本文是Emil Björnson在2015年在TWC上的一份工作：
E. Björnson, L. Sanguinetti, J. Hoydis and M. Debbah, “Optimal Design of Energy-Efficient Multi-User MIMO Systems: Is Massive MIMO the Answer?,” in IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 14, no. 6, pp. 3059-3075, June 2015, doi: 10.1109/TWC.2015.2400437.

总述

本文讨论在单小区多用户系统（SC-MU-MISO）中，系统的能量利用率（Energy Efficiency, EE）随基站天线数MMM、用户数KKK、发射总功率ρ\rhoρ的变化情况。相比于literature review中工作。
本文主要贡献在于：
1. 改变了以往将系统电路功耗建模为一个定值，建立了一个新的模型去描述电路功耗；
2. 基于该模型，构建了EEEEEE最大化问题，进而在ZFZFZF信号处理方法下给出了最优基站天线数MMM、用户数KKK、发射总功率ρ\rhoρ的闭式解，解释了这些参数是如何影响最终性能指标的。
3. 最后在给出了三个变量的联合优化算法，并给出了在MRT/MRC及MMSEMRT/MRC及MMSEMRT/MRC及MMSE信号处理方法下系统的numerical results讨论。

系统模型

信道模型

本文考虑单小区多用户系统（SC-MU-MISO），用户端单天线。系统示意图如下：

这里信道考虑大尺度衰落。具体方式是：在单小区覆盖区域中在空间上建立网格点，按照某种分布选取规定个数的用户作为每一个用户的位置，并基于位置向量给出大尺度衰落，分布与大尺度衰落如下：f(x)={1π(dmax⁡2−dmin⁡2)dmin⁡≤∥x∥≤dmax⁡0otherwise. (1)f(\mathbf{x})= \begin{cases}\frac{1}{\pi\left(d_{\max }^{2}-d_{\min }^{2}\right)} & d_{\min } \leq\|\mathbf{x}\| \leq d_{\max } \\ 0 & \text { otherwise. }\end{cases} \tag{1}f(x)={π(dmax2​−dmin2​)1​0​dmin​≤∥x∥≤dmax​ otherwise. ​(1)其中x\mathbf{x}x为位置向量，大尺度衰落如下式：l(x)=dˉ∥x∥κfor ∥x∥≥dmin⁡(2)l(\mathbf{x})=\frac{\bar{d}}{\|\mathbf{x}\|^{\kappa}} \quad \text { for } \quad\|\mathbf{x}\| \geq d_{\min } \tag{2}l(x)=∥x∥κdˉ​ for ∥x∥≥dmin​(2)信道衰减的期望为：Ex{(l(x))−1}=dmax⁡κ+2−dmin⁡κ+2dˉ(1+κ2)(dmax⁡2−dmin⁡2)(3)\mathbb{E}_{\mathbf{x}}\left\{(l(\mathbf{x}))^{-1}\right\}=\frac{d_{\max }^{\kappa+2}-d_{\min }^{\kappa+2}}{\bar{d}\left(1+\frac{\kappa}{2}\right)\left(d_{\max }^{2}-d_{\min }^{2}\right)} \tag{3}Ex​{(l(x))−1}=dˉ(1+2κ​)(dmax2​−dmin2​)dmaxκ+2​−dminκ+2​​(3)

小尺度衰落考虑传统的瑞利衰落，只考虑NLOS径，则最终的信道向量建模如下，对第kkk个用户：hk∼CN(0M,l(xk)IM)\mathbf{h}_{k} \sim \mathcal{C N}\left(\mathbf{0}_{M}, l\left(\mathbf{x}_{k}\right) \mathbf{I}_{M}\right)hk​∼CN(0M​,l(xk​)IM​)其中hk=[hk,1,hk,2,…,hk,M]T∈CM×1\mathbf{h}_{k}=\left[h_{k, 1}, h_{k, 2}, \ldots, h_{k, M}\right]^{T} \in \mathbb{C}^{M \times 1}hk​=[hk,1​,hk,2​,…,hk,M​]T∈CM×1，MMM为基站端天线个数。

传输模型

此处考虑上下行传输，采用TDD架构，帧结构如下：

这里U=BcTcU=B_cT_cU=Bc​Tc​代表信道可用总资源，其中BcB_cBc​为相干带宽，TcT_cTc​代表相干时间。用ζ(ul)+ζ(dl)=1\zeta^{(\mathrm{ul})}+\zeta^{(\mathrm{d} \mathrm{l})}=1ζ(ul)+ζ(dl)=1表示上行信道和下行信道所占总资源的比例，在每一段传输中，用τ(dl)K\tau^{(\text {dl})} Kτ(dl)K和τ(ul)K\tau^{(\text {ul})} Kτ(ul)K表征导频所占的时间资源。

信号处理过程

上行和下行信号处理均在基站端实现，上行为MIMO detection，下行为MIMO precoding。信号处理矩阵用G=[g1,g2,…,gK]∈CM×K\mathbf{G}=\left[\mathbf{g}_{1}, \mathbf{g}_{2}, \ldots, \mathbf{g}_{K}\right] \in \mathbb{C}^{M \times K}G=[g1​,g2​,…,gK​]∈CM×K表示，对上行detection：G={Hfor MRC, H(HHH)−1for ZF,(HP(ul)HH+σ2IM)−1Hfor MMSE (4)\mathbf{G}= \begin{cases}\mathbf{H} & \text { for MRC, } \\ \mathbf{H}\left(\mathbf{H}^{H} \mathbf{H}\right)^{-1} & \text { for } \mathrm{ZF}, \\ \left(\mathbf{H P}^{(\mathrm{ul})} \mathbf{H}^{H}+\sigma^{2} \mathbf{I}_{M}\right)^{-1} \mathbf{H} & \text { for MMSE }\end{cases} \tag{4}G=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​HH(HHH)−1(HP(ul)HH+σ2IM​)−1H​ for MRC,  for ZF, for MMSE ​(4)对下行precoding：V={Hfor MRT, H(HHH)−1for ZF, (HP(ul)HH+σ2IM)−1Hfor MMSE. (5)\mathbf{V}= \begin{cases}\mathbf{H} & \text { for MRT, } \\ \mathbf{H}\left(\mathbf{H}^{H} \mathbf{H}\right)^{-1} & \text { for ZF, } \\ \left(\mathbf{H P}^{(\mathrm{ul})} \mathbf{H}^{H}+\sigma^{2} \mathbf{I}_{M}\right)^{-1} \mathbf{H} & \text { for MMSE. }\end{cases} \tag{5}V=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​HH(HHH)−1(HP(ul)HH+σ2IM​)−1H​ for MRT,  for ZF,  for MMSE. ​(5)

上下行传输 速率及功率分配

本文目标是使得所有用户能有统一的总速率Rˉ\bar{R}Rˉ（即无偏好服务）。

上行信道

因为传输中要分出一部分资源用来传输导频，上行信道实际信息速率为：Rk(ul)=ζ(ul)(1−τ(ul)KUζ(ul))Rˉk(ul)(6)R_{k}^{(\mathrm{ul})}=\zeta^{(\mathrm{ul})}\left(1-\frac{\tau^{(\mathrm{ul})} K}{U \zeta^{(\mathrm{ul})}}\right) \bar{R}_{k}^{(\mathrm{ul})} \tag{6}Rk(ul)​=ζ(ul)(1−Uζ(ul)τ(ul)K​)Rˉk(ul)​(6)第kkk个用户上行和速率为：Rˉk(ul)=Blog⁡(1+pk(ul)∣gkHhk∣2∑ℓ=1,ℓ≠kKpℓ(ul)∣gkHhℓ∣2+σ2∥gk∥2)(7)\bar{R}_{k}^{(\mathrm{ul})}=B \log \left(1+\frac{p_{k}^{(\mathrm{ul})}\left|\mathbf{g}_{k}^{H} \mathbf{h}_{k}\right|^{2}}{\sum_{\ell=1, \ell \neq k}^{K} p_{\ell}^{(\mathrm{ul})}\left|\mathbf{g}_{k}^{H} \mathbf{h}_{\ell}\right|^{2}+\sigma^{2}\left\|\mathbf{g}_{k}\right\|^{2}}\right) \tag{7}Rˉk(ul)​=Blog(1+∑ℓ=1,ℓ​=kK​pℓ(ul)​∣∣​gkH​hℓ​∣∣​2+σ2∥gk​∥2pk(ul)​∣∣​gkH​hk​∣∣​2​)(7)本文设计目标希望通过power allocation使得各个用户的和速率相同，根据参考文献，此时功率分配向量p(ul)=[p1(ul),p2(ul),…,pK(ul)]T\mathbf{p}^{(\mathrm{ul})}=\left[p_{1}^{(\mathrm{ul})}, p_{2}^{(\mathrm{ul})}, \ldots, p_{K}^{(\mathrm{ul})}\right]^{T}p(ul)=[p1(ul)​,p2(ul)​,…,pK(ul)​]T有如下闭式解：p(ul)=σ2(D(ul))−11K(8)\mathbf{p}^{(\mathrm{ul})}=\sigma^{2}\left(\mathbf{D}^{(\mathrm{ul})}\right)^{-1} \mathbf{1}_{K} \tag{8}p(ul)=σ2(D(ul))−11K​(8)D(ul)∈CK×K\mathbf{D}^{(\mathrm{ul})} \in \mathbb{C}^{K \times K}D(ul)∈CK×K的(k,l)(k,l)(k,l)项有：[D(ul)]k,ℓ={∣gkHhk∣2(2Rˉ/B−1)∥gk∥2for k=ℓ,−∣gkHhℓ∣2∥gk∥2for k≠ℓ.(9)\left[\mathbf{D}^{(\mathrm{ul})}\right]_{k, \ell}= \begin{cases}\frac{\left|\mathbf{g}_{k}^{H} \mathbf{h}_{k}\right|^{2}}{\left(2^{\bar{R} / B}-1\right)\left\|\mathbf{g}_{k}\right\|^{2}} & \text { for } k=\ell, \\ -\frac{\left|\mathbf{g}_{k}^{H} \mathbf{h}_{\ell}\right|^{2}}{\left\|\mathbf{g}_{k}\right\|^{2}} & \text { for } k \neq \ell .\end{cases} \tag{9}[D(ul)]k,ℓ​=⎩⎪⎨⎪⎧​(2Rˉ/B−1)∥gk​∥2∣gkH​hk​∣2​−∥gk​∥2∣gkH​hℓ​∣2​​ for k=ℓ, for k​=ℓ.​(9)基于此，上行传输的PA（功放）平均耗散为：PTX(ul)=Bζ(ul)η(ul)E{1KTp(ul)}=σ2Bζ(ul)η(ul)E{1KT(D(ul))−11K}(10)\begin{aligned} P_{\mathrm{TX}}^{(\mathrm{ul})} &=\frac{B \zeta^{(\mathrm{ul})}}{\eta^{(\mathrm{ul})}} \mathbb{E}\left\{\mathbf{1}_{K}^{T} \mathbf{p}^{(\mathrm{ul})}\right\} \\ &=\sigma^{2} \frac{B \zeta^{(\mathrm{ul})}}{\eta^{(\mathrm{ul})}} \mathbb{E}\left\{\mathbf{1}_{K}^{T}\left(\mathbf{D}^{(\mathrm{ul})}\right)^{-1} \mathbf{1}_{K}\right\} \end{aligned} \tag{10}PTX(ul)​​=η(ul)Bζ(ul)​E{1KT​p(ul)}=σ2η(ul)Bζ(ul)​E{1KT​(D(ul))−11K​}​(10)其中0<η(ul)≤10<\eta^{(\mathrm{ul})} \leq 10<η(ul)≤1是用户端的PA效率。
对于ZFZFZF信号处理，有结论：Rˉ=Blog⁡(1+ρ(M−K))(11)\bar{R}=B \log (1+\rho(M-K)) \tag{11}Rˉ=Blog(1+ρ(M−K))(11)其中ρ\rhoρ与接收信噪比成正比。PA功率为：PTX(ul−ZF)=Bζ(ul)η(ul)σ2ρSxK(12)P_{\mathrm{TX}}^{(\mathrm{ul}-\mathrm{ZF})}=\frac{B \zeta^{(\mathrm{ul})}}{\eta^{(\mathrm{ul})}} \sigma^{2} \rho \mathcal{S}_{\mathbf{x}} K \tag{12}PTX(ul−ZF)​=η(ul)Bζ(ul)​σ2ρSx​K(12)其中Sx=Ex{(l(x))−1}\mathcal{S}_{\mathbf{x}}=\mathbb{E}_{\mathbf{x}}\left\{(l(\mathbf{x}))^{-1}\right\}Sx​=Ex​{(l(x))−1}是路损的期望。

下行信道

下行信道分析同上行信道，首先第kkk个用户的可行速率为：Rk(dl)=ζ(dl)(1−τ(dl)KUζ(dl))Rˉk(dl)(13)R_{k}^{(\mathrm{dl})}=\zeta^{(\mathrm{d} l)}\left(1-\frac{\tau^{(\mathrm{dl})} K}{U \zeta^{(\mathrm{d} l)}}\right) \bar{R}_{k}^{(\mathrm{dl})} \tag{13}Rk(dl)​=ζ(dl)(1−Uζ(dl)τ(dl)K​)Rˉk(dl)​(13)其中总速率为Rˉk(dl)=Blog⁡(1+pk(dl)∣hkHvk∣2∥vk∥2∑ℓ=1,ℓ≠kKpℓ(d1)∣hkHvℓ∣2∥vℓ∥2+σ2)(14)\bar{R}_{k}^{(\mathrm{dl})}=B \log \left(1+\frac{p_{k}^{(\mathrm{dl})} \frac{\left|\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{v}_{k}\right|^{2}}{\left\|\mathbf{v}_{k}\right\|^{2}}}{\sum_{\ell=1, \ell \neq k}^{K} p_{\ell}^{(\mathrm{d} 1)} \frac{\left|\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{v}_{\ell}\right|^{2}}{\left\|\mathbf{v}_{\ell}\right\|^{2}}+\sigma^{2}}\right) \tag{14}Rˉk(dl)​=Blog⎝⎜⎛​1+∑ℓ=1,ℓ​=kK​pℓ(d1)​∥vℓ​∥2∣hkH​vℓ​∣2​+σ2pk(dl)​∥vk​∥2∣hkH​vk​∣2​​⎠⎟⎞​(14)平均PA功率PTX(d1)=Bζ(dl)η(dl)∑k=1KE{pk(dl)}(15)P_{\mathrm{TX}}^{(\mathrm{d} 1)}=\frac{B \zeta^{(\mathrm{dl})}}{\eta^{(\mathrm{d} l)}} \sum_{k=1}^{K} \mathbb{E}\left\{p_{k}^{(\mathrm{dl})}\right\} \tag{15}PTX(d1)​=η(dl)Bζ(dl)​k=1∑K​E{pk(dl)​}(15)保证用户总速率统一的功率分配方案同上行信道，其中下行功率分配向量为：p(dl)=σ2(D(dl))−11K\mathbf{p}^{(\mathrm{dl})}=\sigma^{2}\left(\mathbf{D}^{(\mathrm{dl})}\right)^{-1} \mathbf{1}_{K}p(dl)=σ2(D(dl))−11K​，其中D(dl)∈CK×K\mathbf{D}^{(\mathrm{dl})} \in \mathbb{C}^{K \times K}D(dl)∈CK×K的(k,l)(k,l)(k,l)项有：[D(dl)]k,ℓ={∣hkHvk∣2(2Rˉ/B−1)∥vk∥2for k=ℓ,−∣hkHvℓ∣2∥vℓ∥2for k≠ℓ.(16)\left[\mathbf{D}^{(\mathrm{dl})}\right]_{k, \ell}= \begin{cases}\frac{\left|\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{v}_{k}\right|^{2}}{\left(2^{\bar{R} / B}-1\right)\left\|\mathbf{v}_{k}\right\|^{2}} & \text { for } k=\ell, \\ -\frac{\left|\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{v}_{\ell}\right|^{2}}{\left\|\mathbf{v}_{\ell}\right\|^{2}} & \text { for } k \neq \ell .\end{cases} \tag{16}[D(dl)]k,ℓ​=⎩⎪⎨⎪⎧​(2Rˉ/B−1)∥vk​∥2∣hkH​vk​∣2​−∥vℓ​∥2∣hkH​vℓ​∣2​​ for k=ℓ, for k​=ℓ.​(16)代入上面式(15)(15)(15)，下行PA功耗为：PTX(dl)=σ2Bζ(dl)η(dl)E{1KT(D(dl))−11K}(17)P_{\mathrm{TX}}^{(\mathrm{dl})}=\sigma^{2} \frac{B \zeta^{(\mathrm{d} \mathrm{l})}}{\eta^{(\mathrm{dl})}} \mathbb{E}\left\{\mathbf{1}_{K}^{T}\left(\mathbf{D}^{(\mathrm{dl})}\right)^{-1} \mathbf{1}_{K}\right\} \tag{17}PTX(dl)​=σ2η(dl)Bζ(dl)​E{1KT​(D(dl))−11K​}(17)若上下行信号处理方式相同，则上下行传输总PA功耗相同，而同一用户上下行传输分配功率不同。后面给出了ZF预编码在下行信道中结论，详情见论文，此处不赘述。

问题构建

首先能量利用率的定义是每一焦耳能量所能传输的bit数，则上下行EE定义如下：EE=∑k=1K(E{Rk(ul)}+E{Rk(dl)})PTX(ul)+PTX(dl)+PCP(18)\mathrm{EE}=\frac{\sum_{k=1}^{K}\left(\mathbb{E}\left\{R_{k}^{(\mathrm{ul})}\right\}+\mathbb{E}\left\{R_{k}^{(\mathrm{dl})}\right\}\right)}{P_{\mathrm{TX}}^{(\mathrm{ul})}+P_{\mathrm{TX}}^{(\mathrm{dl})}+P_{\mathrm{CP}}} \tag{18}EE=PTX(ul)​+PTX(dl)​+PCP​∑k=1K​(E{Rk(ul)​}+E{Rk(dl)​})​(18)其中PCPP_{\mathrm{CP}}PCP​为电路功耗。
传统工作中将PCPP_{\mathrm{CP}}PCP​当定值，本文进一步分析了电路功耗的组成部分，将其定义为发端天线数，用户数，以及发射功率的函数，则EE定义式如下：EE⁡M∈Z+,K∈Z+,Rˉ≥0=∑k=1K(E{Rk(ul)}+E{Rk(dl)})PTX(ul)+PTX(dI)+PCP(M,K,Rˉ)(19)\underset{M \in \mathbb{Z}_{+}, K \in \mathbb{Z}_{+}, \bar{R} \geq 0}{\operatorname{EE}}=\frac{\sum_{k=1}^{K}\left(\mathbb{E}\left\{R_{k}^{(\mathrm{ul})}\right\}+\mathbb{E}\left\{R_{k}^{(\mathrm{dl})}\right\}\right)}{P_{\mathrm{TX}}^{(\mathrm{ul})}+P_{\mathrm{TX}}^{(\mathrm{dI})}+P_{\mathrm{CP}}(M, K, \bar{R})} \tag{19}M∈Z+​,K∈Z+​,Rˉ≥0EE​=PTX(ul)​+PTX(dI)​+PCP​(M,K,Rˉ)∑k=1K​(E{Rk(ul)​}+E{Rk(dl)​})​(19)
经过之前对于速率以及上下行PA功率闭式解的推导，EE闭式中到此只有PCPP_{CP}PCP​未知，传统工作将PCPP_{CP}PCP​直接当常数处理，本文的贡献则是利用电路原理将其拆分，形成关于自变量的函数，构建新的优化问题进行分析。

电路功耗模型分析

电路功耗的组成部分：PCP=PFIX+PTC+PCE+PC/D+PBH+PLP(20)P_{\mathrm{CP}}=P_{\mathrm{FIX}}+P_{\mathrm{TC}}+P_{\mathrm{CE}}+P_{\mathrm{C} / \mathrm{D}}+P_{\mathrm{BH}}+P_{\mathrm{LP}} \tag{20}PCP​=PFIX​+PTC​+PCE​+PC/D​+PBH​+PLP​(20)其中PFIXP_{\mathrm{FIX}}PFIX​为功率中不变量，PTCP_{\mathrm{TC}}PTC​为收发链路功耗，PCEP_{\mathrm{CE}}PCE​为信道估计过程中功耗，PC/DP_{\mathrm{C/D}}PC/D​为信道编码及解码过程功耗，PBHP_{\mathrm{BH}}PBH​为负载回程功耗，是基站与中心核网络进行信息交互时的功耗，PLPP_{\mathrm{LP}}PLP​是基站端进行线性信号处理时的功耗。
各部分功耗现归纳如下，只展示结论，具体见原论文：
PTC=MPBS+PSYN+KPUEWatt (21)P_{\mathrm{TC}}=M P_{\mathrm{BS}}+P_{\mathrm{SYN}}+K P_{\mathrm{UE}} \quad \text { Watt } \tag{21}PTC​=MPBS​+PSYN​+KPUE​ Watt (21)PCE=BU2τ(ul)MK2LBS+BU4τ(dl)K2LUEWatt. (22)P_{\mathrm{CE}}=\frac{B}{U} \frac{2 \tau^{(\mathrm{ul})} M K^{2}}{L_{\mathrm{BS}}}+\frac{B}{U} \frac{4 \tau^{(\mathrm{dl})} K^{2}}{L_{\mathrm{UE}}} \quad \text { Watt. } \tag{22}PCE​=UB​LBS​2τ(ul)MK2​+UB​LUE​4τ(dl)K2​ Watt. (22)前者是上行信道估计时功耗。其中BBB为带宽，BU\frac{B}{U}UB​为每秒钟对应的带宽，LBSL_{\mathrm{BS}}LBS​与LUEL_{\mathrm{UE}}LUE​为基站及用户端的运算效率。整体的物理含义为信道估计所需做的计算量除以计算效率。PC/D=∑k=1K(E{Rk(ul)+Rk(dl)})(PCOD+PDEC)Watt (23)P_{\mathrm{C} / \mathrm{D}}=\sum_{k=1}^{K}\left(\mathbb{E}\left\{R_{k}^{(\mathrm{ul})}+R_{k}^{(\mathrm{dl})}\right\}\right)\left(P_{\mathrm{COD}}+P_{\mathrm{DEC}}\right) \quad \text { Watt } \tag{23}PC/D​=k=1∑K​(E{Rk(ul)​+Rk(dl)​})(PCOD​+PDEC​) Watt (23)对于给定的信号处理算法来说，可认为是定值。PBH=∑k=1K(E{Rk(ul)+Rk(dl)})PBTWatt (24)P_{\mathrm{BH}}=\sum_{k=1}^{K}\left(\mathbb{E}\left\{R_{k}^{(\mathrm{ul})}+R_{k}^{(\mathrm{dl})}\right\}\right) P_{\mathrm{BT}} \quad \text { Watt } \tag{24}PBH​=k=1∑K​(E{Rk(ul)​+Rk(dl)​})PBT​ Watt (24)PLP=B(1−(τ(ul)+τ(dl))KU)2MKLBS+PLP−CWatt (25)P_{\mathrm{LP}}=B\left(1-\frac{\left(\tau^{(\mathrm{ul})}+\tau^{(\mathrm{d} \mathrm{l})}\right) K}{U}\right) \frac{2 M K}{L_{\mathrm{BS}}}+P_{\mathrm{LP}-\mathrm{C}} \quad \text { Watt } \tag{25}PLP​=B(1−U(τ(ul)+τ(dl))K​)LBS​2MK​+PLP−C​ Watt (25)后一段与具体算法有关，而本文讨论的算法功耗如下：PLP−C(MRT/MRC)=BU3MKLBSWatt (26)P_{\mathrm{LP}-\mathrm{C}}^{(\mathrm{MRT} / \mathrm{MRC})}=\frac{B}{U} \frac{3 M K}{L_{\mathrm{BS}}} \quad \text { Watt } \tag{26}PLP−C(MRT/MRC)​=UB​LBS​3MK​ Watt (26)PLP−C(ZF)=BU(K33LBS+3MK2+MKLBS)Watt (27)P_{\mathrm{LP}-\mathrm{C}}^{(\mathrm{ZF})}=\frac{B}{U}\left(\frac{K^{3}}{3 L_{\mathrm{BS}}}+\frac{3 M K^{2}+M K}{L_{\mathrm{BS}}}\right) \quad \text { Watt } \tag{27}PLP−C(ZF)​=UB​(3LBS​K3​+LBS​3MK2+MK​) Watt (27)MMSE信号处理算法需要定点迭代，这里固定其迭代次数为QQQ次，则MMSE功耗为：PLP−C(MMSE)=QPLP−C(ZF)(28)P_{\mathrm{LP}-\mathrm{C}}^{(\mathrm{MMSE})}=Q P_{\mathrm{LP}-\mathrm{C}}^{(\mathrm{ZF})} \tag{28}PLP−C(MMSE)​=QPLP−C(ZF)​(28)

EE优化问题求解（ZF）

到这里为止，文章的贡献已经出来了，即一改之间将电路功耗常数化的建模方式，并基于此构建新的优化问题。上面解决了电路功耗如何描述的问题，下面解决的就是如何解的问题。

下面分：问题构建；整体求解的框架，交替最小化；定二求一。

问题构建

在ZF信号处理方式下，EE问题降级为：maximize⁡M∈Z+,K∈Z+,ρ≥0M≥K+1EE(ZF)=K(1−τsumKU)RˉBσ2ρSxηK+PCP(ZF)(29)\operatorname{maximize}_{M \in \mathbb{Z}_{+}, K \in \mathbb{Z}_{+}, \rho \geq 0 \atop M \geq K+1} \quad \mathrm{EE}^{(\mathrm{ZF})}=\frac{K\left(1-\frac{\tau_{\mathrm{sum}} K}{U}\right) \bar{R}}{\frac{B \sigma^{2} \rho \mathcal{S}_{\mathrm{x}}}{\eta} K+P_{\mathrm{CP}}^{(\mathrm{ZF})}} \tag{29}maximizeM≥K+1M∈Z+​,K∈Z+​,ρ≥0​​EE(ZF)=ηBσ2ρSx​​K+PCP(ZF)​K(1−Uτsum​K​)Rˉ​(29)其中τrm\tau_{\mathrm{rm}}τrm​为单位导频估计所占总时长τsum =τ(ul)+τ(dl)(30)\tau_{\text {sum }}=\tau^{(\mathrm{ul})}+\tau^{(\mathrm{d} l)} \tag{30}τsum ​=τ(ul)+τ(dl)(30)将上述功耗分析代入有：PCP(ZF)=∑i=03CiKi+M∑i=02DiKi+AK(1−τsumKU)Rˉ(31)P_{\mathrm{CP}}^{(\mathrm{ZF})}=\sum_{i=0}^{3} \mathcal{C}_{i} K^{i}+M \sum_{i=0}^{2} \mathcal{D}_{i} K^{i}+\mathcal{A} K\left(1-\frac{\tau_{\mathrm{sum}} K}{U}\right) \bar{R} \tag{31}PCP(ZF)​=i=0∑3​Ci​Ki+Mi=0∑2​Di​Ki+AK(1−Uτsum​K​)Rˉ(31)EE目标函数为：EE(ZF)=K(1−τsumKU)RˉBσ2ρSxηK+∑i=03CiKi+M∑i=02DiKi+AK(1−τsum U)Rˉ(32)\begin{aligned} &\mathrm{EE}^{(\mathrm{ZF})} \\ &=\frac{K\left(1-\frac{\tau_{\mathrm{sum}} K}{U}\right) \bar{R}}{\frac{B \sigma^{2} \rho S_{\mathrm{x}}}{\eta} K+\sum_{i=0}^{3} \mathcal{C}_{i} K^{i}+M \sum_{i=0}^{2} \mathcal{D}_{i} K^{i}+\mathcal{A} K\left(1-\frac{\tau_{\text {sum }}}{U}\right) \bar{R}} \end{aligned} \tag{32}​EE(ZF)=ηBσ2ρSx​​K+∑i=03​Ci​Ki+M∑i=02​Di​Ki+AK(1−Uτsum ​​)RˉK(1−Uτsum​K​)Rˉ​​(32)该式看似复杂，实际是将上述所有结论的参数化，参数总结如下：

整体求解的框架（交替优化）

问题构建出来了，怎么解呢，文章采用了交替优化的方式：

单个优化变量怎么解（定二求一）

最优用户数

闭式解

当基站天线数与发射总功率为定值时，最优用户数为：K⋆=max⁡ℓ⌊Kℓ(o)⌉(33)K^{\star}=\max _{\ell}\left\lfloor K_{\ell}^{(o)}\right\rceil \tag{33}K⋆=ℓmax​⌊Kℓ(o)​⌉(33)其中Kℓ(o)K_{\ell}^{(o)}Kℓ(o)​为下面四次方程正实根：K4−2Uτsum K3−μ1K2−2μ0K+Uμ0τsum =0(34)K^{4}-\frac{2 U}{\tau_{\text {sum }}} K^{3}-\mu_{1} K^{2}-2 \mu_{0} K+\frac{U \mu_{0}}{\tau_{\text {sum }}}=0 \tag{34}K4−τsum ​2U​K3−μ1​K2−2μ0​K+τsum ​Uμ0​​=0(34)其中μ1=Uτsum (C2+βˉD1)+C1+βˉD0C3+βˉD2\mu_{1}=\frac{\frac{U}{\tau_{\text {sum }}}\left(\mathcal{C}_{2}+\bar{\beta} \mathcal{D}_{1}\right)+\mathcal{C}_{1}+\bar{\beta} \mathcal{D}_{0}}{\mathcal{C}_{3}+\bar{\beta} \mathcal{D}_{2}}μ1​=C3​+βˉ​D2​τsum ​U​(C2​+βˉ​D1​)+C1​+βˉ​D0​​ μ0=C0+Bσ2SxηρˉC3+βˉD2\mu_{0}=\frac{\mathcal{C}_{0}+\frac{B \sigma^{2} \mathcal{S}_{\mathbf{x}}}{\eta} \bar{\rho}}{\mathcal{C}_{3}+\bar{\beta} \mathcal{D}_{2}}μ0​=C3​+βˉ​D2​C0​+ηBσ2Sx​​ρˉ​​
上述方程最大正实根有闭式解，也有高效的数值逼近算法可解。

结论

下面从该结果研究最佳用户数的变化规律，下面直接给出结论：

1. K⋆K^{\star}K⋆与单用户或单基站天线所分功率成反比；
2. 与电路功耗成正比，尤其是其中PFIXP_{FIX}PFIX​与PSYNP_{SYN}PSYN​
3. 与电路中其他功耗无关，如：PCOD,PDEC,PBTP_{COD},P_{DEC},P_{BT}PCOD​,PDEC​,PBT​
4. 当基站覆盖范围较大时，应服务尽量多用户

最优BS天线数

闭式解

M⋆=⌊M(o)⌉M^{\star}= \left\lfloor M^{(o)}\right\rceilM⋆=⌊M(o)⌉，其中

C′=∑i=03CiKiKand D′=∑i=02DiKiK\mathcal{C}^{\prime}=\frac{\sum_{i=0}^{3} \mathcal{C}_{i} K^{i}}{K} \text { and } \quad \mathcal{D}^{\prime}=\frac{\sum_{i=0}^{2} \mathcal{D}_{i} K^{i}}{K}C′=K∑i=03​Ci​Ki​ and D′=K∑i=02​Di​Ki​

结论

1. M⋆M^{\star}M⋆与PCOD,PDEC,PBTP_{COD},P_{DEC},P_{BT}PCOD​,PDEC​,PBT​无关
2. 与BS单天线分配功率PBSP_{BS}PBS​成反比
3. 与PFIX,PSYN,PUEP_{FIX} ,P_{SYN}, P_{UE}PFIX​,PSYN​,PUE​成正比
4. 最优BS天线数下限M⋆≥K+Bσ2SxηD′ρ+C′D′+K−1ρln⁡(ρ)+ln⁡(Bσ2SxηD′ρ+C′D′+K−1ρ)−1−1ρM^{\star} \geq K+\frac{\frac{B \sigma^{2} \mathcal{S}_{\mathbf{x}}}{\eta \mathcal{D}^{\prime}} \rho+\frac{\mathcal{C}^{\prime}}{\mathcal{D}^{\prime}}+K-\frac{1}{\rho}}{\ln (\rho)+\ln \left(\frac{B \sigma^{2} \mathcal{S}_{\mathbf{x}}}{\eta \mathcal{D}^{\prime}} \rho+\frac{\mathcal{C}^{\prime}}{\mathcal{D}^{\prime}}+K-\frac{1}{\rho}\right)-1}-\frac{1}{\rho}M⋆≥K+ln(ρ)+ln(ηD′Bσ2Sx​​ρ+D′C′​+K−ρ1​)−1ηD′Bσ2Sx​​ρ+D′C′​+K−ρ1​​−ρ1​
5. 发端功率较大时，有近似式：M⋆≈Bσ2Sx2ηD′ρln⁡(ρ)M^{\star} \approx \frac{B \sigma^{2} \mathcal{S}_{\mathbf{x}}}{2 \eta \mathcal{D}^{\prime}} \frac{\rho}{\ln (\rho)}M⋆≈2ηD′Bσ2Sx​​ln(ρ)ρ​
6. 基站覆盖区域变大时，随配天线数也应增大

最优发射功率

闭式解

ρ⋆=eW(ηBσ2Sx(M−K)(C′+MD′)e−1e)+1−1M−K(35)\rho^{\star}=\frac{e^{W\left(\frac{\eta}{B \sigma^{2} \mathcal{S}_{\mathbf{x}}} \frac{(M-K)\left(\mathcal{C}^{\prime}+M \mathcal{D}^{\prime}\right)}{e}-\frac{1}{e}\right)+1}-1}{M-K} \tag{35}ρ⋆=M−KeW(Bσ2Sx​η​e(M−K)(C′+MD′)​−e1​)+1−1​(35)其中C′=∑i=03CiKiKand D′=∑i=02DiKiK\mathcal{C}^{\prime}=\frac{\sum_{i=0}^{3} \mathcal{C}_{i} K^{i}}{K} \text { and } \quad \mathcal{D}^{\prime}=\frac{\sum_{i=0}^{2} \mathcal{D}_{i} K^{i}}{K}C′=K∑i=03​Ci​Ki​ and D′=K∑i=02​Di​Ki​且都大于0。

结论

1. 最佳发射功率与PCOD,PDEC,PBTP_{COD},P_{DEC},P_{BT}PCOD​,PDEC​,PBT​无关
2. 下限：ρ⋆≥η(C′+MD′)Bσ2Sx−ln⁡(η(M−K)(C′+MD′)Bσ2Sx−1)(M−K)ln⁡(η(M−K)(C′+MD′)Bσ2Sx−1)−1\rho^{\star} \geq \frac{\frac{\eta\left(\mathcal{C}^{\prime}+M \mathcal{D}^{\prime}\right)}{B \sigma^{2} \mathcal{S}_{\mathbf{x}}}-\frac{\ln \left(\frac{\eta(M-K)\left(\mathcal{C}^{\prime}+M \mathcal{D}^{\prime}\right)}{B \sigma^{2} \mathcal{S}_{\mathbf{x}}}-1\right)}{(M-K)}}{\ln \left(\frac{\eta(M-K)\left(\mathcal{C}^{\prime}+M \mathcal{D}^{\prime}\right)}{B \sigma^{2} \mathcal{S}_{\mathbf{x}}}-1\right)-1}ρ⋆≥ln(Bσ2Sx​η(M−K)(C′+MD′)​−1)−1Bσ2Sx​η(C′+MD′)​−(M−K)ln(Bσ2Sx​η(M−K)(C′+MD′)​−1)​​
3. massive MIMO 下近似解：ρ⋆≈ηD′2Bσ2SxMln⁡(M)\rho^{\star} \approx \frac{\eta \mathcal{D}^{\prime}}{2 B \sigma^{2} \mathcal{S}_{\mathbf{x}}} \frac{M}{\ln (M)}ρ⋆≈2Bσ2Sx​ηD′​ln(M)M​

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