(1+r)k-wn=0 zf(k,n)−(1+r)k−wn=0

竞争均衡

始终满足：
c−y+w[nd−(h−l)]+(1+r)(kd−ks)c-y+w[n_d-(h-l)]+(1+r)(k_d-k_s) c−y+w[nd−(h−l)]+(1+r)(kd−ks)
劳动市场、消费品市场和资本租赁市场：
h−l=nd(1)c=y(2)ks=k0=kd(3)h-l=n_d\quad (1)\\ c=y\quad (2)\\ k_s=k_0=k_d\quad (3) h−l=nd(1)c=y(2)ks=k0=kd(3)
瓦尔拉斯定理：(1)、(2)、(3)中任两个出清，另一个也出清。

帕累托最优

万能的计划者：

max⁡c,lu(c,l)s.t.c=zf(k0,(h−l))zf2=u2u1\max\limits_{c,l}\quad u(c,l)\\ {s.t.}\quad c=zf(k_0,(h-l))\\ zf_2=\frac{u_2}{u_1} c,lmaxu(c,l)s.t.c=zf(k0,(h−l))zf2=u1u2

消费者预算约束线 / 消费可能性曲线

比较静态分析

设生产技术：y=zny=zny=zn

最优化问题：max⁡lu[z(h−l),l]\max\limits_l\quad u[z(h-l),l]lmaxu[z(h−l),l]

一阶条件：−zu1[z(h−1),l]+u2[z(h−1),l]=0-zu_1[z(h-1),l]+u_2[z(h-1),l]=0−zu1[z(h−1),l]+u2[z(h−1),l]=0

均衡工作：w=∂y∂n=zw=\frac{\partial{y}}{\partial{n}}=zw=∂n∂y=z
dldz=u1+z(h−l)u11−(h−l)u21z2u11−2zu12+u22\frac{dl}{dz}=\frac{u_1+z(h-l)u_{11}-(h-l)u_{21}}{z^2u_{11}-2zu_{12}+u_{22}} dzdl=z2u11−2zu12+u22u1+z(h−l)u11−(h−l)u21
分母小于0，分子不确定

政府行为

假设政府将其购买的消费品全部销毁

政府预算约束：g=τg=\taug=τ

生产函数：y=zny=zny=zn
w(c,l,g)=u(c,l)+v(g)v(g)=0w(c,l,g)=u(c,l)+v(g)\\ v(g)=0 w(c,l,g)=u(c,l)+v(g)v(g)=0

消费者与厂商最优化行为

消费者：
max⁡c,lu(c,l)s.t.c=w(h−l)−τ−wu1+u2=0\max\limits_{c,l}\quad u(c,l)\\ {s.t.}\quad c=w(h-l)-\tau\\ -wu_1+u_2=0 c,lmaxu(c,l)s.t.c=w(h−l)−τ−wu1+u2=0
厂商：
max⁡n(z−w)nw=z\max\limits_n (z-w)n\\ w=z nmax(z−w)nw=z

竞争均衡与比较静态分析

−zu1[(z(h−l)−g),l]+u2[(z(h−l)−g),l]=0dldg=−zu11+u12z2u11−2u12+u22<0dcdg=zu12−u22z2u11−2u12+u22<0-zu_1[(z(h-l)-g),l]+u_2[(z(h-l)-g),l]=0\\ \frac{dl}{dg}=\frac{-zu_{11}+u_{12}}{z^2u_{11}-2u_{12}+u_{22}}<0\\ \frac{dc}{dg}=\frac{zu_{12}-u_{22}}{z^2u_{11}-2u_{12}+u_{22}}<0 −zu1[(z(h−l)−g),l]+u2[(z(h−l)−g),l]=0dgdl=z2u11−2u12+u22−zu11+u12<0dgdc=z2u11−2u12+u22zu12−u22<0

两期

实际利率：rrr

贴现利率：ρ\rhoρ

贴现因子：β=11+ρ\beta=\frac{1}{1+\rho}β=1+ρ1

ttt期债券购买数：btb_tbt

纯两期

偏好：ν(c1,c2)=u(c1)+βu(c2)\nu(c_1,c_2)=u(c_1)+\beta{u(c_2)}ν(c1,c2)=u(c1)+βu(c2)

禀赋：∑i=1Ny1i=Y1，∑i=1Ny2i=Y2\sum\limits_{i=1}^N y_{1i}=Y_1，\sum\limits_{i=1}^N y_{2i}=Y_2i=1∑Ny1i=Y1，i=1∑Ny2i=Y2

消费者最优化行为

max⁡c1,c2,b1u(c1)+βu(c2)s.t.c1+b1=y1，c2=y2+b1(1+r)\max\limits_{c_1,c_2,b_1}\quad u(c_1)+\beta u(c_2)\\ {s.t.}\quad c_1+b_1=y_1，c_2=y_2+b_1(1+r) c1,c2,b1maxu(c1)+βu(c2)s.t.c1+b1=y1，c2=y2+b1(1+r)

欧拉方程：u′(c1)u′(c2)=β(1+r)\frac{u'(c_1)}{u'(c_2)}=\beta{(1+r)}u′(c2)u′(c1)=β(1+r)

取 u(ct)=ln(ct)u(c_t)=ln(c_t)u(ct)=ln(ct)：
c1=y2+y1(1+r)(1+β)(1+r)c2=[y2+y1(1+r)](β1+β)b1=y1−y2+y1(1+r)(1+β)(1+r)c_1=\frac{y_2+y_1(1+r)}{(1+\beta)(1+r)}\\ c_2=[y_2+y_1(1+r)](\frac{\beta}{1+\beta})\\ b_1=y_1-\frac{y_2+y_1(1+r)}{(1+\beta)(1+r)} c1=(1+β)(1+r)y2+y1(1+r)c2=[y2+y1(1+r)](1+ββ)b1=y1−(1+β)(1+r)y2+y1(1+r)
比较静态分析：
∂c2∂r=y1β1+β>0\frac{\partial{c_2}}{\partial{r}}=\frac{y_1\beta}{1+\beta}>0 ∂r∂c2=1+βy1β>0

市场均衡

资本市场与商品市场条件
∑i=1nb1i=0∑i=1nc1i+∑i=1nc2i=Y1+Y2Y2Y1=1+g\sum\limits_{i=1}^{n}{b_{1i}}=0\\ \sum\limits_{i=1}^{n}{c_{1i}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{c_{2i}}=Y_1+Y_2\\ \frac{Y_2}{Y_1} = 1+g i=1∑nb1i=0i=1∑nc1i+i=1∑nc2i=Y1+Y2Y1Y2=1+g
得到：
b1i=y1i−y2i+y1i(1+r)(1+β)(1+r)r∗=Y2βY1−11+r∗=(1+ρ)(1+g)r∗≈ρ+gb_{1i}=y_{1i}-\frac{y_{2i}+y_{1i}(1+r)}{(1+\beta)(1+r)}\\ r^*=\frac{Y_2}{\beta{Y_1}}-1\\ 1+r^*=(1+\rho)(1+g)\\ r^*\approx\rho+g b1i=y1i−(1+β)(1+r)y2i+y1i(1+r)r∗=βY1Y2−11+r∗=(1+ρ)(1+g)r∗≈ρ+g
比较静态分析
∂r∗∂Y2=1βY1>0\frac{\partial{r^*}}{\partial{Y_2}}=\frac{1}{\beta{Y_1}}>0 ∂Y2∂r∗=βY11>0

考虑资本

偏好：ν(c1,c2)=u(c1)+βu(c2)\nu(c_1,c_2)=u(c_1)+\beta{u(c_2)}ν(c1,c2)=u(c1)+βu(c2)

技术：y=zf(k)y=zf(k)y=zf(k)，稻田条件

禀赋：k0k_0k0

消费者最优化行为

预算约束方程：
c1+s1=(1+r1)k1s+π1c2=(1+r2)s1+π2c_1+s_1=(1+r_1)k_1^s+\pi_1\\ c_2=(1+r_2)s_1+\pi_2 c1+s1=(1+r1)k1s+π1c2=(1+r2)s1+π2
效用最大化：
max⁡c1,c2,s1u(c1)+βu(c2)s.t.c1+s1=(1+r1)k1s+π1，c2=(1+r2)s1+π2u′(c1)u′(c2)=β(1+r2)\max\limits_{c_1,c_2,s_1}\quad u(c_1)+\beta u(c_2)\\ {s.t.}\quad c_1+s_1=(1+r_1)k_1^s+\pi_1，c_2=(1+r_2)s_1+\pi_2\\ \frac{u'(c_1)}{u'(c_2)}=\beta (1+r_2) c1,c2,s1maxu(c1)+βu(c2)s.t.c1+s1=(1+r1)k1s+π1，c2=(1+r2)s1+π2u′(c2)u′(c1)=β(1+r2)

厂商最优化行为

max⁡k1π1=zf(k1d)−(1+r1)k1d+(1−δ)k1dmax⁡k2π2=zf(k2d)−(1+r2)k2d+(1−δ)k2ds.t.δ=1zf′(k1d)=1+r1zf′(k2d)=1+r2\max\limits_{k_1}\quad\pi_1=zf(k_1^d)-(1+r_1)k_1^d+(1-\delta)k_1^d\\ \max\limits_{k_2}\quad\pi_2=zf(k_2^d)-(1+r_2)k_2^d+(1-\delta)k_2^d\\ {s.t.}\quad \delta = 1\\ zf'(k_1^d)=1+r_1\\ zf'(k_2^d)=1+r_2 k1maxπ1=zf(k1d)−(1+r1)k1d+(1−δ)k1dk2maxπ2=zf(k2d)−(1+r2)k2d+(1−δ)k2ds.t.δ=1zf′(k1d)=1+r1zf′(k2d)=1+r2

市场均衡

k1s=k0=k1dk2s=s1=k2dc1+c2=k0+[zf(k1d)−k1d]+[zf(k2d)−k2d]k_1^s=k_0=k_1^d\\ k_2^s=s_1=k_2^d\\ c_1+c_2=k_0+[zf(k_1^d)-k_1^d]+[zf(k_2^d)-k_2^d]\\ k1s=k0=k1dk2s=s1=k2dc1+c2=k0+[zf(k1d)−k1d]+[zf(k2d)−k2d]

可得：
c1+c2=zf(k1d)+zf(k2d)−k2dc_1+c_2=zf(k_1^d)+zf(k_2^d)-k_2^d c1+c2=zf(k1d)+zf(k2d)−k2d
由瓦尔拉斯定理可忽略第三个市场（商品市场）出清条件

计划最优

max⁡c1,c2,k2u(c1)+βu(c2)s.t.c1=zf(k0)−k2，c2=zf(k2)−u′[zf(k0)−k2]+zβu′[zf(k2)]f′(k2)=0\max\limits_{c_1,c_2,k_2}\quad u(c_1)+\beta u(c_2)\\ {s.t.}\quad c_1=zf(k_0)-k_2，c_2=zf(k_2)\\ -u'[zf(k_0)-k_2]+z\beta u'[zf(k_2)]f'(k_2)=0 c1,c2,k2maxu(c1)+βu(c2)s.t.c1=zf(k0)−k2，c2=zf(k2)−u′[zf(k0)−k2]+zβu′[zf(k2)]f′(k2)=0

考虑资本和劳动

偏好：(c1,c2,l1,l2)=u(c1,l1)+βu(c2,l2)=u(c1)+u(l1)+βu(c2)+βu(l2)(c_1,c_2,l_1,l_2)=u(c_1,l_1)+\beta u(c_2,l_2)=u(c_1)+u(l_1)+\beta u(c_2)+\beta u(l_2)(c1,c2,l1,l2)=u(c1,l1)+βu(c2,l2)=u(c1)+u(l1)+βu(c2)+βu(l2)

技术：y=zf(k,n)y=zf(k,n)y=zf(k,n)，稻田条件

禀赋：k0，hk_0，hk0，h

消费者最优化行为

max⁡c1,c2,l1,l2u(c1)+u(l1)+βu(c2)+βu(l2)s.t.c1+s1=w1(h−l1)+(1+r1)k1s+π1c2+s2=w2(h−l2)+(1+r2)k2s+π2k1s=k0k2s=s1s2=0n1s+l1=hn2s+l2=h\max\limits_{c_1,c_2,l_1,l_2}\quad u(c_1)+u(l_1)+\beta u(c_2)+\beta u(l_2)\\ {s.t.}\quad c_1+s_1=w_1(h-l_1)+(1+r_1)k_1^s+\pi_1\\ c_2+s_2=w_2(h-l_2)+(1+r_2)k_2^s+\pi_2\\ k_1^s=k_0\\ k_2^s=s_1\\ s_2=0\\ n_1^s+l_1=h\\ n_2^s+l_2=h c1,c2,l1,l2maxu(c1)+u(l1)+βu(c2)+βu(l2)s.t.c1+s1=w1(h−l1)+(1+r1)k1s+π1c2+s2=w2(h−l2)+(1+r2)k2s+π2k1s=k0k2s=s1s2=0n1s+l1=hn2s+l2=h

得到：
u′(c1)u′(c2)=β(1+r2)u′(l1)u′(c1)=w1u′(l2)u′(c2)=w2\frac{u'(c_1)}{u'(c_2)}=\beta (1+r_2)\\ \frac{u'(l_1)}{u'(c_1)}=w_1\\ \frac{u'(l_2)}{u'(c_2)}=w_2 u′(c2)u′(c1)=β(1+r2)u′(c1)u′(l1)=w1u′(c2)u′(l2)=w2

厂商最优化行为

π1=zf(k1d,n1d)−w1n1d−(1+r1)k1d+(1−δ)k1dπ2=zf(k2d,n2d)−w2n2d−(1+r2)k2d+(1−δ)k2d\pi_1=zf(k_1^d,n_1^d)-w_1 n_1^d-(1+r_1)k_1^d+(1-\delta)k_1^d\\ \pi_2=zf(k_2^d,n_2^d)-w_2 n_2^d-(1+r_2)k_2^d+(1-\delta)k_2^d π1=zf(k1d,n1d)−w1n1d−(1+r1)k1d+(1−δ)k1dπ2=zf(k2d,n2d)−w2n2d−(1+r2)k2d+(1−δ)k2d

得到：
zf1(k1d,n1d)=1+r1zf2(k1d,n1d)=w1zf1(k2d,n2d)=1+r2zf2(k2d,n2d)=w2zf_1(k_1^d,n_1^d)=1+r_1\\ zf_2(k_1^d,n_1^d)=w_1\\ zf_1(k_2^d,n_2^d)=1+r_2\\ zf_2(k_2^d,n_2^d)=w_2 zf1(k1d,n1d)=1+r1zf2(k1d,n1d)=w1zf1(k2d,n2d)=1+r2zf2(k2d,n2d)=w2

市场均衡

k1s=k0=k1dk2s=s1=k2dn1s=h−l1n2s=h−l2c1+c2=zf(k1d,n1d)+zf(k2d,n2d)−k2dk_1^s=k_0=k_1^d\\ k_2^s=s_1=k_2^d\\ n_1^s=h-l_1\\ n_2^s=h-l_2\\ c_1+c_2=zf(k_1^d,n_1^d)+zf(k_2^d,n_2^d)-k_2^d k1s=k0=k1dk2s=s1=k2dn1s=h−l1n2s=h−l2c1+c2=zf(k1d,n1d)+zf(k2d,n2d)−k2d

计划最优

max⁡c1,l1,c2,l2,k2u(c1)+u(l1)+βu(c2)+βu(l2)s.t.c1+k2=zf[k0,(h−l1)]，c2=zf[k2,(h−l2)]\max\limits_{c_1,l_1,c_2,l_2,k_2}\quad u(c_1)+u(l_1)+\beta u(c_2)+\beta u(l_2)\\ {s.t.}\quad c_1+k_2=zf[k_0,(h-l_1)]，c_2=zf[k_2,(h-l_2)] c1,l1,c2,l2,k2maxu(c1)+u(l1)+βu(c2)+βu(l2)s.t.c1+k2=zf[k0,(h−l1)]，c2=zf[k2,(h−l2)]

得到：
u′(c1)βu′(c2)=zf1[k2,(h−l2)]u′(l1)u′(c1)=zf2[k0,(h−l1)]u′(l2)u′(c2)=zf2[k2,(h−l2)](欧拉方程)\frac{u'(c_1)}{\beta u'(c_2)}=zf_1[k_2,(h-l_2)]\tag{欧拉方程}\\ \frac{u'(l_1)}{u'(c_1)}=zf_2[k_0,(h-l_1)]\\ \frac{u'(l_2)}{u'(c_2)}=zf_2[k_2,(h-l_2)] βu′(c2)u′(c1)=zf1[k2,(h−l2)]u′(c1)u′(l1)=zf2[k0,(h−l1)]u′(c2)u′(l2)=zf2[k2,(h−l2)](欧拉方程)

三期

偏好：v(c1,c2,c3)=u(c1)+βu(c2)+β2u(c3)v(c_1,c_2,c_3)=u(c_1)+\beta u(c_2)+\beta^2 u(c_3)v(c1,c2,c3)=u(c1)+βu(c2)+β2u(c3)

技术：y=f(k)y=f(k)y=f(k)，稻田条件

禀赋：k0k_0k0

计划最优

max⁡c1,c2,c3,k1,k2u(c1)+βu(c2)+β2u(c3)s.t.c1+k1=f(k0),c2+k2=f(k1),c3+k3=f(k2)\max\limits_{c_1,c_2,c_3,k_1,k_2}\quad u(c_1)+\beta u(c_2)+\beta^2 u(c_3)\\ {s.t.}\quad c_1+k_1=f(k_0),c_2+k_2=f(k_1),c_3+k_3=f(k_2) c1,c2,c3,k1,k2maxu(c1)+βu(c2)+β2u(c3)s.t.c1+k1=f(k0),c2+k2=f(k1),c3+k3=f(k2)

因为活动只为三期，k3=0k_3=0k3=0 一定成立

第三期

max⁡u(c3)s.t.c3+k3=f(k2)\max\quad u(c_3)\\ {s.t.}\quad c_3+k_3=f(k_2) maxu(c3)s.t.c3+k3=f(k2)

k2k_2k2在第二期已经确定

政策函数：
k3=g(k2)=0k_3=g(k_2)=0 k3=g(k2)=0
得到：
c3∗=f(k2)−g(k2)=f(k2)c_3^*=f(k_2)-g(k_2)=f(k_2) c3∗=f(k2)−g(k2)=f(k2)
间接效用函数（值函数）：
v3(k2)≡u(c3∗)=u(f(k2))v_3(k_2)\equiv u(c_3^*)=u(f(k_2)) v3(k2)≡u(c3∗)=u(f(k2))
求导：
∂v3∂k2(k2)=u′(f(k2))f′(k2)\frac{\partial v_3}{\partial k_2}(k_2)=u'(f(k_2))f'(k_2) ∂k2∂v3(k2)=u′(f(k2))f′(k2)

第二期

max⁡c2,k2u(c2)+βv3(k2)s.t.c2+k2=f(k1)\max\limits_{c_2,k_2}\quad u(c_2)+\beta v_3(k_2)\\ {s.t.}\quad c_2+k_2=f(k_1) c2,k2maxu(c2)+βv3(k2)s.t.c2+k2=f(k1)

一阶条件：
u2′(c2)=β∂v3∂k2(k2)⇒u′(c2)=βu′(c3)f′(k2)u_2'(c_2)=\beta \frac{\partial v_3}{\partial k_2}(k_2)\Rightarrow u'(c_2)=\beta u'(c_3)f'(k_2) u2′(c2)=β∂k2∂v3(k2)⇒u′(c2)=βu′(c3)f′(k2)
政策函数：
k2=g(k1)k_2=g(k_1) k2=g(k1)
间接效用函数（值函数）：
v2(k1)=u(c2∗)+βv3(k2∗)v_2(k_1)=u(c_2^*)+\beta v_3(k_2^*) v2(k1)=u(c2∗)+βv3(k2∗)
求导：
∂v2∂k1(k1)=u′(c2∗)[f′(k1)−∂k2∗∂k1]+β∂v3∂k2(k2∗)∂k2∗∂k1=u′(c2∗)f′(k1)\frac{\partial v_2}{\partial k_1}(k_1)=u'(c_2^*)[f'(k_1)-\frac{\partial k_2^*}{\partial k_1}]+\beta \frac{\partial v_3}{\partial k_2}(k_2^*)\frac{\partial k_2^*}{\partial k_1} =u'(c_2^*)f'(k_1) ∂k1∂v2(k1)=u′(c2∗)[f′(k1)−∂k1∂k2∗]+β∂k2∂v3(k2∗)∂k1∂k2∗=u′(c2∗)f′(k1)

第一期

max⁡c1,k1u(c1)+βv2(k1)s.t.c1+k1=f(k0)\max\limits_{c_1,k_1}\quad u(c_1)+\beta v_2(k_1)\\ {s.t.}\quad c_1+k_1=f(k_0) c1,k1maxu(c1)+βv2(k1)s.t.c1+k1=f(k0)

一阶条件：
u′(c1)=β∂v2∂k1(k1)⇒u′(c1)=βu′(c2)f′(k1)u'(c_1)=\beta \frac{\partial v_2}{\partial k_1}(k_1)\Rightarrow u'(c_1)=\beta u'(c_2)f'(k_1) u′(c1)=β∂k1∂v2(k1)⇒u′(c1)=βu′(c2)f′(k1)
政策函数：
k1=g(k0)k_1=g(k_0) k1=g(k0)
间接效用函数（值函数）：
v1(k0)=u(c1∗)+βv2(k1∗)v_1(k_0)=u(c_1^*)+\beta v_2(k_1^*) v1(k0)=u(c1∗)+βv2(k1∗)

无限期

偏好：∑t=0∞βtu(ct)\sum\limits_{t=0}^\infin\beta^tu(c_t)t=0∑∞βtu(ct)

技术：yt=F(kt,nt)y_t=F(k_t,n_t)yt=F(kt,nt)，稻田条件，kt+1=(1−δ)kt+itk_{t+1}=(1-\delta)k_t+i_tkt+1=(1−δ)kt+it

禀赋：k0k_0k0

资源约束：ct+it≤ytnt≤1c_t+i_t\leq y_t\quad n_t\leq 1ct+it≤ytnt≤1

动态规划

竞争均衡

max⁡{ct,nt,it,kt+1}t=0∞∑t=0∞βtu(ct)s.t.ct+it≤F(kt,nt)(1)kt+1=(1−δ)kt+it(2)nt≤1(3)lim⁡t→∞kt(1+ρ)t=0(4)0≤ct,0≤kt,0≤k0,给定\max\limits_{{\{c_t,n_t,i_t,k_{t+1}\}}_{t=0}^\infin}\quad\sum_{t=0}^\infin\beta^tu(c_t)\\{s.t.}\quad c_t+i_t\leq F(k_t,n_t)\quad(1)\\ k_{t+1}=(1-\delta)k_t+i_t\quad(2)\\ n_t\leq 1\quad(3)\\ \lim_{t\rightarrow\infin}\frac{k_t}{(1+\rho)^t}=0\quad(4)\\ 0\leq c_t,0\leq k_t,0\leq k_0,给定 {ct,nt,it,kt+1}t=0∞maxt=0∑∞βtu(ct)s.t.ct+it≤F(kt,nt)(1)kt+1=(1−δ)kt+it(2)nt≤1(3)t→∞lim(1+ρ)tkt=0(4)0≤ct,0≤kt,0≤k0,给定

1、3：资源约束条件，取等

2：资本累积方程

4：横截性条件

计划最优

max⁡{ct,kt+1}t=0∞∑t=0∞βtu(ct)s.t.kt+1+ct=f(kt)\max\limits_{{\{c_t,k_{t+1}\}}_{t=0}^\infin}\quad\sum_{t=0}^\infin\beta^tu(c_t)\\ {s.t.}\quad k_{t+1}+c_t=f(k_t) {ct,kt+1}t=0∞maxt=0∑∞βtu(ct)s.t.kt+1+ct=f(kt)

贝尔曼方程

v(kt)=max⁡ct,kt+1{u(ct)+βv(kt+1)}s.t.kt+1+ct=f(kt)v(k_t)=\max_{c_t,k_{t+1}}\{u(c_t)+\beta v(k_{t+1})\}\\ {s.t.}\quad k_{t+1}+c_t=f(k_t) v(kt)=ct,kt+1max{u(ct)+βv(kt+1)}s.t.kt+1+ct=f(kt)

求解靠猜，解不一定唯一

5.11加max

计划经济下的最优

v(k1)=max⁡ct,kt+1[u(ct)+βv(kt+1)]s.t.kt+1+ct=f(kt),lim⁡t→∞kt(1+ρ)t=0v(k_1)=\max\limits_{c_t,k_{t+1}}[u(c_t)+\beta v(k_{t+1})]\\ {s.t.}\quad k_{t+1}+c_t=f(k_t),\lim\limits_{t\rightarrow\infin}\frac{k_t}{(1+\rho)^t}=0 v(k1)=ct,kt+1max[u(ct)+βv(kt+1)]s.t.kt+1+ct=f(kt),t→∞lim(1+ρ)tkt=0

贝尔曼方程推导欧拉方程

v(kt)=max⁡kt+1{u[f(kt)−kt+1]+βv(kt+1)}v(k_t)=\max\limits_{k_{t+1}}\{u[f(k_t)-k_{t+1}]+\beta v(k_{t+1})\}\\ v(kt)=kt+1max{u[f(kt)−kt+1]+βv(kt+1)}

一阶条件（对 kt+1k_{t+1}kt+1 求导）：
−u′[f(kt)−kt+1]+βv′(kt+1)=0-u'[f(k_t)-k_{t+1}]+\beta v'(k_{t+1})=0 −u′[f(kt)−kt+1]+βv′(kt+1)=0
对贝尔曼方程两边求关于 ktk_tkt 的偏导，并应用包络定理：
v′(kt)=u′[f(kt)−kt+1][F1(kt,1)+(1−δ)]v'(k_t)=u'[f(k_t)-k_{t+1}][F_1(k_t,1)+(1-\delta)] v′(kt)=u′[f(kt)−kt+1][F1(kt,1)+(1−δ)]
其中：f(k)=F(k,1)+(1−δ)kf(k)=F(k,1)+(1-\delta)kf(k)=F(k,1)+(1−δ)k

将上式往后挪一期：
v′(kt+1)=u′[f(kt+1)−kt+2][F1(kt+1,1)+(1−δ)]v'(k_{t+1})=u'[f(k_{t+1})-k_{t+2}][F_1(k_{t+1},1)+(1-\delta)] v′(kt+1)=u′[f(kt+1)−kt+2][F1(kt+1,1)+(1−δ)]
将上式代入一阶条件：
−u′(ct)+βu′(ct+1)[F1(kt+1,1)+1−δ]=0-u'(c_t)+\beta u'(c_{t+1})[F_1(k_{t+1},1)+1-\delta]=0 −u′(ct)+βu′(ct+1)[F1(kt+1,1)+1−δ]=0

动态模型学

约束方程：
kt+1=f(kt)−ct=F(k,1)+(1−δ)kt−ct≡H(kt,ct)k_{t+1}=f(k_t)-c_t=F(k,1)+(1-\delta)k_t-c_t\equiv H(k_t,c_t) kt+1=f(kt)−ct=F(k,1)+(1−δ)kt−ct≡H(kt,ct)
代入欧拉方程：
kt+1=H(kt,ct)ct+1=P(kt,ct)k_{t+1}=H(k_t,c_t)\\ c_{t+1}=P(k_t,c_t) kt+1=H(kt,ct)ct+1=P(kt,ct)

c的动态学

当 ct+1=ctc_{t+1}=c_tct+1=ct 时：
F1(kk+1,1)=ρ+δF_1(k_{k+1},1)=\rho+\delta F1(kk+1,1)=ρ+δ
所以存在唯一 k∗k^*k∗ 使上式成立

kt+1<k∗⇔δ+ρ<F1(kt+1)⇔1+ρ<F1(kt+1)+1−δ⇔1<β[F1(kt+1)+1−δ]⇔u′(ct)[F1(kk+1)+1−δ]<βu′(ct)⇔βu′(ct+1)<βu′(ct+1)⇔ct+1>ctk_{t+1}<k^*\\ \Leftrightarrow \delta+\rho<F_1(k_{t+1})\\ \Leftrightarrow 1+\rho<F_1(k_{t+1})+1-\delta\\ \Leftrightarrow 1<\beta[F_1(k_{t+1})+1-\delta]\\ \Leftrightarrow \frac{u'(c_t)}{[F_1(k_{k+1})+1-\delta]}<\beta u'(c_t)\\ \Leftrightarrow \beta u'(c_{t+1})<\beta u'(c_{t+1})\\ \Leftrightarrow c_{t+1>c_t} kt+1<k∗⇔δ+ρ<F1(kt+1)⇔1+ρ<F1(kt+1)+1−δ⇔1<β[F1(kt+1)+1−δ]⇔[F1(kk+1)+1−δ]u′(ct)<βu′(ct)⇔βu′(ct+1)<βu′(ct+1)⇔ct+1>ct

k的动态学

当 ct+1=ctc_{t+1}=c_tct+1=ct 时：
ct=F(kt,1)−δktdcdk=F1(k,1)−δc_t=F(k_t,1)-\delta k_t\\ \frac{dc}{dk}=F_1(k,1)-\delta ct=F(kt,1)−δktdkdc=F1(k,1)−δ

kt+1>kt⇔F(kt,1)+(1−δ)kt−ct>kt⇔ct<F(kt,1)−δktk_{t+1}>k_t\\ \Leftrightarrow F(k_t,1)+(1-\delta)k_t-c_t>k_t\\ \Leftrightarrow c_t<F(k_t,1)-\delta k_t\\ kt+1>kt⇔F(kt,1)+(1−δ)kt−ct>kt⇔ct<F(kt,1)−δkt

稳定均衡解

拉格朗日方法推导欧拉方程

max⁡{ct,kt+1}t=0∞∑t=0∞βtu(ct)s.t.ct+kt+1=f(kt)k0>0，给定(FOCct)∂l∂ct=βtu′(ct)−λt(FOCkt+1)∂l∂kt+1=−λt+λt+1f′(kt+1)=0\max\limits_{{\{c_t,k_{t+1}\}}_{t=0}^\infin}\quad\sum\limits_{t=0}^\infin\beta^tu(c_t)\\ {s.t.}\quad c_t+k_{t+1}=f(k_t)\\ k_0>0，给定\\ {(FOC_{c_t})}\quad\frac{\partial l}{\partial c_t}=\beta^tu'(c_t)-\lambda_t\\ {(FOC_{k_{t+1}})}\quad\frac{\partial l}{\partial k_{t+1}}=-\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})=0 {ct,kt+1}t=0∞maxt=0∑∞βtu(ct)s.t.ct+kt+1=f(kt)k0>0，给定(FOCct)∂ct∂l=βtu′(ct)−λt(FOCkt+1)∂kt+1∂l=−λt+λt+1f′(kt+1)=0

得：
f(k)=F(k,1)+(1−δ)ku′(ct)=βu′(ct+1)[F1(kt+1,1)+1−δ]f(k)=F(k,1)+(1-\delta)k \\u'(c_t)=\beta u'(c_{t+1})[F_1(k_{t+1},1)+1-\delta] f(k)=F(k,1)+(1−δ)ku′(ct)=βu′(ct+1)[F1(kt+1,1)+1−δ]

分散经济下的最优

消费者

max⁡{ct,kt+1}t=0∞∑t=0∞βtu(ct)s.t.ct+kt+1=f(kt)lim⁡t→∞kt+1∏t=0t(1+rt)=0\max\limits_{{\{c_t,k_{t+1}\}}_{t=0}^\infin}\quad\sum\limits_{t=0}^\infin\beta^tu(c_t)\\ {s.t.}\quad c_t+k_{t+1}=f(k_t)\\ \lim_{t\rightarrow\infin}\frac{k_{t+1}}{\prod_{t=0}^t(1+r_t)}=0 {ct,kt+1}t=0∞maxt=0∑∞βtu(ct)s.t.ct+kt+1=f(kt)t→∞lim∏t=0t(1+rt)kt+1=0

贝尔曼方程求解：
v(k1)=max⁡ct,kt+1[u(ct)+βv(kt+1)]s.t.ct+kt+1=wt+(1+rt)ktlim⁡t→∞kt+1∏t=0t(1+rt)=0v(k_1)=\max\limits_{c_t,k_{t+1}}[u(c_t)+\beta v(k_{t+1})]\\{s.t.}\quad c_t+k_{t+1}=w_t+(1+r_t)k_t\\ \lim_{t\rightarrow\infin}\frac{k_{t+1}}{\prod_{t=0}^t(1+r_t)}=0 v(k1)=ct,kt+1max[u(ct)+βv(kt+1)]s.t.ct+kt+1=wt+(1+rt)ktt→∞lim∏t=0t(1+rt)kt+1=0
得欧拉方程：
−u′(ct)+βu′(ct+1)(1+rt+1)=0-u'(c_t)+\beta u'(c_{t+1})(1+r_{t+1})=0 −u′(ct)+βu′(ct+1)(1+rt+1)=0
与计划最优欧拉方程对比，若 rt=F1(kt,1)−δr_t=F_1(k_t,1)-\deltart=F1(kt,1)−δ ，消费变动路径一致

厂商

max⁡kt,ntF(kt,nt)−wtnt−(1+rt)kt+(1−δ)kt\max_{k_t,n_t}\quad F(k_t,n_t)-w_tn_t-(1+r_t)k_t+(1-\delta)k_t kt,ntmaxF(kt,nt)−wtnt−(1+rt)kt+(1−δ)kt

一阶条件：
F1(kt,nt)=rt+δF2(kt,nt)=wtF_1(k_t,n_t)=r_t+\delta\\ F_2(k_t,n_t)=w_t F1(kt,nt)=rt+δF2(kt,nt)=wt

竞争均衡

索洛增长模型

**基本环境：**经济封闭，市场、生产唯一、时间离散

技术：

Yt=F(Kt,AtNt)At+1=(1+g)At=(1+g)t+1A0Y_t=F(K_t,A_tN_t)\\A_{t+1}=(1+g)A_t=(1+g)^{t+1}A_0Yt=F(Kt,AtNt)At+1=(1+g)At=(1+g)t+1A0
生产函数严格准凹、二次可微、一次齐次、对每一个变量严格递增：F(λK,λAN)=λF(K,AN)F(\lambda K,\lambda AN)=\lambda F(K,AN)F(λK,λAN)=λF(K,AN)
密集形式的生产函数：F(KAN,1)=1ANF(K,AN)F(\frac{K}{AN},1)=\frac 1{AN}F(K,AN)F(ANK,1)=AN1F(K,AN)
k=K/AN，y=Y/AN，f(k)=F(k,1)⇒y=f(k)，Y=ANf(k)k=K/AN，y=Y/AN，f(k)=F(k,1)\Rightarrow y=f(k)，Y=ANf(k)k=K/AN，y=Y/AN，f(k)=F(k,1)⇒y=f(k)，Y=ANf(k) ，满足稻田条件

人口：Nt+1=(1+n)Nt=(1+n)t+1N0N_{t+1}=(1+n)N_t=(1+n)^{t+1}N_0Nt+1=(1+n)Nt=(1+n)t+1N0

禀赋：k0k_0k0

离散时间

Kt+1=(1−δ)Kt+ItKt+1=(1−δ)Kt+sYtKt+1AtNt=(1−δ)KtAtNt+sf(KtAtNt,1)(1+g)(1+n)Kt+1At+1Nt+1=(1−δ)KtAtNt+sf(KtAtNt,1)kt+1=(1−δ)kt+sf(kt)(1+g)(1+n)⇔kt+1=g(kt)，g(k)=(1−δ)k+sf(k)(1+g)(1+n)K_{t+1}=(1-\delta)K_t+I_t\\ K_{t+1}=(1-\delta)K_t+sY_t\\ \frac{K_{t+1}}{A_tN_t}=(1-\delta)\frac{K_t}{A_tN_t}+sf(\frac{K_t}{A_tN_t},1)\\ \frac{(1+g)(1+n)K_{t+1}}{A_{t+1}N_{t+1}}=(1-\delta)\frac{K_t}{A_tN_t}+sf(\frac{K_t}{A_tN_t},1)\\ k_{t+1}=\frac{(1-\delta)k_t+sf(k_t)}{(1+g)(1+n)}\Leftrightarrow k_{t+1}=g(k_t)，g(k)=\frac{(1-\delta)k+sf(k)}{(1+g)(1+n)}\\ Kt+1=(1−δ)Kt+ItKt+1=(1−δ)Kt+sYtAtNtKt+1=(1−δ)AtNtKt+sf(AtNtKt,1)At+1Nt+1(1+g)(1+n)Kt+1=(1−δ)AtNtKt+sf(AtNtKt,1)kt+1=(1+g)(1+n)(1−δ)kt+sf(kt)⇔kt+1=g(kt)，g(k)=(1+g)(1+n)(1−δ)k+sf(k)

g(0)=0g(0)=0g(0)=0
函数严格递增，g′(k)>0g'(k)>0g′(k)>0
严格凹函数，g’’(k)<0
满足修正稻田条件

人均分析

稳定状态：平衡增长路径

定义：kt‾=ktAt\overline {k_t}=k_tA_tkt=ktAt，人均资本增长率 γ\gammaγ ，技术进步速率 ggg

稳定时：kt≡kt‾/At=k∗，kt=kt+i=k∗，i∈[1,+∞]k_t \equiv \overline{k_t}/A_t=k^*，k_t=k_{t+i}=k^*，i\in[1,+\infin]kt≡kt/At=k∗，kt=kt+i=k∗，i∈[1,+∞]

得：
kt+i=kt+i‾At+i=(1+γk‾)i(1+g)ikt‾Atkt‾At=k∗=kt+ik_{t+i}=\frac{\overline{k_{t+i}}}{A_{t+i}}=\frac{(1+\gamma_{\overline k})^i}{(1+g)^i}\frac{\overline{k_{t}}}{A_{t}}\\\frac{\overline{k_t}}{A_t}=k^*=k_{t+i} kt+i=At+ikt+i=(1+g)i(1+γk)iAtktAtkt=k∗=kt+i
即：γk‾=g\gamma_{\overline k}=gγk=g

所有人均层面得变量以外生给定得技术进步速率 ggg 增长

总量分析

稳定状态：平衡增长路径

定义：${k_t}=K_t/A_tN_t $，人均资本增长率 γ\gammaγ ，技术进步速率 ggg

稳定时：kt≡Kt/AtNt=k∗，kt=kt+i=k∗，i∈[1,+∞]k_t \equiv K_t/A_tN_t=k^*，k_t=k_{t+i}=k^*，i\in[1,+\infin]kt≡Kt/AtNt=k∗，kt=kt+i=k∗，i∈[1,+∞]

得：
kt+i=Kt+iAt+iNt+i=(1+γk‾)i(1+g)i(1+n)iKtAtNtktAtNt=k∗=kt+ik_{t+i}=\frac{{K_{t+i}}}{A_{t+i}N_{t+i}}=\frac{(1+\gamma_{\overline k})^i}{(1+g)^i(1+n)^i}\frac{{K_{t}}}{A_{t}N_{t}}\\\frac{{k_{t}}}{A_{t}N_{t}}=k^*=k_{t+i} kt+i=At+iNt+iKt+i=(1+g)i(1+n)i(1+γk)iAtNtKtAtNtkt=k∗=kt+i
即：γK=n+g+ng\gamma_K=n+g+ngγK=n+g+ng ，ngngng 很小可以忽视

总量层面的变量以 n+gn+gn+g 增长

连续时间

基本环境：A˙(t)=gA(t)，N˙(t)=nN(t)\dot A(t)=gA(t)，\dot N(t)=nN(t)A˙(t)=gA(t)，N˙(t)=nN(t)

动态学

资本累积方程：
K˙(t)=sY(t)−δK(t)\dot K(t)=sY(t)-\delta K(t) K˙(t)=sY(t)−δK(t)
由链式法则：
k˙(t)=K˙(t)A(t)N(t)−K(t)A(t)N(t)N˙(t)N(t)−K(t)A(t)N(t)A˙(t)A(t)=sY(t)A(t)N(t)−δk(t)−nk(t)−gk(t)=sf(k)−(n+g+δ)k(t)\dot k(t)=\frac{\dot K(t)}{A(t)N(t)}-\frac{K(t)}{A(t)N(t)}\frac{\dot N(t)}{N(t)}-\frac{K(t)}{A(t)N(t)}\frac{\dot A(t)}{A(t)}=s\frac{Y(t)}{A(t)N(t)}-\delta k(t)-nk(t)-gk(t)=sf(k)-(n+g+\delta)k(t) k˙(t)=A(t)N(t)K˙(t)−A(t)N(t)K(t)N(t)N˙(t)−A(t)N(t)K(t)A(t)A˙(t)=sA(t)N(t)Y(t)−δk(t)−nk(t)−gk(t)=sf(k)−(n+g+δ)k(t)
f(k)f(k)f(k) 为每单位劳动力的平均产量

比较静态分析

对产出

只有技术进步的变化有增长效应，其他所有外生变量的变化只有水平效应无增长效应（改变经济的平衡增长路径，不改变处于平衡增长路径时人均产量的增长率）

对消费

c∗=f(k∗)−sf(k∗)sf(k∗)=(n+g+δ)k∗∂c∗∂s=[f′(k∗(s,n,g,δ))−(n+g+δ)]∂k∗(s,n,g,δ)∂s∂k∗(s,n,g,δ)∂s>0c^*=f(k^*)-sf(k^*)\\ sf(k^*)=(n+g+\delta)k^*\\ \frac{\partial c^*}{\partial s}=[f'(k^*(s,n,g,\delta))-(n+g+\delta)]\frac{\partial k^*(s,n,g,\delta)}{\partial s}\\ \frac{\partial k^*(s,n,g,\delta)}{\partial s}>0 c∗=f(k∗)−sf(k∗)sf(k∗)=(n+g+δ)k∗∂s∂c∗=[f′(k∗(s,n,g,δ))−(n+g+δ)]∂s∂k∗(s,n,g,δ)∂s∂k∗(s,n,g,δ)>0

黄金资本存量（行为人将资本收入全部储蓄起来仅消费劳动收入）：
f′(k∗(s,n,g,δ))=n+g+δsg=(n+g+δ)kg∗f(kg∗)sg=f′(kg∗)kg∗f(kg∗)f'(k^*(s,n,g,\delta))=n+g+\delta\\ s_g=\frac{(n+g+\delta)k_g^*}{f(k_g^*)}\\ s_g=\frac{f'(k_g^*)k_g^*}{f(k_g^*)} f′(k∗(s,n,g,δ))=n+g+δsg=f(kg∗)(n+g+δ)kg∗sg=f(kg∗)f′(kg∗)kg∗

对产出影响的定量分析

换掉 sss
∂y∗∂s=f′(k∗)∂k∗(s,n,g,δ)∂ssf′(k∗)∂k∗∂s+f(k∗)=(n+g+δ)∂k∗∂s∂y∗∂s=f′(k∗)f(k∗)(n+g+δ)−sf′(k∗)∂y∗∂ssy∗=sf(k∗)f′(k∗)f(k∗)[(n+g+δ)−sf′(k∗)]=k∗f′(k∗)/f(k∗)1−k∗f′(k∗)/f(k∗)=αk(k∗)1−αk(k∗)\frac{\partial y^*}{\partial s}=f'(k^*)\frac{\partial k^*(s,n,g,\delta)}{\partial s}\\ sf'(k^*)\frac{\partial k^*}{\partial s}+f(k^*)=(n+g+\delta)\frac{\partial k^*}{\partial s}\\ \frac{\partial y^*}{\partial s}=\frac{f'(k^*)f(k^*)}{(n+g+\delta)-sf'(k^*)}\\ \frac{\partial y^*}{\partial s}\frac s{y^*}=\frac s{f(k^*)}\frac{f'(k^*)f(k^*)}{[(n+g+\delta)-sf'(k^*)]} =\frac{k^*f'(k^*)/f(k^*)}{1-k^*f'(k^*)/f(k^*)} =\frac{\alpha_k(k^*)}{1-\alpha_k(k^*)} ∂s∂y∗=f′(k∗)∂s∂k∗(s,n,g,δ)sf′(k∗)∂s∂k∗+f(k∗)=(n+g+δ)∂s∂k∗∂s∂y∗=(n+g+δ)−sf′(k∗)f′(k∗)f(k∗)∂s∂y∗y∗s=f(k∗)s[(n+g+δ)−sf′(k∗)]f′(k∗)f(k∗)=1−k∗f′(k∗)/f(k∗)k∗f′(k∗)/f(k∗)=1−αk(k∗)αk(k∗)
平衡增长路径上资本收入占总收入份额：αk(k∗)\alpha_k(k^*)αk(k∗)

对产量影响的速度分析

一阶泰勒级数近似（对动态学中方程求导）
k˙≅(∂k˙(k)∂k∣k=k∗)(k−k∗)∂k˙(k)∂k∣k=k∗=sf′(k∗)−(n+g+δ)=(n+g+δ)k∗f′(k∗)f(k∗)−(n+g+δ)=[αk(k∗)−1](n+g+δ)\dot k \cong(\frac{\partial\dot k(k)}{\partial k}\mid_{k=k^*})(k-k^*)\\ \frac{\partial\dot k(k)}{\partial k}\mid_{k=k^*}=sf'(k^*)-(n+g+\delta)=\frac{(n+g+\delta)k^*f'(k^*)}{f(k^*)}-(n+g+\delta)=[\alpha_k(k^*)-1](n+g+\delta) k˙≅(∂k∂k˙(k)∣k=k∗)(k−k∗)∂k∂k˙(k)∣k=k∗=sf′(k∗)−(n+g+δ)=f(k∗)(n+g+δ)k∗f′(k∗)−(n+g+δ)=[αk(k∗)−1](n+g+δ)
得：
k˙≅−[1−αk(k∗)](n+g+δ)[k(t)−k∗]k(t)−˙k∗≅−[1−αk(k∗)](n+g+δ)[k(t)−k∗]\dot k\cong -[1-\alpha_k(k^*)](n+g+\delta)[k(t)-k^*]\\ k(t)\dot-k^*\cong-[1-\alpha_k(k^*)](n+g+\delta)[k(t)-k^*]\\ k˙≅−[1−αk(k∗)](n+g+δ)[k(t)−k∗]k(t)−˙k∗≅−[1−αk(k∗)](n+g+δ)[k(t)−k∗]
取：x(t)=k(t)−k∗，λ=(1−αk)(n+g+δ)x(t)=k(t)-k^*，\lambda =(1-\alpha_k)(n+g+\delta)x(t)=k(t)−k∗，λ=(1−αk)(n+g+δ) ，即 x˙(t)∗≅−λx(t)\dot x(t)*\cong -\lambda x(t)x˙(t)∗≅−λx(t)

得：k(t)−k∗≅e−(1−αk)(n+g+δ)t(k(0)−k∗)k(t)-k^*\cong e^{-(1-\alpha_k)(n+g+\delta)t}(k(0)-k^*)k(t)−k∗≅e−(1−αk)(n+g+δ)t(k(0)−k∗)

规模报酬不变 kkk 增加多少，人均有效产出 yyy 也增加多少，即 y(t)−y∗≅e−λt(y(0)−y∗)y(t)-y^*\cong e^{-\lambda t}(y(0)-y^*)y(t)−y∗≅e−λt(y(0)−y∗)

kkk、yyy 每年向 k∗k^*k∗ 、y∗y^*y∗ 移动剩余距离的 λ×100%\lambda\times100\%λ×100%

经验应用

趋同性

kkk 的增长率：
γk=k˙(t)k(t)=sf(k(t))k(t)−(n+g+δ)\gamma_k=\frac{\dot k(t)}{k(t)}=\frac{sf(k(t))}{k(t)}-(n+g+\delta) γk=k(t)k˙(t)=k(t)sf(k(t))−(n+g+δ)
其中：
∂∂ksf(k)k=s[kf′(k)−f(k)]k2\frac \partial{\partial k}\frac{sf(k)}k=\frac{s[kf'(k)-f(k)]}{k^2} ∂k∂ksf(k)=k2s[kf′(k)−f(k)]
kf′(k)kf'(k)kf′(k) 为人均有效资本 kkk 的收入，f(k)f(k)f(k) 代表人均有效资本 kkk 的总收入，所以 kf′(k)<f(k)kf'(k)<f(k)kf′(k)<f(k) （可同时除以 kkk 考虑边际产出递减来得出）

待更新

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静态模型

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帕累托最优

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竞争均衡与比较静态分析

两期

纯两期

消费者最优化行为

市场均衡

考虑资本

消费者最优化行为

厂商最优化行为

市场均衡

计划最优

考虑资本和劳动

消费者最优化行为

厂商最优化行为

市场均衡

计划最优

三期

计划最优

第三期

第二期

第一期

无限期

动态规划

竞争均衡

计划最优

贝尔曼方程

计划经济下的最优

贝尔曼方程推导欧拉方程

动态模型学

c的动态学

k的动态学

稳定均衡解

拉格朗日方法推导欧拉方程

分散经济下的最优

消费者

厂商

竞争均衡

索洛增长模型

离散时间

人均分析

总量分析

连续时间

动态学

比较静态分析

对产出

对消费

对产出影响的定量分析

对产量影响的速度分析

经验应用

趋同性

待更新

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